2022-2023学年山东省青岛市九校联盟高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年山东省青岛市九校联盟高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.

【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为，

故选：C.

2．若4名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从A，B，C这3个学校中选报1个，则不同的报名方式有（    ）

A．16种 B．24种 C．64种 D．81种

【答案】D

【分析】每位教师报名都有3种选择，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】每位教师报名都有3种选择，则4名教师报名方式有（种）.

故选：D.

3．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为（    ）

A．16m/s B．36m/s C．64m/s D．81m/s

【答案】B

【分析】根据导数的物理意义，求函数的导数，即可得到结论.

【详解】由，得，

∴质点M在时的瞬时速度为36m/s.

故选：B.

4．抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】由抛物线的准线方程为，焦点，

因为抛物线上一点的纵坐标为2，

根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.

故选：B.

5．圆上的点到直线的最大距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.

【详解】圆化为标准方程得，

圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为

所以圆上的点到直线的最大距离为.

故选:C.

6．从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（    ）

A．112 B．32 C．56 D．12

【答案】A

【分析】利用分层抽样的定义和方法确定抽到的女护士与男医生的人数，结合组合数公式求出结果.

【详解】∵从8名女护士，4名男医生中选出3名，∴每个个体被抽到的概率是，

根据分层抽样要求，应选出名女护士，名男医生，

∴不同的抽取方法数为种.

故选：A.

7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，，，令，利用导数说明函数的单调性，结合函数的单调性比较大小.

【详解】依题意可得，，，

设，则，当时，，单调递减，

又，所以，即，即.

故选：D.

8．若函数存在增区间，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.

【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，

此时在区间恒成立，

可得，则，可得，

故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.

二、多选题

9．已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（    ）

A．焦点为 B．渐近线方程为

C．离心率e为 D．焦点到渐近线的距离为

【答案】BC

【解析】根据方程求出，再由双曲线的性质以及点到直线的距离公式得出答案.

【详解】由方程可知

则焦点为，渐近线方程为，即

离心率为，焦点到渐近线的距离为

故选：BC

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据二项展开式系数的性质，结合赋值法，逐项计算，即可求解.

【详解】由，

令，可得，所以A正确；

含的项为，故，所以B错误；

令，可得，

又因为，故，所以C正确；

令，可得，

又由，故，所以D正确.

故选：ACD.

11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ）

A．

B．第2023行的第1012个和第1013个数最大

C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数

D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3

【答案】ABD

【分析】A选项，利用组合数运算公式计算；B选项，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；C选项，第6，7，8，9行的第7个数字分别为：1，7，28，84，C错误；D选项，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.

【详解】A选项，，，故A正确；

B选项，由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B正确；

C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误；

D选项，依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.

故选：ABD.

12．已知函数，则下列结论错误的是（    ）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数只有极大值没有极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则t的最小值为2

【答案】BD

【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误.

【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确；

对于B中，由，

令时，可得，当时，或，

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误；

对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是，

可得函数的大致图象，

所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误.

故选：BD.

三、填空题

13．若，则曲线在处的切线方程为         .

【答案】

【分析】利用导数的几何意义计算即可.

【详解】，则，又，

所以曲线在处的切线方程为，即.

故答案为：.

14．正项等比数列中，，是方程的两个根，则         .

【答案】/0.5

【分析】利用韦达定理、等比数列的性质，结合对数的运算求解.

【详解】，是方程的两个根，由韦达定理可得，

正项等比数列中，有，所以.

故答案为：

15．盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是         ．

【答案】/

【分析】根据，由全概率公式计算可得结果.

【详解】记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；

，；，，

.

故答案为：.

16．已知函数，其导函数记为，则          .

【答案】2

【分析】利用求导法则求出，即可知道，令，可证得为奇函数，利用奇偶性即可求解.

【详解】函数，则，显然为偶函数，

令，

，，所以为奇函数，又为偶函数，

所以，，

所以.

故答案为：2.

四、解答题

17．设数列是公差为的等差数列，已知，

(1)求数列的通项公式；

(2)若，且的前n项和为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；

（2）结合（1）的结论得到，利用裂项相消法即可求解.

【详解】（1）因为数列是公差为的等差数列，且，

所以，则或.

又，，∴.

（2）由（1）可得，，

∴

18．设函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，求的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）由（1）可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域.

【详解】（1）因为定义域为，

所以，

因为，所以，

所以当时，当时，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值即最小值，所以，

又，，

又，所以，

所以.

19．2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：

(1)2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；

(2)3名宇航员互不相邻的概率；

(3)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.

【答案】(1)12

(2)

(3).

【分析】（1）利用分步乘法计数原理以及排列数的计算求得排法数.

（2）利用插空法、排列数以及古典概型的知识求的所求概率.

（3）根据名航天科学家之间的人数进行分类讨论，利用古典概型的知识求得所求的概率.

【详解】（1）第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，

所以总共有（种）.

（2）先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有（种），

5人排成一排一共（种），所以所求的概率为：.

（3）①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，；

②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，

故.

20．设椭圆：的离心率为，且短轴长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若在y轴上的截距为2的直线与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率的值可得，，可求出的值，由此得解；

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，从而得到直线的方程.

【详解】（1）由题可得，由有，，

解得，.

故所求椭圆方程为：.

（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，

联立，

或，

∴，，

∴，

，故直线AB的方程为.

21．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．

(1)求证：平面ACF；

(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，的长为或，理由见解析.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.

【详解】（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，

底面ABCD为直角梯形，其中，，，，

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

，，

设平面的法向量为，

则，故可设，

由于，

所以平面.

（2）存在，理由如下：

设，，

，

，

依题意与平面所成角的正弦值为，

即，

，解得或.

，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.

22．已知函数.

(1)判断在上的单调性；

(2)若，求证：.

【答案】(1)在上是减函数，在上是增函数

(2)证明见解析

【分析】(1)先求的导数得到，设，再对求导，可得在上是增函数，则，即可求出单调性.(2)用导数法判断在上的单调性，从而得到在处有最大值，令，再用导数法求出在处的最大值为，即可证明结论.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，设，则在上是增函数，

所以.

所以时，单调递减；

时，，单调递增，

所以在上是减函数，在上是增函数.

（2）证明：由(1)知，

因为，所以，

因为在上是增函数，且，，

所以存在，使得，即，

且时，，，递增，

时，，递减，

所以时.

设，则，

所以在上是增函数，.

即.