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考点08三角函数（30种题型8个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）
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这是一份考点08三角函数（30种题型8个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版），共43页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷常考等内容，欢迎下载使用。
考点08三角函数（30种题型8个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题
考点
考向
2022新高考1第6题
三角函数的性质及其应用
求值
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2022新高考2第6题
三角恒等变换
求正切值
2022新高考2第9题
三角函数的性质及其应用
求单调区间，对称轴
2021新高考1第4题
三角函数的性质及其应用
求解单调区间
2021新高考1第6题
三角恒等变换
给值求值问题
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角函数恒等变换与三角函数图像与性质、解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）
A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）
2．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1 B． C． D．3
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
二．多选题（共1小题）
（多选）5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
三．解答题（共2小题）
6．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
7．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
四、考点清单
一．任意角的概念
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
二．终边相同的角
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
三．象限角、轴线角
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
四．弧度制
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
五．弧长公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
六．扇形面积公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
七．任意角的三角函数的定义
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
八．三角函数线
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
九．三角函数的定义域
【概念】
函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围．三角函数作为一类函数，也有定义域，而且略有差别．
【三角函数的定义域】
以下所有的k都属于整数．
①正弦函数：表达式为y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]单调递增，其他区间单调递减．
②余弦函数：表达式为y＝cosx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]单调递增，其他区间单调递减．
③正切函数：表达式为y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递增．
④余切函数：表达式为y＝cotx，x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递减．
⑤正割函数：表达式为y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx•cosx＝1．
⑥余割函数：表达式为y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx•sinx＝1．
【考点点评】
这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定不要忘了补充k∈Z．
十．三角函数值的符号
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
十一．三角函数的周期性
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
十二．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α．
公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
十三．运用诱导公式化简求值
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
十四．正弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十五．正弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十六．正弦函数的奇偶性和对称性
【正弦函数的对称性】
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
十七．余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十八．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十九．正切函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
二十．正切函数的单调性和周期性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
【正切函数的周期性】
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
二十一．正切函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
二十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
二十四．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
二十五．同角三角函数间的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二十六．两角和与差的三角函数
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
二十七．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
二十八．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
二十九．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
三十．三角函数中的恒等变换应用
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三十一．三角函数应用
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
三十二．解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
五、题型方法
一．任意角的概念（共1小题）
（多选）1．（2023•弥勒市校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sinθ⋅cosθ＜0
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过4小时，时针转了120°
D．若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有
二．终边相同的角（共1小题）
（多选）2．（2023•丽江一模）与﹣835°终边相同的角有（ ）
A．﹣245° B．245° C．﹣115° D．﹣475°
三．象限角、轴线角（共1小题）
3．（2023•武功县校级模拟）坐标平面内点P的坐标为（sin5，cos5），则点P位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
四．弧度制（共1小题）
4．（2023•青浦区二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为 ．
五．弧长公式（共2小题）
5．（2023•嘉兴二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径．厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ＝82.8°，又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
