2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二下学期期中数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．下列说法正确的是

A．命题“存在，”的否定是“任意，”

B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C．函数在其定义域上是减函数

D．给定命题，若“且”是真命题，则是假命题

【答案】D

【分析】利用存在性量词命题的否定的结构形式可判断A的正误.利用两个条件之间的推出关系可判断B的正误，结合反比例函数的性质可判断C的正误，利用复合命题的正假判断可得D的正误.

【详解】选项A命题“存在，”的否定是“任意，”.

所以A不正确．

两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件.所以B不正确．

函数在第一、第三象限上分别是减函数.所以C不正确.

由于若“且”是真命题，所以命题都是真命题.所以是假命题正确.

故选：D.

2．椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ）

A．10 B．12 C．16 D．20

【答案】D

【分析】根据椭圆定义进行求解.

【详解】由题意得，

由椭圆定义可知，，

所以的周长为.

故选：D

3．抛物线的准线方程是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将抛物线化为标准方程，求得p的值，进而得到准线方程．

【详解】将抛物线化为标准方程为

所以准线方程为

所以选A

【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其准线方程，属于基础题．

4．若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的定义，直接代入求值.

【详解】根据导数的定义可知，

.

故选：B

5．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据基本初等函数的导数公式，即可求解.

【详解】.

故选：A.

【点睛】本题考查函数的导数，熟记基本初等函数的导数公式是解题的关键，属于基础题.

6．已知函数的图像在处的切线垂直于直线，则实数a的值为（    ）

A． B． C．10 D．-10

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义求切线的斜率，再利用两直线垂直，根据斜率的关系，列式求值.

【详解】，，根据导数的几何意义可知，函数的图象在点处切线的斜率为5，直线的斜率为，

由题意可知，，得.

故选：A

7．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆与抛物线的性质求解

【详解】抛物线的焦点为，

所以椭圆中

故选：D

8．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解.

【详解】双曲线化简为标准形式是，

其中，，焦点在轴，

所以渐近线方程.

故选：B

9．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.

【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，

排除选项A、B，

当时，先正后负，所以在先增后减，

因选项C是先减后增再减，故排除选项C，

故选：D.

10．若函数在区间(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．0<a<3 B．a≥2 C．a≥3 D．a≤3

【答案】C

【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在内恒成立，分离出参数，求出函数的范围，得到的范围．

【详解】∵函数在区间内单调递减，∴在(0，2)内恒成立，即在(0，2)内恒成立．∵，∴.

故选：C.

11．椭圆的长轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此椭圆上，那么PM，PN的斜率之积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为，进而表示出PM，PN的斜率，二者相乘整理可求得答案．

【详解】依题意可知，，P是椭圆上任意一点，设坐标为，

则，PM，PN的斜率分别是，，

.

故选：A．

12．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简得到，再构造函数分析得到.

【详解】由题得，设，所以函数g(x)在R上单调递增，

因为g(1)=0,所以当x＜1时，g(x)＜0；当x＞1时，g(x)＞0.

当x＜1时，g(x)＜0，（x-1）f(x)＜0，所以f(x)＞0.

当x＞1时，g(x)＞0, （x-1）f(x)＞0，所以f(x)＞0.

当x=1时，，所以f(1)＞0.

综上所述，故答案为C

【点睛】(1)本题主要考查导数的运算和利用导数研究函数的单调性，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是发现g(1)=0,结合函数的单调性得到函数的性质.

二、填空题

13．命题“”的否定是          

【答案】

【分析】全称命题的否定是特称命题.

【详解】

否定是：

【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.

14．已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝      ．

【答案】3

【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.

【详解】由导数的几何意义可得，，

又在切线上，

所以，则=3，

故答案为：3

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.

15．函数的单调递减区间是       ．

【答案】

【详解】函数的定义域为 ，且： ，

求解不等式 可得函数的单调递减区间是 .

16．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为       .

【答案】2

【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．

【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点坐标F（2，0），p＝4，

∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，

∴p＝2c，c＝2，

∵设P（m，n），由抛物线定义知：

|PF|＝mm+2＝5，∴m＝3．

∴P点的坐标为（3，）

∴|

解得：，c＝2

则双曲线的离心率为2，

故答案为2．

【点睛】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．

三、解答题

17．已知

(1)若，且为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的值可求为真时对应的不等式的解，再求出为真时对应的不等式的解，再根据为真可求实数x的取值范围；

（2根据条件关系可得条件对应的集合的包含关系，故可得关于的不等式组，从而可求实数的取值范围；

【详解】（1）为真时对应的不等式的解为，

对应的不等式为，

为真时对应的不等式的解为，

因为为真命题，故.

（2）因为p是q的充分不必要条件，故为集合的真子集，

故（等号不同时成立），故或.

而，故.

18．已知曲线C的方程：

(1)当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？

(2)当m为何值时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点在轴上的椭圆的标准方程的特征，列不等式求参数范围即可；（2）根据焦点在轴上的双曲线方程的特征，列不等式求解.

【详解】（1）根据题意可得，解得：，

所以当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆.

（2）由题可知，，得，

所以当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线.

19．已知椭圆（）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是该椭圆上的一个动点，、分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值.

【答案】(1)；(2) 最大值为，最小值为.

【分析】（1）根据题意，列出的方程组，解方程组即可求得方程；

（2）设出点的坐标，根据点在椭圆上则点的坐标满足椭圆方程，结合向量的数量积运算，即可求得.

【详解】（1）由题可知：，，，

解得，

故椭圆方程为.

（2）设点的坐标为，则.

根据（1）可得焦点坐标分别为，

则

.

根据椭圆的几何性质，可知，即，

故可得.

故的最大值为，最小值为.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的求解，属综合基础题.

20．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若方程有两个根，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答.

（2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有两个公共点求解作答.

【详解】（1）当时，函数定义域为，求导得：，

则，而，则有，即，

所以所求切线方程为：．

（2）函数定义域为，求导得：，

而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点，

令，，则，当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，，

因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，

观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，，

所以a的取值范围是．

21．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．

【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.

因为，所以，

当时，在上恒成立，函数在单调递减，

∴在上没有极值点；

当时，由得，由得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点

（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，

∴，

令，所以，

令可得在上递减，令可得在上递增，

∴，即.

【解析】本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.

点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.