2023-2024学年福建省永春县第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案

2023-2024学年福建省永春县第一中学高二上学期8月月考数学试题

一、单选题

1．对于实数，“”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据，得到答案.

【详解】，但，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

2．在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是（　　）

A．关于轴对称

B．关于平面对称

C．关于坐标原点对称

D．关于平面对称

【答案】C

【分析】根据空间点的坐标的概念逐项分析可得答案.

【详解】关于轴对称的两个点的纵坐标相等，故A不正确；

关于平面对称的两个点的横坐标相反，纵坐标、竖坐标都相等，故B不正确；

关于坐标原点对称的两个点的横坐标、纵坐标、竖坐标都是相反数，故C正确；

关于平面对称的两个点的纵坐标相反，横坐标、竖坐标相等，故D不正确.

故选：C

3．若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义确定其在复平面上的点的坐标，由象限列不等式即可得的取值范围.

【详解】复数对应的点为在复平面内位于第四象限

则，解得.

故选：C.

4．某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，测得它们的直径长度（单位：）如下：9、8.7、8.6、8.5、8.5、8.5、8.4、8.3、8.3、8.2、8.1、8，那么在这组数据中，的珍珠直径长度都小于或等于（    ）

A．8.6 B．8.55 C．8.25 D．8.2

【答案】A

【分析】根据百分位数计算即可判定.

【详解】由题意可得这12组数据的第80百分位数为：，

这组数据从小到大排序可知第10个数为8.6，即的珍珠直径长度都小于或等于8.6，

故选：A

5．设函数，若，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数，先由得，由代入分段函数可得.

【详解】由题意，

因，

所以，

故选：C

6．，，，若，，共面，则实数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对，使，列出方程组，即可求出的值．

【详解】向量，，，

若向量，，共面，则存在唯一的实数对，使，

即

，解得，

实数的值为．

故选：D

7．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，∠APC为钝角等价于，即,从而可求λ的取值范围.

【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：

则有，

，

，

，

显然∠APC不是平角，

所以∠APC为钝角等价于，

，

，

得，

因此，λ的取值范围是,

故选：B

【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题.

8．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.

【详解】变形为：，即在上恒成立，

若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；

当时，画出两个函数的图像，

要想满足在上恒成立，只需，即，

解得：，综上：实数a的取值范围是.

故选：C

二、多选题

9．在平行六面体中，下列各式中运算的结果为向量的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】作出平行六面体，结合空间向量的线性运算化简即可.

【详解】解:如图所示：

A中，；

B中，；

C中，，

D中，．

故选:ABC．

10．已知，，，下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A．若，，，则

B．以，为邻边的平行四边形的面积是

C．若，夹角为钝角，则

D．若，则，夹角为锐角

【答案】BD

【分析】利用向量垂直和模长条件判断A选项，根据三角形面积公式判断B选项，根据空间向量夹角与数量积的关系判断C选项和D选项.

【详解】对于A：设 由，

同理：，

，得或.

故A错误.

对于B：平行四边形的面积:故B正确.

对于C：若，夹角为钝角,.

当与夹角为时，，故.

故C错误.

对于D：时，，且与夹角不为0，故，夹角为锐角.

故D正确.

故选：BD

11．已知函数的部分图像如图，下列结论正确的有（    ）

A．是函数的一条对称轴

B．函数为奇函数

C．函数在为增函数

D．函数在区间上有个零点

【答案】ACD

【分析】由图分别计算值，从而得，代入点计算可得值，从而得函数的解析式，利用三角函数的性质对选项逐一计算分析即可得答案.

【详解】由图可知，，，得，

所以，，

得，因为，所以，

所以得，则，

所以是函数的一条对称轴，故A正确；

函数，

所以函数为偶函数，故B错误；

，

得，

所以函数的单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为，

所以函数在上为增函数，故C正确；

当时，即，得，

因为，可得的取值是

，

函数在区间上有个零点，故D正确；

故选：ACD

12．一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球．现从中任意取出两个球，设事件A＝“取出的两球颜色相同”，B＝“取出的两球编号之差的绝对值为1”，C＝“取出的两球编号之和为6或7”，D＝“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是（    ）．

A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立

C．事件B与事件C相互独立 D．事件B与事件D互斥

【答案】ABD

【分析】列出6个小球任意取出两个球的全部结果，从而可以求解事件的概率，再结合互斥事件与独立事件的定义即可判断.

