2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二上学期月考一（10月）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二上学期月考一（10月）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二上学期月考一（10月）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出集合和，再根据交集的运算即可求解.【详解】∵集合，∴，∴故选：B.2．若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案.【详解】由题意得,∵为纯虚数∴且，∴，另解：设（），则，即，，∴，故选：D.3．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由双曲线的定义即可求解.【详解】解：由题意，因为，所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，故选：C.4．甲､乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【详解】解：依题意两人中恰有一人晋级，则甲晋级、乙未晋级或甲未晋级、乙晋级，所以概率；故选：A5．对于两条不同直线，和两个不同平面，，下列选项错误的为（    ）A．若，，，则 B．若，，，则或C．若，，则或 D．若，，则或【答案】B【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】若，，，则，故A正确；由，，推不出或，故B错误；若，，则或，故C正确；若，，则或，故D正确；故选：B6．已知为正实数且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D7．已知圆和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】设出P的坐标，由圆C上存在点P使得，可构建的等式，解读的几何意义，结合图形求出最值.【详解】设点圆C上点P使得，,又，, ，即，其意义表示为到原点的距离，又点在圆上,可知,故选：B.8．已知圆C的方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P做圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断出四边形PAOB的面积最小时点的位置，根据圆与圆的交线的求法求得正确答案.【详解】依题意可知，所以，所以最小时，最小，此时，的斜率为，所以此时直线的斜率为，也即此时直线的方程为，由解得，则，以为圆心，半径为的圆的方程为，即，与两式相减并化简得：.故选：A   二、多选题9．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）A．若，则是等腰三角形B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个C．若不是直角三角形，则D．若，则为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A，利用正弦定理整理等式，结合正弦函数以及三角形的内角性质，可得答案；对于B，利用余弦定理，建立方程，根据一元二次方程的求解，可得答案；对于C，根据正切函数的和角公式，整理等式，结合直角三角形的性质，可得答案；对于D，利用平面向量的数量积的定义式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，即，因为，，所以，，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，由余弦定理得，即，即，解得，由，所以，则满足条件的三角形有且只有一个，故B正确；对于C，因为不是直角三角形，且，所以，即，所以，故C正确；对于D，，即，所以，因为，则，所以一定是直角三角形，故D错误.故选：BC.10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（    ）A．M，N，B，四点共面B．异面直线与MN所成角的余弦值为C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形D．三棱锥的体积为【答案】BCD【分析】根据直线与直线的位置关系判定A；由异面直线所成角求解判定B；作出截面判定C；由体积公式判定D【详解】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误；对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角，设，则，所以，所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确；对于C，连接，，易得，所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确；对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB，所以平面MNB，所以，故D正确.故选：BCD11．下列说法中，正确的有（    ）A．点斜式 = 可以表示任何直线B．直线在轴上的截距为-2C．直线关于对称的直线方程是D．点到直线的最大距离为2【答案】BD【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误；对B：在轴上的截距为，故B正确；对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误；对D：，即，其恒过定点，又，故点到直线的最大距离为2，D正确.故选：BD.12．已知P是椭圆上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为，，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（    ）A．若PA、PB的斜率存在且分别为，，则B．若椭圆C上存在点M使，C．若的面积最大时，，则D．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过.若一束光线从发出经椭圆反射，当光线第n次到达时，光线通过的总路程为【答案】AC【分析】根据椭圆的定义和几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，依题意，，设，则，，则，A选项正确.  B选项，设，则，当，即时等号成立.若椭圆C上存在点M使，即存在，使，所以，所以，所以B选项错误.  C选项，当上椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，依题意，此时，则，则，C选项正确.  D选项，当时，光线通过的总路程为，所以D选项错误.  故选：AC【点睛】求解椭圆中的定值问题，可根据椭圆的定义、椭圆上的点等知识，结合题意列方程，化简后可求得所求的定值.