6．（2023•周至县二模）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A． B． C． D．
六．扇形面积公式（共2小题）
7．（2023•福建模拟）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝ ．
七．任意角的三角函数的定义（共1小题）
9．（2023•蚌埠模拟）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么sinα＝（ ）
A． B． C． D．
八．三角函数线（共1小题）
10．（2023•江西模拟）若0＜α＜π，则“”是“tanα＞1”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
九．三角函数值的符号（共1小题）
11．（2023•广西模拟）sin3+cos3的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
一十．三角函数的周期性（共4小题）
12．（2023•开福区校级一模）已知函数，若存在x1，x2∈R，当|x1﹣x2|＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，则函数f（x）的最小正周期为（ ）
A． B． C．2π D．4π
13．（2023•商洛三模）记函数的最小正周期为T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023•江西二模）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知函数，给出下列说法：
①f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
②f（x）的最小正周期为2π；
③f（x）的值域为；
④f（x）图象的对称轴为直线．
其中所有正确说法的序号为（ ）
A．②③ B．①④ C．③ D．②③④
15．（2023•海淀区二模）已知函数，且．
（1）求a的值和f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
一十一．诱导公式（共1小题）
16．（2023•毕节市模拟）已知sin，则cos2θ＝ ．
一十二．运用诱导公式化简求值（共2小题）
17．（2023•凉州区模拟）若，则tanα＝（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
18．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
一十三．正弦函数的图象（共2小题）
19．（2023•诸暨市模拟）已知函数在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 ．（写出符合条件的一个值即可）
一十四．正弦函数的单调性（共2小题）
21．（2023•河北模拟）已知函数在区间上不单调，则ω的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
一十五．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
23．（2023•攀枝花三模）已知函数对任意都有，则当ω取到最大值时，f（x）图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023•安徽三模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．|f（x）|的最小正周期为2π
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x）在区间上的最大值为1，则
一十六．余弦函数的图象（共1小题）
25．（2023•宁德模拟）已知函数，射线y＝﹣2（x≥0）与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列{xn}，且，则f（5）＝ ．
一十七．余弦函数的单调性（共1小题）
26．（2023•白山三模）已知函数，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
一十八．正切函数的图象（共1小题）
27．（2023•全国二模）函数y＝2cosx（0＜x＜π）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
一十九．正切函数的单调性和周期性（共1小题）
28．（2023•桃城区校级一模）已知f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），f（0）＝，周期T∈（，），（，0）是f（x）的对称中心，则f（）的值为（ ）
A． B． C． D．
二十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
29．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝（cosx≠0）的一个对称中心为 （答案不唯一）．
二十一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题）
30．（2023•曲靖模拟）已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则＝（ ）
A． B． C． D．
31．（2023•南通模拟）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．
（1）若ω＝2，求函数y＝g（x）在区间上的最大值；
（2）若函数y＝g（x）在区间上没有零点，求ω的取值范围．
32．（2023•辽宁模拟）将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像．
（1）设，，当时，求的值域；
（2）在①②③b＝1三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三条边，，_____，_____．求△ABC的面积S△ABC．
33．（2023•温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中ω为正整数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数的单调区间．
二十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
34．（2023•全国三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，同时满足，若函数g（x）＝f（x）﹣1在区间（0，λ）上共有8个零点，则这8个零点之和为 ．
二十三．三角函数的最值（共1小题）
35．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝2sinxcosx+4cos2x﹣1，若实数a、b、c使得af（x）﹣bf（x+c）＝3对任意的实数x恒成立，则2a+b﹣cosc的值为（ ）
A． B． C．2 D．
二十四．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
36．（2023•芜湖模拟）已知，则sinα＝ ．
二十五．两角和与差的三角函数（共3小题）
37．（2023•湖北模拟）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
38．（2023•河北模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
39．（2023•西城区二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos2x，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f（x）存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）当时，若曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：是f（x）的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
二十六．二倍角的三角函数（共1小题）
40．（2023•惠州一模）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
二十七．半角的三角函数（共1小题）
41．（2023•江西模拟）若，α是第三象限的角，则＝（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
二十八．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
42．（2023•南关区校级模拟）已知，则＝ ．
二十九．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
43．（2023•山东模拟）已知函数，则（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．为f（x）的一个周期
C．f（x）的值域为
D．f（x）在上单调递增
三十．三角函数应用（共2小题）
44．（2023•广东二模）已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟
45．（2023•贵州模拟）函数在[﹣，]上零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
六、易错分析
易错1：忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
