2022-2023学年江苏省盐城市七校联考高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市七校联考高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ）

A．11 B．10 C．12 D．13

【答案】C

【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.

【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴．

故选：C

2．已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ）

A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4

【答案】D

【分析】根据变量间的关系，转化为，由二点分步求解.

【详解】当时，由，

所以.

故选：D

3．在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点到平面的距离.

【详解】因为，所以，又向量平面，

所以是平面的一个法向量

所以点到平面的距离为.

故答案为：.

4．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.

【详解】由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，

故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，∴.

故选：B.

【点睛】本题考查了n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.

5．某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，分别求得，，代入条件概率公式即可求解.

【详解】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，

则，，.

故选：A.

6．已知，则（    ）

A．8 B．5 C．2 D．4

【答案】D

【分析】取代入等式可得，分别取，代入等式，组成方程组，联立即可得，代入即可求得结果.

【详解】解：因为，

取代入可得：，

取代入可得：①，

取代入可得：②，

①+②再除以2可得：，所以，

①-②再除以2可得：，

所以.

故选：D

7．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】平面平面，且 为交线，，平面，

平面，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，在Rt中，，

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则.

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则.

设二面角的平面角为，

则.

故选：C

8．如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，其中，，2，3，4，记事件：集合；事件：为“局部等差”数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果.

【详解】由题意知，事件共有个基本事件，

对于事件，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个；

含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个；

含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个；

含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个；

含5，3，1的同理也有4个，

所以事件共有24个基本事件，

所以．

故选：C

二、多选题

9．对于，若，则的值可以为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】AB

【分析】根据题意得或，进而解方程即可.

【详解】解：因为，

所以或，解得或

故选：AB

10．下列命题中正确的是（    ）

A．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5

B．已知随机变量，且，则

C．已知随机变量，则

D．已知经验回归方程，则y与x具有负线性相关关系

【答案】ABD

【分析】A选项由百分位数的定义计算即可；B选项由正态分布的对称性计算即可；C选项根据二项分布的期望公式计算；D选项由回归直线的斜率正负判断线性相关关系.

【详解】对于A选项，，第3个和第4个数的平均数为，故A正确；

对于B选项，，故B正确；

对于C选项，，则，故C错误；

对于D选项，，可得y与x具有负线性相关关系，可知D正确．

故选：ABD．

11．甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是（    ）

A．，，两两互斥 B．

C． D．与B是相互独立事件

【答案】AB

【分析】A由互斥事件的定义判断；B根据题意判断；C应用全概率公式求，D判断是否相等即可.

【详解】由题意，{甲袋取出白球}，{甲袋取出红球}，{甲袋取出黑球}，

所以，，两两互斥，A正确；

而甲袋有3个白球，3个红球和2个黑球，则，，

先发生，此时乙袋有3个白球，2个红球和1个黑球，则，

先发生，此时乙袋有2个白球，3个红球和1个黑球，则，

先发生，此时乙袋有2个白球，2个红球和2个黑球，则，

所以，B正确，C错误；

，D错误.

故选：AB

12．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．向量与所成角的余弦值为

C．平面AEF的一个法向量是

D．点D到平面AEF的距离为

【答案】BCD

【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.

【详解】对于A，正方体中，，，

，所以，故A错误；

对于B，，，

，故B正确；

对于C，设，则，，而，

所以平面的一个法向量是，故C正确；

对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．对某手机的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x与y之间的关系式为，则当广告费用支出为10万元时，销售余额的预测值为           万元.

【答案】92.5/

【分析】将x=10代入回归方程即可得到答案

【详解】解：将x=10代入，即得，所以余额为万元，

故答案为：92.5

14．已知，则      .

【答案】

【分析】直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案.

【详解】由，可得.

故答案为：

15．为了庆祝新年的到来,某校“皮影戏”社团的6名男同学,2名女同学计划组成4人代表队代表本校参加市级“皮影戏”比赛,该代表队中有队长,副队长各一名,剩余两名为队员.若现要求代表队中至少有一名女同学,一共有      种可能.

