第四章 对数运算与对数函数（B卷·能力提升练）-2023-2024学年度高一数学分层训练（北师大版2019必修第一册）

班级              姓名             学号             分数           

第四章  对数运算与对数函数（B卷·能力提升练）

（时间：120 分钟，满分：150 分）

一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）

1．函数定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.

【详解】由题意可得：，解得，

故选：B.

2．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，，，得出，，的大小，即可得出结论.

【详解】因为，，，故，

故选：A.

3．已知，则等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．6

【答案】A

【分析】利用对数和指数互化，可得，，再利用即可求解.

【详解】由得：，，所以，

故选：A

4．已知函数则的值为（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】D

【分析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以，

故选：D

5．科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时所释放出的能量，则里氏震级r可定义为．若，则相应的震级为（    ）（已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）

A．5.8 B．5.9 C．6.0 D．6.1

【答案】B

【分析】根据解析式算出答案即可.

【详解】当时，

故选：B

6．方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的运算性质计算.

【详解】由题意，得，

故.

故选：D.

7．函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.

【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，

故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.

故选：A.

8．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由解得，利用不等式的性质，指数对数函数的性质， 对选项逐个判断.

【详解】，由换底公式，有，解得，

∴，A选项错误；

函数为减函数，∴，B选项正确；

，但不一定成立， 不能得到，C选项错误；

，D选项错误.

故选：B

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．下列函数是奇函数且在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性的判断即可求解.

【详解】,,是奇函数，非奇非偶函数，

在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递减，

故既是奇函数，又在单调递减的函数有和，

故选：AD

10．下列选项中正确的有（    ）

A．函数的图象过定点

B．若，则的取值范围是

C．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为

D．若，则

【答案】BCD

【分析】令，解得，函数经过定点，判断A错误；

根据对数函数的单调性解不等式，判断B正确；

根据函数的奇偶性，求出当时，的解析式，判断C正确；

构造，可知在上是减函数，根据减函数的性质判断D正确．

【详解】解：令，解得，所以函数经过定点，故A错误；

当，若，解得，所以的值不存在；

当，若，解得，

综上可知的取值范围是，故B正确；

当时，，由条件可知，

则的解析式为，故C正确；

构造，由指、对数函数的单调性可知在上是减函数，

，

即，所以，

所以，即，故D正确．

故选：BCD．

11．已知函数，若，则的所有可能值为（    ）

A．1 B． C．10 D．

【答案】AD

【分析】先求出的值，等价于，按照和两种情况分别求出的所有可能值．

【详解】

当时，由

可得

当，

可得

解得

的所有可能值为：或

故选：AD.

12．关于函数，有下列结论，其中正确的是　　

A．其图象关于轴对称 

B．的最小值是 

C．当时， 是增函数；当时，是减函数 

D．的增区间是，

【答案】

【分析】判断函数的奇偶性，结合基本不等式，求解单调区间，即可判断结果．

【详情】解：函数，是偶函数，所以正确；

函数．当且仅当时，取得最小值，所以正确；

函数的单调增区间为：，．

所以不正确，正确；

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．_________.

【答案】5

【分析】根据对数的运算性质和运算法则即可求的答案.

【详解】解：根据对数的性质和运算法则可知：

.

故答案为：5

14．函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（3）　27　．

【答案】27

【分析】利用对数函数的性质求出，再代入幂函数求出解析式即可．

【详解】解：令，则，，，将点代入幂函数，得，，，（3），故答案为：27．

15．设函数，若，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【分析】分和两种情况求解即可.

【详解】当时，由，得，

即，得，，

所以，

当时，由，得，，

所以，

综上，，即实数的取值范围是，

故答案为：.

16．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.

【答案】

【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：令，则，

当时，是增函数，由在区间上为减函数，

则在上为减函数，故，即，解得；

当时，是减函数，由在区间上为减函数，

则在上为增函数，故，即，解得，

综上，的取值范围是..

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17．求下列各式的值．

（1）．

（2）已知，，求的值．

【答案】；

【分析】（1），再结合对数运算性质可得结果；

（2），然后把，代入可得结果．

【解答】解：（1）原式

（2）因为，，所以．

18．已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2).

（1）求a的值；

（2）当时，求f(x)的值域．

（3）若，判断g(x)的奇偶性；

【答案】（1）2；（2）；（3）奇函数；

【解析】（1）把点代入求得即可；（2）根据对数函数的性质，求得的解析式及定义域；（3）利用奇偶函数的定义验证.

【详解】解：（1）∵（且）的图象过点

∴，∴，又且，解得.

（2）由（1）可知，在上单调递增，所以最小值为，最大值为，所以f(x)的值域是

（3）其中且

所以的定义域为，定义域关于原点对称，

，所以是奇函数.

19．已知函数；

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断函数的单调性；

（3）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或

【解析】（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；

（2），则，利用复合函数的单调性判断；

（3）利用函数单调性解不等式即可．

【详解】解：（1）由得，或，

又，

故函数是奇函数；

（2）令，其在上单调递增，

又在上单调递增，

根据复合函数的单调性可知在上单调递增，

又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，

所以函数的单调增区间为，；

（3），且函数在上单调递增得，

解得或．

20．已知函数．

（1）求函数的解析式；

（2）求的值；

（3）解方程．

【答案】（1）；（2）1；（3）或.

【分析】（1）利用方程组法求解，把函数中的换成，得到一个式子，然后和已知的函数关系式联立方程组可求出的解析式；

（2）直接代值求解；

（3）由题意可得，化简可求得结果.

【详解】解：（1）函数的定义域为，，①

上式中把换成，得，即．②

将②代入①，得，∴．

（2）．

（3）∵，∴，可得，解得或，

∴或．

21．已知函数是奇函数，且定义域为，，．若时，．

（1）求的解析式；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）；（2），，

【分析】（1）设，则，代入已知解析式得的解析式，再利用奇函数的定义，求得函数的解析式，

（2）原不等式化为，或，根据对数的性质，解得即可．

【详解】解：（1）设，则，，

函数是定义域为的奇函数，，

，；

（2），，或，

即或解得，或，

故不等式的解集为，，．

22．已知函数且．

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）当时，存在，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2；

当 时，存在使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2

【分析】（1）由题意可得恒成立，再根据，且△，求得的范围．

（2）分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求得的范围．

【解答】解：（1）函数且的定义域为，故恒成立，

，且△，求得．

（2）①当时，要使函数在区间，上为增函数，

则函数在，上恒正，且为增函数，

故且，求得，此时，最小值（2）．

此时，的最大值为（3），．

②当 时，要使函数在区间，上为增函数，

则函数在，上恒正，且为减函数．

故，求得，最小值（3），

此时，的最大值为（3），求得．

③当时，，在，上单调递减，

最小值（3），不满足题意．

综合①②③，当时，存在，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2；

当 时，存在使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2．