2．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
3．已知θ∈(0，π)，tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
4．在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，) D．(，3)
易错2：对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2＋＝( )
A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4
6．若<θ<，则等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
易错3：三角函数图象左右平移时忽视自变量x的系数致错
7．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
8．要得到y＝cos的图象，只需将y＝sinx的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
易错4：涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错
9．已知角α为第一象限角，则是第________象限角．
10．(忽视对k的讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
易错5：含参问题忽视对参数的讨论致错
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
易错6：三角函数的单调性问题中，忽视自变量x的系数为负值致错
12．函数f(x)＝sin的单调递增区间为________．
易错7：判断三角形形状时考虑不全致错
13. 已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
易错8：忽视正切函数本身的定义域
14．已知函数f＝lg＋，则f的定义域是____．
七、刷常考
一．选择题（共15小题）
1．（2023•宜春二模）函数的图象（0＜ω＜4）关于直线对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数y＝g（x）图象重合，下列说法正确的是（ ）
A．函数g（x）图象关于直线对称
B．函数g（x）图象关于点对称
C．函数g（x）在单调递减
D．函数g（x）最小正周期为
2．（2023•潮州二模）若，则＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
3．（2023•江西模拟）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授．新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去．这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染、受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
4．（2023•重庆模拟）中国折扇有着深厚的文化底蕴．用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角θ时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为r）分割出来的扇形，使扇形的面积S1与圆的面积的乘积等于剩余面积S2的平方．则扇形的圆心角θ为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•雅安模拟）已知实数a，b满足log2a＜log2b＜0，则下列各项中一定成立的是（ ）
A． B．sin2a＜sin2b
C．logae＜logbe D．ab＜ba
6．（2023•榆林二模）已知函数在和上都是单调的，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023•商丘模拟）已知tanθ＝﹣3，则sin2θ﹣cos2θ＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•广西模拟）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2023•新城区校级一模）若，则＝（ ）
A．3 B． C．2 D．4
10．（2023•南通一模）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
11．（2023•郑州模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023•武汉模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A．ω B．φ C． D．Asinφ
13．（2023•玉林三模）已知函数f（x）＝2sinx+4cosx在x＝φ处取得最大值，则cosφ＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
14．（2023•润州区校级二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．（2，4] B． C． D．
15．（2023•重庆模拟）某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）16．（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称中心是，点在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递减
D．是奇函数
（多选）17．（2023•日照模拟）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点对称
B．f（x）在区间的最小值为
C．为偶函数
D．f（x）的图象向右平个单位后得到y＝sin2x的图象
（多选）18．（2023•清新区模拟）已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），M（cosγ，sinγ）是单位圆上的三点，满足，0＜γ＜2π，且，其中λ为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若，则 B．若λ＝1，则
C． D．
三．填空题（共6小题）
19．（2022•新疆模拟）已知α∈（0，π），，则＝ ．
20．（2023•松江区模拟）已知函数，且，则α+β＝ ．
21．（2023•新乡模拟）已知函数f（x）＝2sinx+cosx，若∃θ∈R，∀x∈R，f（x）≤f（θ），则tan2θ的值为 ．
22．（2022•城厢区校级模拟）已知角，tan＝，则α＝ ．
23．（2022•德州模拟）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
24．（2022•兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题）
25．（2022•安徽模拟）已知f（x）＝Asin（ωx+φ）[A，ω＞0，φ∈（﹣，）]，其图像相邻两条对称轴的距离为，且f（0）＝1，f（）＝A．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（，）上的单调递增区间．
26．（2022•浙江模拟）已知函数的部分图象如图所示，且D（0，﹣1），△ABC的面积等于．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若，且，求的值．
27．（2022•通州区一模）已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）从下面四个条件中选择两个作为已知，求f（x）的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：f（x）的值域是[﹣2，2]；
条件②：f（x）在区间上单调递增；
条件③：f（x）的图象经过点（0，1）；
条件④：f（x）的图象关于直线对称．
28．（2022•襄城区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+2sin2（+）﹣1（ω＞0）的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图像，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域；
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程g（x）＝在x∈[，]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m＝x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn，试求n与m的值．
29．（2022•宝坻区校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，b＝2，且sinC＝sinB+sin（A﹣B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求边c的大小；
（Ⅲ）求的值．
30．（2022•东城区一模）已知函数f（x）＝asinωxcosωx（a＞0，ω＞0）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣2cos2ωx+1，求函数g（x）在（0，π）上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：f（x）为偶函数；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•呼和浩特模拟）设函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则（ ）
