2022-2023学年天津市宝坻区第四中学高二下学期第三次月考数学试题含答案

2022-2023学年天津市宝坻区第四中学高二下学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D.

2．设，则“”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断．

【详解】或，

则，，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先判定A,B不是奇函数，然后根据幂函数的知识判定C,D的单调性.

【详解】A. 定义域为R，当时，不是奇函数，；

B. 定义域为R，当时，不是奇函数，

C. 的定义域为R，

由可知是奇函数，

当时，

,

由于,且在不全为零的情况下，恒成立，

∴在定义域R上是单调递增函数；    

D.是奇函数，在定义域的两个子区间和内都是单调递减，但在定义域上不是单调递减(时的函数值为，时的函数值为2，).

故选：C.

4．已知关于的不等式的解集为，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题得、为方程的根，将代入，即得解

【详解】由题得、为方程的根，

将代入，得，

即，

故选：A

5．化简的值为（         ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式

，

故选：B

6．函数的大致图象是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数零点排除D，再用导数确定函数的单调性后排除C，再结合函数值的正负排除B，得正确选项．

【详解】由题意可知，的定义域为，令，得，排除选项D；

又，当时，，所以在区间和上单调递减；当 时，，所以在区间上单调递增，排除C；

又时，，排除B，可知选项A正确.

故选：A．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7．设，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.

【详解】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.

故选：C

8．曲线在处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数的几何意义求得切线方程，再求切线与坐标轴的交点坐标后可得面积．

【详解】由已知，，又，

所以切线方程为，即，

令得，令得，

所以三角形面积为．

故选：A．

9．已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.

【详解】由题意，与有2个交点，

当时，递增且值域为；

当时，在上递减，上递增且值域为；

所以的图像如下：

由图知：时，有2个零点.

故选：A

二、填空题

10．已知函数，则        .

【答案】4

【分析】本题根据分段函数由内向外求函数值即可.

【详解】解：∵ ，

∴ ，，

故答案为：4.

【点睛】本题考查分段函数求函数值，是基础题.

11．在的展开式中，的系数是      ．（用数字作答）

【答案】126

【分析】写出二项展开式通项公式，确定的项数后可得结论．

【详解】由题意，令，，

所以的系数为．

故答案为：126．

12．已知是一次函数，满足,则        .

【答案】

【详解】由题意可设 即

解得

故答案为

13．共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有           种.

【答案】

【分析】首先将C、D、E排序，再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.

【详解】1、将C、D、E排成一列，有种，

2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种，

所以共有种.

故答案为：60.

14．已知、均为正实数，且，则的最小值为           .

【答案】

【分析】由基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.

【详解】因为、均为正实数，由基本不等式可得，

整理可得，

，，则，解得，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

三、双空题

15．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为            ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为           

【答案】         

【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.

【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,

则.

故答案为：；.

四、解答题

16．已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.

(1)求的值；

(2)求展开式中的常数项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二项式系数及组合数的性质计算可得；

（2）首先写出展开式的通项，再令的指数为，求出，最后代入计算可得.

【详解】（1）解：由题意得，所以.

（2）解：的展开式通项为，，

令，解得，所以展开式中的常数项为.

17．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求:

(1)物理和化学至少选一门的选法种数;

(2)物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数.

【答案】(1)25；

(2)20.

【分析】（1）有两种情况：①物理、化学中选一门，其余两门从剩余的5门中选,则有种选法；②物理、化学选两门,剩下一门从剩余的5门中选,则有种选法，根据分类加法计数原理可得答案.

（2）有三种情况:①只选物理且物理和历史不同时选，有种选法；②选化学，不选物理，有种选法;③物理与化学都选，有种选法，根据分类加法计数原理可得答案.

【详解】（1）有两种情况：

①物理、化学中选一门，其余两门从剩余的5门中选,则有种选法；

②物理、化学选两门,剩下一门从剩余的5门中选,则有种选法，

由分类加法计数原理得选法总数为 (种).

（2）有三种情况：

①选物理，不选化学和历史，有种选法；

②选化学，不选物理，有种选法;

③物理与化学都选，不选历史，有种选法，

故选法总数为6+10+4=20(种).

18．新型冠状病毒感染肺炎病情发生以来，党中央､国务院高度重视，为了进一步在各类人群中构建起人群的免疫屏障，阻断新冠病毒在人群中的传播，防止新冠疫情反弹和新冠肺炎发生，我国新型冠状病毒疫苗接种工作正有序进行.某医疗机构承担了某社区的新冠疫苗接种任务，现统计了前5天每天接种人数的相关数据，如下表所示：

参考公式：.

（1）在给定的坐标系中画出接种人数y与天数x的散点图；

（2）根据上表提供的数据，经计算：.

①用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；

②根据所得的经验回归方程，预测该医疗机构第6天的接种人数.

【答案】（1）答案见解析；（2）①；②2590人.

【分析】（1）根据所给数据描点即可；（2）①利用最小二乘法，分别计算出，，代入即可，②根据所得的经验回归方程，将代入即可．

【详解】1）如图

（2）①依题意：

，，

又因为，所以

故所示的经验回归方程为．

②将代入，得．

故预测第6天的接种人数约为2590人.

19．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者

(1)从该地区被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；

(2)从该地区被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为1

【分析】（1）根据独立事件及对立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，从而得到分布列，最后根据二项分布的期望公式求出数学期望.

【详解】（1）解：记事件为至少有1人通过手机收看，则．

（2）解：依题意，则的可能取值为，，，，

所以；

；

；

．

所以的分布列为：

所以．

20．已知函数．

（1）若，

（i）求函数的极值；

（ii）对于都有成立，求的最小整数值．

（2）若函数在上不是单调函数，求的取值范围．

【答案】（1）（i）极小值为，极大值为；（ii）的最小整数值为2；

（2）．

【分析】（1）若，则，定义域为，，由此可得关系，根据得到的单调性可求出（i）（ii）；

（2）由题知，，分析得，解出即可．

【详解】解：（1）若，则，定义域为，

，令，得或，

则关系如下：

（i）当时，有极小值，极小值为；

当时，有极大值，极大值为；

（ii）由（i）可知，，，，

∴，

∵都有成立，则，则，

∴的最小整数值为2；

（2）由题知，，

令，得方程，

若，恒成立，函数在上是增函数，

若函数在上不是单调函数，则有，即，

解得，或，

∴的取值范围为．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查了学生的运算求解能力、转化与化归能力，属于中档题．利用导数求极值的一般步骤为：求导、求定义域，解不等式，求函数的单调性，求函数的极值．