考点07函数与数学模型（2种题型）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

这是一份考点07函数与数学模型（2种题型）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共25页。
考点07函数与数学模型（2种题型）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四. 刷常考
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．填空题（共1小题）
1．（2022•上海）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 　 　．
二．解答题（共6小题）
2．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S＝，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为f＝，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S＝+．当f＝18，T＝10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．





3．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？







4．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度，交通流量v＝f（x）＝．
（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；
（2）已知道路密度x＝80时，测得交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．










5．（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．





6．（2020•上海）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点B（x，0），现要建设另一座垃圾投放点ω2（t，0），函数ft（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；
（2）若可以通过ft（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能比建在中点时更加便利？










7．（2019•上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年﹣2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份
卫生总费用（亿元）
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重（%）
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重（%）
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重（%）
2012
28119.00
9656.32
34.34
10030.70
35.67
8431.98
29.99
2013
31668.95
10729.34
33.88
11393.79
35.98
9545.81
30.14
2014
35312.40
11295.41
31.99
13437.75
38.05
10579.23
29.96
2015
40974.64
11992.65
29.27
16506.71
40.29
12475.28
30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设t＝1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数f（t）＝研究函数f（t）的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．

二、考点清单

一．函数最值的应用
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？
解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则
＝2400m+6（）m…（6分）
求导可得
令，可得x＝40…（11分）
∴函数在（0，40）上单调递增，在（40，+∞）上单调递减
∴当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880m元．
这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法．第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性．
【高考预测】
应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来．
二．分段函数的应用
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
三．根据实际问题选择函数类型
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+log7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
四．带绝对值的函数
1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究．
2．①形如y＝|f（x）|的函数，由于|f（x）|＝，因此研究此类函数往往结合函数图象，可以看成由 的图象在x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称得到，例如y＝|x2﹣1|的图象如下图：
②f（x）＝a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的图象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））为折点的折线．
当a+b＞0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为min{f（m），f（n）}；
当a+b＜0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Max{f（m），f（n）}；
当a+b＝0时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为Max{f（m），f（n）}；最小值为min{f（m），f（n）}；例如：y＝2|x﹣1|+3|x﹣2|和y＝2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的图象分别为


三、题型方法

一．分段函数的应用（共11小题）
1．（2023•杨浦区校级三模）设y＝f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，，其中a∈R．若，则f（a）＝　 　．
2．（2023•崇明区二模）若函数y＝的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是 　 　．
3．（2023•嘉定区校级三模）已知函数，若满足f（a）＝f（b）＝f（c）（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是（　　）
A．（3，2023.5） B．（3，2024） C．[3，2024） D．[3，2025）
4．（2023•宝山区校级模拟）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（　　）
A．（60，96） B．（45，72） C．（30，48） D．（15，24）
5．（2023•虹口区校级三模）已知函数，点M、N是函数f（x）图像上不同的两个点，则tan∠MON（O为坐标原点）的取值范围是 　 　．
6．（2023•松江区模拟）已知函数，若对任意实数b，总存在实数x0，使得f（x0）＝b，则实数a的取值范围是 　 　．
7．（2023•松江区校级模拟）已知函数f（x）＝，若x＞0时，f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是　 　．
8．（2023•普陀区校级三模）已知函数，若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2的最大值为 　 　．
9．（2023•杨浦区校级三模）已知曲线C：y＝，点P，Q是曲线C上任意两个不同点，若∠POQ≤θ，则称P，Q两点心有灵犀，若P，Q始终心有灵犀，则θ的最小值θ0的正切值tanθ0＝　 　．​
10．（2023•黄浦区校级模拟）已知函数f（x）＝，若对任意的x1∈[2，+∞），都存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）•f（x2）≥a，则实数a的取值范围为 　 　．
11．（2023•徐汇区校级模拟）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是　 　．
二．根据实际问题选择函数类型（共14小题）
12．（2023•嘉定区校级三模）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序 　 　．
13．（2023•长宁区二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要 　 　米栅栏．

14．（2023•闵行区校级二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用﹣的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是（　　）

