2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解对数不等式可得集合，解一元二次不等式即可得集合，再根据韦恩图求集合即可.

【详解】因为，所以，则集合，

又，解得，则集合，所以，

由图可知阴影部分表示集合.

故选：A.

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.

【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，

则有，解得或，

所以函数的定义域是.

故选：C

3．命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件知，对，恒成立，从而求出的取值范围，再根据选项即可得出结果.

【详解】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，

当时，在上恒成立，所以满足条件，

当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，

当时，显然有不恒成立，

故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.

故选：C.

4．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.

【详解】，在上单调递减，又为偶函数，

，，，解得：或，

的解集为.

故选：D.

5．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意推得，得到函数是周期为的周期函数，结合题设条件和函数的周期性，得到，代入即可求解.

【详解】因为函数满足，可得，

又因为函数为奇函数，所以，

所以，即，

所以函数是周期为的周期函数，

因为当时，，且函数为奇函数，

可得.

故选：D.

6．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得.

【详解】当时，，函数在上单调递增，

在上单调递减，所以，即；

若函数的值域是，则需当时，．

当时，在上单调递增，

此时，不合题意；

当时，在上单调递减，

此时，即，则，

所以，显然，解得，又，所以．

综上所述，实数的取值范围是．

故选：B

7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ）

A． B．

C．为偶函数 D．的图象关于对称

【答案】C

【分析】根据为奇函数，为偶函数，求出函数的周期，并结合求出a，b的值，即可判断A；由的周期可求出即可判断B；为偶函数得，结合的周期即可判断C；由即可判断D.

【详解】为奇函数，，

令，则；用替换，则，

又为偶函数，，

令，则；用替换，则，

，用替换，则，

，则的一个周期为4，

由，解得，故A错误；

，故B错误；

由，得，得为偶函数，故C正确；

时，，，不关于对称，故D错误，

故选：C.

8．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性进行函数值的大小比较.

【详解】方法一：比较的大小时，

（法一）设函数，则，令，得，

当时，，函数单调递增；当，函数单调递减，

所以当时，函数取得最大值，

因为，所以，即.

（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以；

比较的大小时，设函数，则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增，

因为，，又，所以，即，

综上可得，，故B，C，D错误.

故选：A.

方法二（估值法）：因为0.43.

所以，故B，C，D错误.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．函数且的图象经过定点

C．幂函数在上单调递增，则的值为

D．函数的单调递增区间是

【答案】ABC

【分析】A.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B.令求解判断；C.根据是幂函数求得m，再根据单调性判断； D.利用对数复合函数的单调性判断.

【详解】A.命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，”，故正确；

B.因为函数且，令得 ，此时 的图象经过定点，故正确；

C. 因为是幂函数，所以，即 ，解得 或 ，当时，在上单调递减，当 时，在上单调递增，故正确；

D.令，得 或，所以函数的定义域为，

又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是，

故选：ABC

10．下列结论中，正确的结论有（   ）

A．如果，，且，那么的最小值为4

B．如果，那么取得最大值为

C．函数的最小值为2

D．如果，，，那么的最小值为6

【答案】AD

【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.

【详解】对于选项A，如果，，且，

那么，

当且仅当且，即时取等号，故选项A正确；

对于选项B， 如果，那么，

则，

即，当且仅当，即时取等号，

因为，所以不能取得最小值，故选项B错误；

对于选项C，函数，

当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C错误；

对于选项D，如果，，，

则

整理得，

所以或（舍去），

当且仅当时取得最小值，故选项D正确.

故选：AD

11．已知函数则以下说法正确的是（    ）

A．若，则是上的减函数

B．若，则有最小值

C．若，则的值域为

D．若，则存在，使得

【答案】ABC

【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.

【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；

对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；

对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；

对于D，若，当时，；

当时，；

当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.

故选：ABC

12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（    ）．

A．， B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明为周期为的函数，利用组合求和法求判断C，根据条件证明，由此判断BD.

【详解】对A，又∵为奇函数，

则图像关于对称，且，

所以，A 正确；

对于C，∵，则，

则，又，

所以，

令，可得，即.

所以，又

所以，

所以，

∴的周期，所以，

由可得，

，，，

所以，，

∴，C正确；

对B，，则是周期的函数，，B错误；

对D，，，所以，

所以，D错误.

故选：AC.

【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.

三、填空题

13．已知为一次函数，且，则的值为       ．

【答案】

【分析】设，代入已知关系式可构造方程组求得解析式，代入即可得到结果.

【详解】为一次函数，可设，

，

，解得：或，或，

.

故答案为：.

14．已知函数，若方程有四个不相等的实数根、、、，且，则的取值范围是   ．

【答案】.

【分析】画出的图象可得m的范围，，，，代入所求式子转化为求函数在上的值域即可.

【详解】的图象如图所示，

∵方程有四个不相等的实根，

∴，

又∵，，

∴，，，

∴，

又∵在上单调递减，

∴，

∴，

∴的取值范围为.