求解椭圆离心率有关问题，可以考虑直接法，即求得来进行求解，也可以先求得，然后利用来进行求解. 三、填空题13．已知向量， 若， 则      .【答案】【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.因为，所以，则.故答案为：.14．已知中，若角，，则角          ．【答案】或【分析】由已知，根据已知条件，可直接使用正弦定理求解出，并根据，从而确定角的大小.【详解】由已知，在中，若角，，，有正弦定理可知，，所以，因为，所以，所以或.故答案为：或.15．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为         .【答案】【分析】设球的半径为，计算出圆柱和球的表面积，即可得解.【详解】设球的半径为，则圆柱的表面积，球的表面积，所以.故答案为：.16．椭圆的左、右焦点分别为F，，离心率为，A为椭圆C的左顶点，且，过原点的直线交椭圆C于M，N两点，则的最小值为      .【答案】/【分析】根据已知先求出的值，记，得到，记，再利用导数求函数的最值可解.【详解】由题可知，所以，即，又由椭圆定义和对称性可知，，  记，则，记，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，.故答案为： 四、解答题17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，，求△ABC的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；（2）由余弦定理与面积公式求解即可【详解】（1）由已知及正弦定理知：．因为C为锐角，则，所以．因为A为锐角，则（2）由余弦定理，．则，即即，因为，则所以△ABC的面积．18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，分别为的中点，.(1)证明：；(2)若与所成角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由题设易得，结合，根据线面垂直的判定和性质证结论；（2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【详解】（1）因为为的中点，所以，又且，面，所以面，又面，所以；（2）底面为直角梯形，，为的中点，则，综上，四边形为正方形，故，又，则四边形是平行四边形，则，所以，则，以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 则，故，设面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，则，所以二面角.的余弦值.19．已知直线过点，点在圆上.(1)若直线与圆相切，求直线的倾斜角；(2)已知，点满足，求点的轨迹方程，并求线段长的最大值.【答案】(1)或(2)，8 【分析】（1）考虑直线的斜率不存在的情况，当斜率存在时，设直线方程，利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，解得答案;（2）求出点的轨迹方程， 求出两圆的圆心距，由两点分别位于两圆上，可求得答案.【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，满足条件，此时直线的倾斜角为.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，则直线的倾斜角为,综上得：直线的倾斜角为或；（2）设，由得:，化简得,由题意知点在圆上，点在圆上，则两圆圆心距离为 ，则当P,Q位于两圆圆心的连线与两圆相交的两端时，线段长的最大，所以的最大值为.20．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．【答案】（1）； （2）钝角三角形.【分析】(1)设双曲线方程为，由题得且c=，解方程组即得双曲线的标准方程.(2) 不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 ，求得|MF1|＝4，|MF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理判定△MF1F2为钝角三角形．【详解】(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，故设双曲线方程为，则有解得a2＝3，b2＝2.所以双曲线的标准方程为.(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 ，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而cos ∠MF2F1＝ ，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.21．已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)已知、为椭圆的两焦点，若点P在椭圆上，且，求面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件求得对应的，从而求得椭圆的方程.（2）根据已知条件求得，结合求得面积.【详解】（1）椭圆对应的，所以对于，有.，解得，则，所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，，在中，由余弦定理得①，由椭圆的定义得②，由①②整理得，由于，所以为锐角，所以，所以.  22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为.(1)求椭圆C的离心率e的值；(2)若，l为过椭圆C的右焦点且斜率不为零的直线，直线l交椭圆C于点P，Q，求内切圆面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用点差法求得，进而求得椭圆的离心率.（2）先求得椭圆的方程，然后设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得面积的表达式，并求得面积的最大值，进而求得内切圆半径的最大值，从而求得内切圆面积的最大值.【详解】（1）由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，设，则，由两式相减并化简得，所以，所以.  （2）结合（1）得，解得，所以椭圆的方程为，右焦点，的周长为，设直线的方程为，由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，设，由消去并化简得，则，所以，令，则，所以，由于函数在区间上单调递增，所以当时，面积取得最大值为，设的内切圆的半径为，则，当面积取得最大值时，取得最大值，所以的内切圆面积的最大值为.  【点睛】求解椭圆弦的中点有关问题，可考虑利用点差法进行求解，点差法化简后，得到如的表达式，其中是两个斜率，前者是弦的中点和原点连线的斜率，后者是弦所在直线方程的斜率.