A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
2．（2023•东城区校级模拟）如果函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
3．（2023•中卫二模）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（ω＞0）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且f（0）+f（）＝3，为了得到函数g（x）＝sinωx﹣acosωx的图象，只要把f（x）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2023•乌鲁木齐模拟）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•南部县校级模拟）若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项，则cos2x的值为：（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•西城区校级模拟）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2023•贾汪区校级模拟）奇函数f（x）＝cos（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））在区间[﹣，]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．[2，6） B．[2，） C．[，） D．[，6）
8．（2023•铁岭模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）＝对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，当ω取最小值时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点成中心对称
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移后关于原点成中心对称
10．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023•小店区校级模拟）已知，则（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
二．多选题（共1小题）
（多选）12．（2023•潍坊二模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．
D．曲线y＝f（x）在处的切线斜率为﹣2
三．填空题（共6小题）
13．（2023•水富市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），y＝f（x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是 ．
14．（2023•高州市一模）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+2（ω＞0，﹣＜φ＜）的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是f（x）的最小正零点，则f（φ）＝ ．
15．（2023•常州模拟）已知函数，将f（x）的图像向右平移个单位长度后的函数g（x）的图像，若g（x）为偶函数，则函数f（x）在[0，]上的值域为 ．
16．（2023•温州模拟）若cos2α＝2cos（α），α∈（0，π），则sin2α＝ ，tanα＝ ．
17．（2023•华容县模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函数f（x）的图象关于点中心对称，且关于直线轴对称，则ω的最小值为 ．
18．（2023•青羊区校级模拟）已知函数，，，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
四．解答题（共2小题）
19．（2023•宣威市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx．
（1）若ω＝2，求函数f（x）在[0，π]上的零点；
（2）已知ω＝1，函数g（x）＝（f（x））2+cos2x，x∈[0，]，求函数g（x）的值域．
20．（2023•温州模拟）如图，已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于点A，B，C（），直线BC交f（x）的图象于另一点D，O是△ABD的重心．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求△ACD的外接圆的半径．
考点08三角函数（30种题型8个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题
考点
考向
2022新高考1第6题
三角函数的性质及其应用
求值
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2022新高考2第6题
三角恒等变换
求正切值
2022新高考2第9题
三角函数的性质及其应用
求单调区间，对称轴
2021新高考1第4题
三角函数的性质及其应用
求解单调区间
2021新高考1第6题
三角恒等变换
给值求值问题
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角函数恒等变换与三角函数图像与性质、解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）
A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）
2．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1 B． C． D．3
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
二．多选题（共1小题）
（多选）5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
三．解答题（共2小题）
6．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
7．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
四、考点清单
一．任意角的概念
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
二．终边相同的角
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
三．象限角、轴线角
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
四．弧度制
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
五．弧长公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
六．扇形面积公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
七．任意角的三角函数的定义
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
八．三角函数线
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
九．三角函数的定义域
【概念】
函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围．三角函数作为一类函数，也有定义域，而且略有差别．
【三角函数的定义域】
以下所有的k都属于整数．
①正弦函数：表达式为y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]单调递增，其他区间单调递减．
②余弦函数：表达式为y＝cosx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]单调递增，其他区间单调递减．
③正切函数：表达式为y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递增．
④余切函数：表达式为y＝cotx，x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递减．
⑤正割函数：表达式为y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx•cosx＝1．
⑥余割函数：表达式为y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx•sinx＝1．
【考点点评】
这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定不要忘了补充k∈Z．
十．三角函数值的符号
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
十一．三角函数的周期性
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
