2022-2023学年江苏省镇江市丹阳高级中学高二重点班下学期5月阶段检测数学试题含答案

2022-2023学年江苏省镇江市丹阳高级中学高二重点班下学期5月阶段检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据条件，利用集合的运算即可求出结果.

【详解】因为集合，，所以，

故选：A.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.

【详解】由题意可得，“”的否定是，

故选：B

3．的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】解不等式可得或，

因为或，

故只有C选项中的条件才是“”的充分不必要条件.

故选：C.

4．已知，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据基本不等式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.

【详解】因为，，，

所以，当且仅当即时取等；

故，即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最值，属于基础题型.

5．若曲线的一条切线为（e为自然对数的底数），其中m，n为正实数，则的值是（    ）

A． e B． C． D．

【答案】C

【分析】设切点坐标，则根据导数的几何意义可求的值，从而可求的关系．

【详解】，设切点坐标为，∴，∴，

∴，

故选：C．

6．专家导航，聚焦课堂．江苏省省教育科学院4名专家到南通市某县指导教育教学工作．现把4名专家全部分配到A，B，C三个学校，每个学校至少分配一名专家，每名专家只能到一个学校，其中甲专家不去A学校，则不同的分配方案种数为（    ）

A．18 B．24 C．30 D．36

【答案】B

【分析】利用分类和分步计数原理，结合排列组合的分组分配知识即可解决.

【详解】根据题意，分两种情况进行分析：

①A学校只有一名专家去且不是甲，则有种方法，将剩余的3名专家分成2组，分配到B，C两个学校，

则有种方法，即这种情况的分配方案种数是种；

②A学校有两名专家去且不是甲，则有种方法，将剩余的2名专家分成2组，分配到B，C两个学校，

则有种方法，即这种情况的分配方案种数是种；

从而一共有18+6=24种分配方案种数.

故选：B.

7．一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（    ）

A．事件与事件不为互斥事件 B．事件与事件不是相互独立事件

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球，进而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再讨论各选项即可得答案.

【详解】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球.

故事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个白球，且；

事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个红球，且；

事件包含：个红球个白球；个红球个白球，且.

所以，，，

因为，则事件与事件不为互斥事件，A选项正确；

，故事件与事件不是相互独立事件，B正确；

，故D错误；

，故C正确；

故选：D.

8．已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】存在性问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值即可得解.

【详解】在上为增函数，

由知，，

令，则，

当时，，

即在上单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

不妨设，则，，

可化为，

即，

令，

则，

， 使能成立，

在上能成立，

即在上能成立，

，，

令，，

则，令，

则，当时，，

故在上单调递增，所以，

故，在上单调递增，

，

.

故选：D

【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若变量y关于变量x的回归直线方程为，且，，则

B．若随机变量的方差，则

C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B组数据比A组数据的相关性较强

D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好

【答案】ACD

【分析】对于A，结合回归方程的性质即可判断；对于B，结合随机变量的方差的性质即可判断；

对于C，结合相关系数的定义即可判断；对于D，结合残差的定义即可判断.

【详解】对于A，因为回归直线经过点，所以将代入回归直线方程，得，所以A正确；

对于B，因为，所以，所以B错误；

对于C，因为，所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以C正确；

对于D，回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以D正确.

故选：ACD.

10．已知，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据题意通过赋值逐项分析判断.

【详解】对于A：令，可得，故A错误；

对于B：令，可得，故B正确；

对于C：令，可得，

结合选项B，两式作差，可得，

即，故C正确；

对于D：令，可得，故D正确.

故选：BCD.

11．下列说法中正确的有（    ）

A．若随机变量服从正态分布，，则．

B．随机变量，若，，则．

C．已知随机变量，则

D．某学校有A，B两家餐厅，某同学第1天午餐时间随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，如果第一天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去B餐厅的概率为0.3

【答案】ABD

【分析】根据正态分布的对称性原则，即可求解判断A；根据二项分布期望和方差的计算公式即可判断B；根据超几何分布的期望以及期望的性质即可判断C；根据条件概率和全概率公式计算即可判断D．

【详解】对于A，由于随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，所以 ，所以，故A正确，

对于B, 由，得，则，故B正确，

对于C，由可得 ，故C错误，

对于D，设表示第1天去餐厅用餐”，设表示“第2天去餐厅用餐”设表示第1天去餐厅用餐”，设表示“第2天去餐厅用餐”，

则，，，

则，

所以，故D正确．

故选：ABD

12．已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A．在上是增函数

B．在上是增函数

C．，不等式恒成立，则正实数的最小值为

D．若有两个零点，则

【答案】BC

【分析】根据导数求函数的单调性，可判断选项A,B；将不等式进行等价转化，参变分离即可判断选项C；根据有两个零点，构造函数应用极值点偏移可判断选项D.

【详解】对于A，，

又当时，，当时，；

当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；

对于B，当时，，令，则，，

因为，所以在上单调递增；

因为在上单调递增，根据复合函数的单调性可知：

在上单调递增，故选项B正确；

对于C，当时，，又因为为正实数，所以，

因为，所以当时，恒成立，

所以函数在上单调递增，则由得：，

即，令，则，

当时，；当时，；

故函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，则正实数的最小值为，故选项C正确；

对于D，函数有两个根，等价于函数有两个零点，

因为，则在上单调递减，在上单调递增，

因为函数有零点，则，解得，

设，令，

因为，

当时，，函数单调递减；

所以函数在上单调递减，所以，

即当时，，由题意，

因为，所以，且在上单调递增，

所以，即，故选项D错误，

故选：BC.

