2022-2023学年广东省潮州市松昌中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省潮州市松昌中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（    ）

A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5

【答案】D

【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．

【详解】解：因为，

所以，

令，得瞬时速度为．

故选：D.

2．3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是（    ）

A．8 B．6 C．5 D．9

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理直接列式计算作答.

【详解】依题意，每名同学报名方法数是2，所以3名同学不同的报名方法的种数是.

故选：A

3．设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（    ）

A．2 B．1 C．-1 D．-2

【答案】C

【分析】套公式直接求出和.

【详解】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，

所以,

所以.

故选：C

4．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件中任意抽出3件，抽出的3件中恰有1件是次品，则不同抽法的种数是（    ）

A．56 B．28 C．120 D．16

【答案】A

【分析】利用分步计数乘法原理结合组合列式计算即可.

【详解】从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从8件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，共有(种).

故选：A.

5．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，

且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，

而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．

故选B.

6．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)

则下列计算结果正确的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】C

【分析】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算可判断B,C,D.

【详解】因为，解得，故A错误；

由分布列知，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：C.

7．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ）

A．  B．

C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车

【答案】B

【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．

【详解】因为，，

将化为标准正态分布，则，

因为，所以，故A错误；

又，，故B正确；

因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误；

因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误.

故选：B．

8．已知函数，x=-1为f(x)的极值点，则（    ）

A．f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增

B．f(x)在(-2，-1)上单调递增，在(-1，+∞) 上单调递减

C．f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减

D．f(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增

【答案】D

【分析】由x=-1为f(x)的极值点，求出的值，再根据的值确定导数的正负从而即可确定函数的单调区间，即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

又因为x=-1为f(x)的极值点，

所以，

解得,

所以，所以定义域为，故排除A,C;

所以，

易知在上为增函数，

又因为，

所以当时，单调递减；当时，单调递增.

故选：D.

二、多选题

9．下列命题中，正确的有（    ）

A．将一组数据中的每个数据都加上同一个正常数后，方差变大

B．已知随机变量服从二项分布，若，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．从装有大小､形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则

【答案】BC

【分析】对于A，利用方差的性质判断，对于B，利用二项分布的期望公式和方差公式判断，对于C，利用正态分布的对称性求解，对于D，直接求解判断

【详解】解：对于A，根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以A错误，

对于B，因为随机变量服从二项分布，，所以，解得，所以B正确，

对于C，因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以C正确，

对于D，由题意可得。所以D错误，

故选：BC

10．下列 求导运算正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】利用导数的运算求解判断.

【详解】A，因为，所以，故正确；

B，因为，所以，故错误；

C，因为，所以，故错误；

D，因为，所以，故正确.

故选：AD.

11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（    ）

A．第9行中从左到右第6个数是126

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.

【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：ABD.

12．已知函数存在极值点，则实数a的值可以是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意可知，令，换元后可得，即，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，由此可求得实数的取值范围.

【详解】函数的定义域为，且，

由题意可知，函数在定义域上存在极值点，

得在有两个解，

由可得，令，则，

则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，

对于二次函数，

当时，，

对于二次方程，即，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：ABD.

三、填空题

13．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4.则c=           .

【答案】

【分析】模型两边取对数，再化简，利用对应系数相等，即可求得值.

【详解】，即，

所以，.

故答案为：

14．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有         种

【答案】72

【分析】先对部分种植，再对部分种植，对部分种植进行分类：①若与相同，②若与不同进行讨论即可

【详解】先对部分种植，有4种不同的种植方法；

再对部分种植，又3种不同的种植方法；

对部分种植进行分类：

①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），

②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，

共有（种），

综上所述，共有72种种植方法．

故答案为：72.

【点睛】本题考查排列与组合的应用，属于涂色类的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题

15．记（k，b为实常数），若，，则          .

【答案】-3或3

【分析】随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可.

【详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.

故答案为-3或3.

16．现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25，小明同学从这8道题这随机选择1题，则小明做对该题的概率为        ．

【答案】/

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设事件A表示“考生答对”,事件B表示“考生选到有思路的题”.