故答案为：.

15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，已知，则函数的值域为      .

【答案】

【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，利用分离常数法化简函数的解析式，判定函数的单调性且求出的值域，分情况讨论与的可能取值.

【详解】，

因为

，

即，所以为奇函数；

因为，所以，，，

则，即的值域为，

又因为在上单调递增，且，

所以当时，，当时，；

当时，，，

此时，，，，

则；

当时，，，

此时，，，，

则；

当时，，

此时，则；

综上所述，，

即的值域为.

故答案为: .

16．丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为             .

①函数在上为“严格凸函数”；

②函数的“严格凸区间”为；

③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.

【答案】①②

【分析】①选项中对求两次导，判定的符号即可；②选项中对求两次导，解不等式，可得严格凸区间；③选项中，函数在为“严格凸函数”，可转化为在上恒成立，求参数即可.

【详解】的导函数，，

在上恒成立，

所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；

的导函数，，

令，则，解得，

所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；

的导函数，，

函数在为“严格凸函数”

可得在上恒成立，

即，设，

由于在上，

所以在单调递增，

所以，所以，所以③不正确；

故答案为：①②.

四、解答题

17．请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？

【答案】答案见解析

【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案.

【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得，

所以，实数m的取值范围是；

若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是；

若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，

所以，不存在满足条件的实数.

18．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)

(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)4千克，480元﹒

【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；

（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可．

【详解】（1）依题意，又，

∴．

（2）当时，，开口向上，对称轴为，

在上单调递减，在上单调递增，

在上的最大值为．

当时，，

当且仅当时，即时等号成立．

∵，∴当时，．

∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．

19．函数对任意，，总有，当时，，且．

(1)证明是奇函数；

(2)证明在上是单调递增函数；

(3)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据题意，令，得，再令，结合函数的奇偶性的定义，即可得到证明；

（2）根据题意，由函数单调性的定义即可得到证明；

（3）根据题意，由函数的奇偶性以及奇偶性解不等式即可.

【详解】（1）令，则，解得，

令，则，即，即，

易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；

（2）任取，，且，则，

因为当时，，所以，

则，即，所以函数是上的增函数；

（3）由，得，，又由是奇函数得.

由，得，因为函数是上的增函数，

所以，解得，故实数的取值范围为．

20．已知函数．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在处取得极值，求实数的值；

(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；

（2）根据可导函数在极值点处的导数值为求出，再根据极值点的定义验证即可得解；

（3）二次求导后，分类讨论，得函数的单调性，根据单调性可得结果.

【详解】（1）当时，，定义域为，，

，，

所以函数在点处的切线方程为，即.

（2），

设，则，

依题意得，即，

当时，，当时，，当时，，

所以在处取得极大值，符合题意.

综上所述：.

（3）当时，，，

当时， ,

令，，

则，

①当时，在上恒成立，故在上为增函数，

所以，故在上为增函数，

故，不合题意.

②当时，令，得，

（i）若，即时，在时，，在上为减函数，

，即，在上为减函数，，符合题意；

(ii)若，即时，

当时，，在上为增函数，，

在上为增函数，，不合题意.

综上所述：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，总有成立，故；

（2）若，有成立，故；

（3）若，使得成立，故；

（4）若，使得成立，故；

21．已知函数（x∈R）为奇函数.

(1)求实数k的值；

(2)若对[-2，-1]，不等式≤6恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若函数-5在[1，+∞]上有零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由奇函数的性质求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；

（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；

（3）用换元法，设，由函数单调性求得的范围，问题转化为关于的函数有零点，分离参数后求函数值域即得．

【详解】（1）因为是奇函数，

所以，解得k＝1，

此时符合题意．

（2）原问题即为，，即恒成立，

则，

设，∵，∴，

则，

∵，∴当时，取得最小值26，

要使不等式在上恒成立，则，

即实数m的最大值为26．

（3），

则，

设，当x≥1时，函数为增函数，则，

若在上有零点，

则函数在上有零点，

即，即，

∵，当且仅当时取等号，

∴，即λ的取值范围是．

22．设函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若函数存在两个零点，证明：.

【答案】(1)当时，在区间上单调递减；

当时在区间上单调递减，在区间上单调递增

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;

（2）利用函数零点可得，，整理变形可得，换元令，得，结合，需证明，由此构造函数，利用导数即可证明结论.

【详解】（1）由于，则定义域为 ，

可得：，

当时，∵，∴，故在区间上单调递减；

当时，∵，∴由可得，由得，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）证明：∵，，，不妨设，

则有，，

两式相加得，相减得，

消去得：，

令，则，

要证，即证，也就是要证，即证，

令，

∵

∴在上为增函数，，即成立，故.

【点睛】关键点点睛：利用导数证明关于函数零点的不等式问题，关键在于正确地变式消去参数，进而构造函数，本题中利用，，将两式相加减，进而消去a，可得，换元令，得，进而根据，需证，从而构造函数，解决问题.