三、填空题

13．二项式的展开式中的常数项为         .

【答案】

【分析】展开式的通项为，由得出，代入即可得出答案.

【详解】二项式的展开式的通项为.

由，可得，

所以，常数项为.

故答案为：.

14．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，则市场上该品牌产品的次品率为        .

【答案】0.02/

【分析】根据全概率公式即可求解.

【详解】设，，分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，由题意有，，，，，

由全概率公式，得

.

故答案为：0.02.

15．袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则          .

【答案】

【分析】由题意得出随机变量的分布列，计算其期望即可.

【详解】由题意可得

若两次摸到两种颜色的球，则；

若三次摸到两种颜色的球，则；

若四次摸到两种颜色的球，则；

故.

故答案为：

16．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是    ；若，则实数m的值是       .

【答案】          /

【分析】①根据极值点的相关知识，将问题转化为函数图像交点个数问题，结合图像求解即可；

②根据已经求得的两个式子，代入，进行化简即可求解.

【详解】函数的导数有两个不等的实数根，

所以由两个不等实数根，

所以与图像有两个公共点，

，则在单调递增，在单调递减，则；

且时，；时，；

如图，

则，所以.

 若，则，

则，代入得，，即，

显然，，则，

代入，则，

因为，所以，.

故答案为：；

【点睛】利用导数研究函数是高中数学常用方法，选择题填空题要善于运用参变分离的方法，结合函数图像快速求解答案.

四、解答题

17．为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．

（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

（2）求乙队总得分为1分的概率．

【答案】（1）甲队总得分为3分的概率为，甲队总得分为1分的概率为；（2）.

【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件即可得解；

（2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件即可得出答案.

【详解】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B．

甲队得3分，即三人都回答正确，其概率．    

甲队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，

其概率．

答：甲队总得分为3分的概率为，甲队总得分为1分的概率为．

（2）记“乙队总得分为1分”为事件．

事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，

则．

答：乙队总得分为1分的概率为．

18．已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．

(1)求函数的表达式；

(2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解；

（2）依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可.

【详解】（1）由题意得 ，所以，

因为对于任意，都有，即恒成立，

故，解得，.                         

所以；

（2）由≥得

当时，不等式恒成立；

当时，，                               

令，则，        

即，

当且仅当时，即时，实数取得最大值.

19．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求在区间上的最小值．

【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．

(2)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为．

【分析】（1）求导可得，讨论两根两者的大小关系，判断的单调性；（2）结合（1）中的单调性，讨论在上的单调性，进而确定最小值．

【详解】（1）因为，所以．

①当时，，则在R上单调递增；

②当时，令，解得或，

则在，上单调递增，在上单调递减；

③当时，令，解得或，

则在，上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）知，当时，或．

①当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

此时在上的最小值为；

②当，即时，在上单调递减，

此时在上的最小值为．

20．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．

(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）

(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．

（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；

（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．

参考公式：（其中为样本容量）

【答案】(1)表格见解析，可以认为

(2)（i）；（ii）109或110．

【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；

(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：

在内有（只）；

在内有（只）；

在内有（只）；

在内有（只），

在内有（只）．

由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；

而指标值小于60的小白鼠共有只，

所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，

同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，

故列联表如下：单位：只

零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．

根据列联表中数据，得，

根据的独立性检验，推断不成立，

即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，

此推断犯错误的概率不大于0.05.

（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，

事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，

事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，

记事件A，B，C发生的概率分别为，

则，，

，

所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，

（ii）由题意，知随机变量，

，

因为最大，

所以，

解得

是整数，所以或，

接受接种试验的人数为109或110．

21．已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)（i）求证：；

（ii）求所有满足的正整数，.

【答案】(1)，；

(2)（i）证明见解析；（ii）或.

【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答.

（2）（i）求出等比数列的前项和即可推理作答；

（ii）由数列的通项及（i）中结论，判断计算作答.

【详解】（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，

设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，

所以数列，的通项公式分别为，.

（2）（i）由（1）知，，

当时，，此时数列是递减的，恒有，

当时，，此时数列是递增的，恒有，

又，，即，

所以，.

（ii）由（i）知，，当时，，若，则，解得，

即有，当时，，即，解得，

当时，，即，即，无整数解，

当时，，即，解得，

所以或.

22．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围；

(3)若函数有两个极值点，求证：.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出时的，先求出切点坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求解切线方程即可；

（2）利用极值点的含义以及根与系数的关系，即可求实数的取值范围；

（3）由（2）中结论，化简，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，即可证明不等式．

【详解】（1）当a=1时，，

所以，故切点坐标为，

又，所以，故切线的斜率为，

由点斜式可得，，即，

故曲线在点处的切线方程为；

（2）的定义域为，

又，

因为函数有两个极值点，因此有2个不等的正根

令，

所以，解得

当时，函数有两个极值点.

（3）由（2）可知，当时，f（x）有两个极值点，

则，由题意可得，，

则

，

令，

则，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

故当时，取得最大值，

所以.

【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.