十二．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α．
公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
十三．运用诱导公式化简求值
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
十四．正弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十五．正弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十六．正弦函数的奇偶性和对称性
【正弦函数的对称性】
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
十七．余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十八．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十九．正切函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
二十．正切函数的单调性和周期性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
【正切函数的周期性】
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
二十一．正切函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
二十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
二十四．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
二十五．同角三角函数间的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二十六．两角和与差的三角函数
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
二十七．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
二十八．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
二十九．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
三十．三角函数中的恒等变换应用
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三十一．三角函数应用
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
三十二．解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
五、题型方法
一．任意角的概念（共1小题）
（多选）1．（2023•弥勒市校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sinθ⋅cosθ＜0
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过4小时，时针转了120°
D．若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有
二．终边相同的角（共1小题）
（多选）2．（2023•丽江一模）与﹣835°终边相同的角有（ ）
A．﹣245° B．245° C．﹣115° D．﹣475°
三．象限角、轴线角（共1小题）
3．（2023•武功县校级模拟）坐标平面内点P的坐标为（sin5，cos5），则点P位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
四．弧度制（共1小题）
4．（2023•青浦区二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为 ．
五．弧长公式（共2小题）
5．（2023•嘉兴二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径．厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ＝82.8°，又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
6．（2023•周至县二模）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A． B． C． D．
六．扇形面积公式（共2小题）
7．（2023•福建模拟）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝ ．
七．任意角的三角函数的定义（共1小题）
9．（2023•蚌埠模拟）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么sinα＝（ ）
A． B． C． D．
八．三角函数线（共1小题）
10．（2023•江西模拟）若0＜α＜π，则“”是“tanα＞1”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
九．三角函数值的符号（共1小题）
11．（2023•广西模拟）sin3+cos3的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
一十．三角函数的周期性（共4小题）
12．（2023•开福区校级一模）已知函数，若存在x1，x2∈R，当|x1﹣x2|＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，则函数f（x）的最小正周期为（ ）
A． B． C．2π D．4π
13．（2023•商洛三模）记函数的最小正周期为T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023•江西二模）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知函数，给出下列说法：
①f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
②f（x）的最小正周期为2π；
③f（x）的值域为；
④f（x）图象的对称轴为直线．
其中所有正确说法的序号为（ ）
A．②③ B．①④ C．③ D．②③④
15．（2023•海淀区二模）已知函数，且．
（1）求a的值和f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
一十一．诱导公式（共1小题）
16．（2023•毕节市模拟）已知sin，则cos2θ＝ ．
一十二．运用诱导公式化简求值（共2小题）
17．（2023•凉州区模拟）若，则tanα＝（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
18．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
一十三．正弦函数的图象（共2小题）
19．（2023•诸暨市模拟）已知函数在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 ．（写出符合条件的一个值即可）
一十四．正弦函数的单调性（共2小题）
21．（2023•河北模拟）已知函数在区间上不单调，则ω的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
一十五．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
23．（2023•攀枝花三模）已知函数对任意都有，则当ω取到最大值时，f（x）图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023•安徽三模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．|f（x）|的最小正周期为2π
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x）在区间上的最大值为1，则
一十六．余弦函数的图象（共1小题）
25．（2023•宁德模拟）已知函数，射线y＝﹣2（x≥0）与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列{xn}，且，则f（5）＝ ．
一十七．余弦函数的单调性（共1小题）
26．（2023•白山三模）已知函数，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
一十八．正切函数的图象（共1小题）
27．（2023•全国二模）函数y＝2cosx（0＜x＜π）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
一十九．正切函数的单调性和周期性（共1小题）
28．（2023•桃城区校级一模）已知f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），f（0）＝，周期T∈（，），（，0）是f（x）的对称中心，则f（）的值为（ ）
A． B． C． D．
二十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
29．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝（cosx≠0）的一个对称中心为 （答案不唯一）．
二十一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题）