【答案】

【分析】先分类:代表队中有1名女同学和有2名女同学,再选出队长,副队长各一名即可得到结果.

【详解】若代表队中有1名女同学,此时共有种可能;

若有2名女同学,则共有种可能,

所以一共有种可能.

故答案为:.

四、双空题

16．如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是      ；的最大值为      ．

【答案】          12

【分析】如图，分别取，，的中点，，，连接，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值.

【详解】∵，∴点在平面上，

如图，分别取，，的中点，，，

连接，

因为为中点，故，

又由正方体可得，，

故，故四边形为平行四边形，故，

故，故四点共面，同理可证四点共面，

故五点共面，同理可证四点共面，

故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形.

故点的轨迹是正六边形，

因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，

所以点的轨迹围成图形的面积是．

如图，

，

∴的最大值为12．

故答案为：，12．

五、解答题

17．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，

(1)求的值；

(2)求其展开式中所有的有理项．

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；

（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．

【详解】（1）因为，所以，

当为奇数时，此方程无解，

当为偶数时，方程可化为，解得；

（2）由通项公式，

当为整数时，是有理项，则，

所以有理项为．

18．袋中有5个白球､4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率：

(1)摸出2个或3个白球；

(2)至少摸出1个白球；

(3)至少摸出1个黑球.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用超几何分布概率公式计算即可；

（2）通过求对立事件的概率进而求解即可；

（3）通过求对立事件的概率进而求解即可；

【详解】（1）根据题意，设从中摸出白球的个数为，则服从超几何分布，

所以，

即摸出2个或3个白球的概率为.

（2）由（1）得，，

即至少摸出1个白球的概率为.

（3）至少摸出1个黑球：

，

故至少摸出1个黑球的概率为.

19．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：

已知x与y线性相关.

(1)求y关于x的经验回归方程（，）；

(2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)

(2)5.10万人

【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案；

（2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论.

【详解】（1）由，

，

有，

，

故y关于x的经验回归方程为；

（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，

所以预测该月的用户数量为5.10万人

20．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：

(1)请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；

(2)若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：

参考公式：，其中.

【答案】(1)表格见解析，无关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）首先补充列联表，再计算，根据临界值参考数据，即可判断；（2）根据超几何概率公式求解概率，再写出分布列，并求解期望.

【详解】（1）根据男，女员工各50人，可以补充列联表，

零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关，

由已知数据可求得

，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01.

（2）的取值可能为.

，所以的分布列为

的数学期望为

.

21．如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且，点是线段上的一点（不包括端点）．

(1)证明；

(2)若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面垂直得平面，从而得．再由已知，得，从而可得平面，得证，再由线面垂直的判定定理证明平面，即可证得；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，由线面角的空间向量法求得值，然后由棱锥体积公式计算可得．

【详解】（1）证明：连接，因为四边形为正方形，所以，，

又平面平面，平面平面，平面，所以平面，

又平面，所以．

因为，，所以，

又，，平面，

所以平面，

又平面，所以，

又，，，平面，

所以平面，又平面，所以；

（2）以A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则，，，，，

所以，．设，

则．

设平面的一个法向量为，

，

令，解得，，所以平面的一个法向量为，

又直线与平面所成角的大小为，

所以，

解得．所以，所以，

所以．

22．企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：

根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品..

(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；

(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差.

【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析

(2)期望是（元）；方差是.

【分析】（1）由产品尺寸服从正态分布，得到正常产品尺寸范围，从而计算出实际次品数和生产线正常工作的次品数的上限，继而可判断生产线是否正常工作.

（2）随机从生产线上取3件产品复检为独立重复试验，这3件产品中次品件数服从二项分布，可算出其期望和方差，则可算出3件产品检测费的期望和方差.

【详解】（1）产品尺寸服从正态分布，

，且正常产品尺寸范围为.

生产线正常工作，次品不能多于（件），

而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作；

（2）尺寸在以外的就是次品，故次品率为.

记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，

，

则，

所以的数学期望是（元），

方差是.