2023-2024学年贵州省铜仁第一中学高二上学期8月摸底衔接质量检测（一）数学试题

  秘密★启用前                                                          试卷类型：120分钟

2023年8月高二学年摸底衔接质量检测（一）

数 学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

1．设集合，函数的定义域为，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．2

3．设a＝30.1，b＝lg5－lg2，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c

4．下列结论中正确是（    ）

A．若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个

B．若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行

C．若平面α平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与m平行

D．若直线l平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个

5．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ）

A． B． C． D．

（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在棱长为4的正方体中，点P是的中点，动点Q在平面内（包括边界），若平面，则AQ的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．

8．若函数在（0，）上恰有2个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．若复数，则为纯虚数的充要条件是

C．是关于的方程的一个根

D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为

10．为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：）的数据如下表：

以下判断中正确的是（    ）

A．该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为8.2

B．该班男生每周课外阅读的平均时长的分位数是8.4

C．该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小

D．该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于的概率为0.4

11．设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．若函数的最大值为2，则

B．若对于任意的，都有成立，则

C．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是

D．当时，对于任意的，函数在上至少有两个零点，则的取值范围是

12．如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点，连接是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（    ）

A．平面平面

B．三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为

C．直线与平面所成的角为

D．若，则过三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．若一组数据m，n，9，8，10的平均数为9，方差为2，则.

14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为.

15．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为.

16．钝角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则面积的取值范围是.

四、解答题：本题共6个小题，共70分。应写出相关演算步骤的计算公式或文字说明。

17．已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围

18．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰。已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响。

（1）求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（2）求至少有一名选手通过全部考核的概率

19．已知函数为奇函数，

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

20．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值

21．某校有高中生2000人，男女生比例约为，为获得全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案。

方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取的样本容量为，得到频数分布表和频率分布直方图。

方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20。

图1

图2

（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

（2）计算方案二中总样本的均值及方差；

（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？

22．在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)  证明：；

(2)  已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．

秘密★启用前                                                           试卷类型：120分钟

2023年8月高二学年摸底衔接质量检测（一）

数 学

注意事项：

4. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
5. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

客观题 Ⅰ

客观题 Ⅱ

17.  (1) ；(2)

【详解】（1）令，则，

∴函数的单调递增区间为．

（2）对任意的，有，

∴，∴，

要使恒成立，∴，解得．

故所求实数m的取值范围为．

18. (1) ；(2)

【详解】（1）设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，

由已知，

设事件表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误，

则；

（2）设表示“甲选手通过全部考核”，

则．

设事件表示“乙选手能正确回答第轮问题”，

由已知，

设表示“乙选手通过全部考核”，

则．

则至少有一名选手通过全部考核的概率为.

19. (1) ；(2)

【详解】（1）因为为奇函数，所以，

所以在定义域内恒成立，

即在定义域内恒成立，

整理，得在定义域内恒成立，

所以，解得．

因为时，的定义域关于原点对称满足题意，

所以．

（2）因为的定义域，所以或，解得，

因为恒成立，所以，所以

．

因为，当时，，所以根据基本不等式的性质得

，当且仅当，即时等号成立，

所以，所以．

20．(1)；(2)．

【详解】（1）因为，即，

而，所以；

（2）由（1）知，，所以，

而，

所以，即有，所以

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

21. （1），，频率分布直方图见解析，身高均值

（2）均值为，方差为；

（3）总样本均值的差为，不合适，理由见解析.

【详解】（1）因为身高在区间的频率为，频数为，

所以样本容量为，，，

，

所以身高在的频率为，小矩形的高为，

所以身高在的频率为，小矩形的高为，

由此补全频率分布直方图：

由频率分布直方图可知：样本的身高均值为：

，

所以由样本估计总体可知，估计该校高中生的身高均值为

（2）把男生样本记为：，其均值为，方差为，

把女生样本记为：，其均值为，方差为，

总体样本均值记为，方差记为，

所以，

又因为，

所以，

同理可得：，

所以

，

（3）两种方案总样本均值的差为，

所以用方案二总体样本均值作为总体均值的估计不合适，原因是没有进行等比例的分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此代表性较差.

22. 【详解】（1）如图，

底面，面，

，又，平面，,

平面ACC1A1，又平面，

平面平面，

 过作交于，又平面平面，平面，

平面

到平面的距离为1，，

在中，，

设，则，

为直角三角形，且，

，，，

，解得，

，

（2），

，

过B作，交于D，则为中点，

由直线与距离为2，所以

，，，

在，，

延长，使，连接，

由知四边形为平行四边形，

，平面，又平面，

则在中，，，

在中，，，

,

又到平面距离也为1，

所以与平面所成角的正弦值为