30．（2023•曲靖模拟）已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则＝（ ）
A． B． C． D．
31．（2023•南通模拟）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．
（1）若ω＝2，求函数y＝g（x）在区间上的最大值；
（2）若函数y＝g（x）在区间上没有零点，求ω的取值范围．
32．（2023•辽宁模拟）将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像．
（1）设，，当时，求的值域；
（2）在①②③b＝1三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三条边，，_____，_____．求△ABC的面积S△ABC．
33．（2023•温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中ω为正整数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数的单调区间．
二十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
34．（2023•全国三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，同时满足，若函数g（x）＝f（x）﹣1在区间（0，λ）上共有8个零点，则这8个零点之和为 ．
二十三．三角函数的最值（共1小题）
35．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝2sinxcosx+4cos2x﹣1，若实数a、b、c使得af（x）﹣bf（x+c）＝3对任意的实数x恒成立，则2a+b﹣cosc的值为（ ）
A． B． C．2 D．
二十四．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
36．（2023•芜湖模拟）已知，则sinα＝ ．
二十五．两角和与差的三角函数（共3小题）
37．（2023•湖北模拟）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
38．（2023•河北模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
39．（2023•西城区二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos2x，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f（x）存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）当时，若曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：是f（x）的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
二十六．二倍角的三角函数（共1小题）
40．（2023•惠州一模）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
二十七．半角的三角函数（共1小题）
41．（2023•江西模拟）若，α是第三象限的角，则＝（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
二十八．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
42．（2023•南关区校级模拟）已知，则＝ ．
二十九．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
43．（2023•山东模拟）已知函数，则（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．为f（x）的一个周期
C．f（x）的值域为
D．f（x）在上单调递增
三十．三角函数应用（共2小题）
44．（2023•广东二模）已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟
45．（2023•贵州模拟）函数在[﹣，]上零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
六、易错分析
易错1：忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
2．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
3．已知θ∈(0，π)，tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
4．在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，) D．(，3)
易错2：对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2＋＝( )
A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4
6．若<θ<，则等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
易错3：三角函数图象左右平移时忽视自变量x的系数致错
7．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
8．要得到y＝cos的图象，只需将y＝sinx的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
易错4：涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错
9．已知角α为第一象限角，则是第________象限角．
10．(忽视对k的讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
易错5：含参问题忽视对参数的讨论致错
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
易错6：三角函数的单调性问题中，忽视自变量x的系数为负值致错
12．函数f(x)＝sin的单调递增区间为________．
易错7：判断三角形形状时考虑不全致错
13. 已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
易错8：忽视正切函数本身的定义域
14．已知函数f＝lg＋，则f的定义域是____．
七、刷常考
一．选择题（共15小题）
1．（2023•宜春二模）函数的图象（0＜ω＜4）关于直线对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数y＝g（x）图象重合，下列说法正确的是（ ）
A．函数g（x）图象关于直线对称
B．函数g（x）图象关于点对称
C．函数g（x）在单调递减
D．函数g（x）最小正周期为
2．（2023•潮州二模）若，则＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
3．（2023•江西模拟）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授．新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去．这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染、受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
4．（2023•重庆模拟）中国折扇有着深厚的文化底蕴．用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角θ时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为r）分割出来的扇形，使扇形的面积S1与圆的面积的乘积等于剩余面积S2的平方．则扇形的圆心角θ为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•雅安模拟）已知实数a，b满足log2a＜log2b＜0，则下列各项中一定成立的是（ ）
A． B．sin2a＜sin2b
C．logae＜logbe D．ab＜ba
6．（2023•榆林二模）已知函数在和上都是单调的，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023•商丘模拟）已知tanθ＝﹣3，则sin2θ﹣cos2θ＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•广西模拟）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2023•新城区校级一模）若，则＝（ ）
A．3 B． C．2 D．4
10．（2023•南通一模）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
11．（2023•郑州模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023•武汉模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A．ω B．φ C． D．Asinφ
13．（2023•玉林三模）已知函数f（x）＝2sinx+4cosx在x＝φ处取得最大值，则cosφ＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
14．（2023•润州区校级二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．（2，4] B． C． D．