【详解】根据题意可知，6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为.

事件包含3种可能，即；

事件包含5种可能，即；

事件包含5种可能，即；

事件包含1种可能，即.

事件分别为 各1种可能，

对于A，，A对；

对于B，，B对；

对于C，，错；

对于D，事件与事件不能同时发生，故事件与事件互斥，对.

故选：ABD.

三、填空题

13．若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为         .

【答案】

【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径.

【详解】设扇形的半径为，则该扇形的面积为，解得，

故该扇形的半径为.

故答案为：.

14．与共线的单位向量是           .

【答案】或

【分析】根据直接求解即可.

【详解】，

，即或.

故答案为：或

15．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为     .

【答案】

【分析】根据空间中点到直线的距离公式求解即可.

【详解】∵，，

∴，又，

∴，

∴，又，

∴点P到直线l的距离为.

故答案为:.

16．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作．若，，，则三棱锥的表面积为        ．

【答案】

【分析】根据题意，结合正四面体的表面积公式计算即可.

【详解】由题意可知，，则，同理可得，

，

，同理可得，

即三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知点，，，设，．

(1)求，夹角的余弦值．

(2)若向量，垂直，求的值．

(3)若向量，平行，求的值．

【答案】(1)

(2)或.

(3)

【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.

（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.

（3）利用共线向量定理可求参数的值.

【详解】（1），，

故.

（2）由（1）可得

，，

因为向量，垂直，故，

整理得到：，故或.

（3）由（1）可得不共线，故，均不为零向量，

若向量，平行，则存在非零常数，使得，

整理得到：，

因为不共线，故，故或，

故.

18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求的值；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数关系以及两角和的正弦公式化简，即可得答案；

（2）由正弦定理边角互化可得，再利用余弦定理可求得，利用三角形面积公式即得答案.

【详解】（1）由于，

故，

所以，

即，而，故，

即；

（2）由（1）可知，故，

因为，，故，

即得，

又，A为三角形内角，故，

故的面积为.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．

(1)求证：平面MBD；

(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.

【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，

由四边形ABCD为矩形，

可知O为AC中点，M为PC中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面MBD.

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则 ，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．如图，二面角的大小为，四边形与均为正方形，，，记．

(1)请用表示，并求；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用向量的线性运算表示，然后利用向量数量积的公式求出即可；

（2）利用向量的模长公式求出，然后利用向量数量积的公式求出两个向量夹角的余弦值即可.

【详解】（1）由已知得：，

，

∴，

∴

（2）四边形与均为正方形，平面平面,

所以即二面角的大小为，且

∴，

∴===，

∴异面直线AB与PQ所成角的余弦值为．

21．如图，四边形中，，，设．

（1）若面积是面积的倍，求;

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，根据，；利用三角形的面积公式即可求解.

（2）在中，利用正弦定理可得，在中，，两式作商即可求解.

【详解】解：（1）设，

则，，，

由题意，

则，

所以.

（2）由正弦定理，在中，，

即①

在中，，

即②

②÷①得：，

，化简得，

所以.

22．如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．

(1)若，求证：平面平面；

(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；

（2）假设存在，使得直线平面，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面平面的法向量，则求出的坐标，由可得，此方程组无解，即可得出结论.

【详解】（1）证明：若，则平面、平面为同一个平面，

连接，则M是中点，是中点，

故是的中位线，所以．

因为，所以平面四边形是平行四边形，所以．

又平面平面，所以平面

同理平面，且平面平面，

所以，平面平面．

（2）假设存在，使得直线平面．

以C为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，故．

设是平面的法向量，则，

所以，取，得是平面的一个法向量，

取中点P，中点Q，连接，

则．

于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，

是二面角的平面角，于是，

所以，且平面，

故，同理，

所以，

因为，

，

所以．

若直线平面，是平面的一个法向量，则．

即存在，使得，则，此方程组无解，

所以，不存在，使得直线平面．

【点睛】关键点点睛：是否存在，使得直线平面，明确点线面的位置关系，建立空间直角坐标系后，关键点在于确定，并结合三角恒等变换化简，从而结合向量的共线的坐标表示，判断结论.