A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强
15．（2023•嘉定区二模）如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，AC＝2．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则△CDP的面积的最大值为 　 　．

16．（2023•普陀区校级模拟）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的2%提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的4%提成作奖金；…后每增加5万元，其提成比例也增加一个2%．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为50000×2%+（70000﹣50000）×4%＝1800元．试求：
（1）销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？
（2）若某销售员7、8月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？



17．（2023•宝山区校级模拟）甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a元（a＞0）．
（1）把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？





18．（2023•杨浦区二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB为人工湖，其中射线OA、OB为公园边界．已知OA⊥OB，以点O为坐标原点，以OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）．曲线AB的轨迹方程为：y＝﹣x2+4（0≤x≤2）．计划修一条与湖边AB相切于点P的直路l（宽度不计），直路l与公园边界交于点C、D两点，把人工湖围成一片景区△OCD．
（1）若P点坐标为（1，3），计算直路CD的长度；（精确到0.1千米）
（2）若P为曲线AB（不含端点）上的任意一点，求景区△OCD面积的最小值．（精确到0.1平方千米）








19．（2023•松江区模拟）某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面ACB和两段长度相等的直线型桥面AD、BE，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度DE的长要不大于18米，不小于12米．已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设∠ADO＝θ．
（1）若桥面（线段AD，BE和弧ACB）的修建总费用为W万元，求W关于θ的函数表达式，并写出θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W最低？（角θ的取值精确到＝）

















20．（2023•上海模拟）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为60°的直线；
假设3：伞柄OT长为60cm，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；
假设4：伞面为被被柄OT垂直平分的线段AB，AB＝120cm．
以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．

（1）如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到0.1cm2）；
（2）请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）











21．（2023•宝山区校级三模）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1），②y＝logbx（b＞1），③（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）




22．（2023•浦东新区校级三模）某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？
确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车．
据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%．此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法．
你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？
（1）根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？
（2）你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题．






23．（2023•青浦区校级模拟）一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划．如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，扇形AMN区域计划种植花生，矩形ECFG区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，AM＝60米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米）．
（1）若∠GAM＝θ，请写出S（单位：平方米）关于θ的函数关系式；
（2）求S的最小值．



















24．（2023•松江区二模）某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
A
B
C
D
E
F
价格
9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比
5%
15%
25%
35%
15%
5%
（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的．
①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）














25．（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1﹣图3中的相关边、角满足以下条件：
直线BA与DE的交点是O，AB∥CD，．DE＝EO＝OA＝AB＝200米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

（1）假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．


四.刷常考

一．选择题（共1小题）
1．（2022•闵行区校级二模）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（参考数据ln19≈3）
A．60 B．62 C．66 D．63
二．填空题（共2小题）
2．（2021•浦东新区三模）已知函数f（x）＝，若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）≤f（x0）成立，则实数a的取值范围是　 　．
3．（2021•黄浦区二模）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是　 　．
三．解答题（共9小题）
4．（2021•浦东新区三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9≤k≤29，k∈N*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人．
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数．






5．（2021•浦东新区校级三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？







6．（2021•崇明区二模）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？








7．（2021•奉贤区校级二模）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB＝120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为RS＝4m，RT＝6m，（m为长度单位）．陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（Ⅰ）求点P到点R的距离；
（Ⅱ）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．






8．（2022•上海模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）＝其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）





9．（2022•浦东新区校级模拟）如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中OM为东西走向，Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝﹣3，OA＝6（百米），Q到直线OM，ON的距离分别为3（百米），（百米）．现新修一条自A经过Q的直线型观光车轨道AB（点B在ON上），并在B处修建一游客休息区．
（1）求轨道AB的长；
（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域是以P为圆心，r为半径的圆心区域，且t分钟时，（百米）（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿轨道BA以（百米/分钟）的速度开往休息区A．试判断观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到？并说明理由．




10．（2022•徐汇区三模）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y＝（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．




11．（2021•徐汇区校级三模）已知函数f（x）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．
（Ⅰ）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；
（Ⅱ）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．






12．（2022•闵行区校级二模）某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．
（1）若a＝9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？