15．（2023•重庆模拟）某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）16．（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称中心是，点在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递减
D．是奇函数
（多选）17．（2023•日照模拟）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点对称
B．f（x）在区间的最小值为
C．为偶函数
D．f（x）的图象向右平个单位后得到y＝sin2x的图象
（多选）18．（2023•清新区模拟）已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），M（cosγ，sinγ）是单位圆上的三点，满足，0＜γ＜2π，且，其中λ为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若，则 B．若λ＝1，则
C． D．
三．填空题（共6小题）
19．（2022•新疆模拟）已知α∈（0，π），，则＝ ．
20．（2023•松江区模拟）已知函数，且，则α+β＝ ．
21．（2023•新乡模拟）已知函数f（x）＝2sinx+cosx，若∃θ∈R，∀x∈R，f（x）≤f（θ），则tan2θ的值为 ．
22．（2022•城厢区校级模拟）已知角，tan＝，则α＝ ．
23．（2022•德州模拟）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
24．（2022•兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题）
25．（2022•安徽模拟）已知f（x）＝Asin（ωx+φ）[A，ω＞0，φ∈（﹣，）]，其图像相邻两条对称轴的距离为，且f（0）＝1，f（）＝A．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（，）上的单调递增区间．
26．（2022•浙江模拟）已知函数的部分图象如图所示，且D（0，﹣1），△ABC的面积等于．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若，且，求的值．
27．（2022•通州区一模）已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）从下面四个条件中选择两个作为已知，求f（x）的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：f（x）的值域是[﹣2，2]；
条件②：f（x）在区间上单调递增；
条件③：f（x）的图象经过点（0，1）；
条件④：f（x）的图象关于直线对称．
28．（2022•襄城区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+2sin2（+）﹣1（ω＞0）的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图像，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域；
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程g（x）＝在x∈[，]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m＝x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn，试求n与m的值．
29．（2022•宝坻区校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，b＝2，且sinC＝sinB+sin（A﹣B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求边c的大小；
（Ⅲ）求的值．
30．（2022•东城区一模）已知函数f（x）＝asinωxcosωx（a＞0，ω＞0）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣2cos2ωx+1，求函数g（x）在（0，π）上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：f（x）为偶函数；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•呼和浩特模拟）设函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则（ ）
A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
2．（2023•东城区校级模拟）如果函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
3．（2023•中卫二模）已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（ω＞0）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且f（0）+f（）＝3，为了得到函数g（x）＝sinωx﹣acosωx的图象，只要把f（x）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2023•乌鲁木齐模拟）已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•南部县校级模拟）若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项，则cos2x的值为：（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•西城区校级模拟）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2023•贾汪区校级模拟）奇函数f（x）＝cos（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））在区间[﹣，]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．[2，6） B．[2，） C．[，） D．[，6）
8．（2023•铁岭模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）＝对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，当ω取最小值时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点成中心对称
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移后关于原点成中心对称
10．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023•小店区校级模拟）已知，则（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
二．多选题（共1小题）
（多选）12．（2023•潍坊二模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．
D．曲线y＝f（x）在处的切线斜率为﹣2
三．填空题（共6小题）
13．（2023•水富市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），y＝f（x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是 ．
14．（2023•高州市一模）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+2（ω＞0，﹣＜φ＜）的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是f（x）的最小正零点，则f（φ）＝ ．
15．（2023•常州模拟）已知函数，将f（x）的图像向右平移个单位长度后的函数g（x）的图像，若g（x）为偶函数，则函数f（x）在[0，]上的值域为 ．
16．（2023•温州模拟）若cos2α＝2cos（α），α∈（0，π），则sin2α＝ ，tanα＝ ．
17．（2023•华容县模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函数f（x）的图象关于点中心对称，且关于直线轴对称，则ω的最小值为 ．
18．（2023•青羊区校级模拟）已知函数，，，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
四．解答题（共2小题）
19．（2023•宣威市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx．
（1）若ω＝2，求函数f（x）在[0，π]上的零点；
（2）已知ω＝1，函数g（x）＝（f（x））2+cos2x，x∈[0，]，求函数g（x）的值域．
20．（2023•温州模拟）如图，已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于点A，B，C（），直线BC交f（x）的图象于另一点D，O是△ABD的重心．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求△ACD的外接圆的半径．
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