则该考生从这8道题中随机选1题,则他答对该题的概率为:

故答案为:

四、解答题

17．已知二项式的展开式， ，给出下列条件：

①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②所有偶数项的二项式系数之和为256；③展开式中第4项为常数项．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：

(1)求展开式中x-3的系数；

(2)求展开式中二项式系数最大的项

【答案】(1)18.

(2)答案见解析.

【分析】（1）先求出二项展开式的通项公式. 选条件①：列方程解出n；选条件②：列方程解出n；选条件③：根据第4项为常数项，解出n；利用通项公式即可求出展开式中x-3的系数；（2）先利用二项式系数的性质判断出二项式系数最大的项为第5项和第6项，再利用通项公式直接求解.

【详解】（1）二项式的展开式的通项公式为：.

选条件①：第二项与第三项的二项式系数之比是1：4，所以，即，解得：；

选条件②：所有偶数项的二项式系数之和为256，所以，解得：.

选条件③：展开式中第4项为常数项，即为常数项，

所以.

所以二项式的展开式的通项公式为：.

要求展开式中x-3的系数，只需令，解得：r=1.

所以系数为.

（2）当时，展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.

所以，.

18．某企业2017年至2021年年销售量收益y(单位：百万元)与广告投入x(单位：万元)的数据如下表：

表中的数据显示，可用一元线性回归模型建议x与y之间的经验回归方程．

(1)求年销售收益y关于广告投入x的经验回归方程；

(2)求决定系数R2的值．

参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1)根据数据先计算，再求即可得线性回归方程；

(2)先计算所以与的值，再根据公式计算即可.

【详解】（1）解：由题意可得：，，

所以，

所以回归方程为；

（2）解：因为,,,,,；

所以,

又因为18.8，

所以=1=.

19．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素师范对本校学生体育锻炼的经常性有影响，在全校随机抽取50名学生进行调查，其中男生有27人，坚持锻炼的男生有18人，经常锻炼的女生有8人．

(1)请根据提议完成下面的2×2列联表

(2)根据（1）中的2×2列联表，依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关？

附：

参考公式：

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）由题意进行数据分析，完成2×2列联表；

（2）套公式计算，对照参数下结论.

【详解】（1）由题意进行数据分析可得：

（2）由题意可知：.

所以我们认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关.

20．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用勾股定理证得；由等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定定理可得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）为等边三角形，，为中点，且；

，，四边形为平行四边形，，

又，，，

又，平面，平面.

（2），四边形为平行四边形，，

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，，，

，

即直线与平面所成角的正弦值为.

21．甲、乙两名同学进行中国象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．

(1)求比赛结束时，恰好进行4局的概率．

(2)若甲以2：1领先乙时，记X表示比赛结束是还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1) 求出比赛结束时恰好打了4局，甲获胜的概率和乙获胜的概率，相加即为结果.

（2）分析可知X的可能取值为1，2，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和.

【详解】（1）解：比赛结束时恰好打了4局，甲获胜的概率为，

恰好打了4局，乙获胜的概率为，

所以比赛结束时恰好打4局的概率为；

（2）X的可能取值为1，2，

，

，

所以X的分布列如下：

 故.

22．已知函数

(1)当时，取得极小值；当时，取得极大值22，求的值；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)；

(2)详见解析.

【分析】（1）首先求函数的导数，进而可得，即得；

（2）求函数的导数，分，讨论，然后结合判别式讨论，再根据导数与单调性的关系即得.

【详解】（1）∵，

∴，

则，

∴，

∴，

所以在区间上，在区间上，当时，取得极小值，当时，取得极大值，符合题意，

所以；

（2）由题可知，

当时，，

①当时，，函数在上单调递增，

②当时，由，可得，

∴当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；

当时，，

①当时，，函数在上单调递减，

②当时，由，可得，

∴当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，在单调递减；

综上，当且时，函数在上单调递增；当且时，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；

当且时，函数在上单调递减；当且时，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减.