2022-2023学年浙江省杭州高中名校联盟高二下学期期末联考数学试题

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2024届浙江省名校联盟高二下学期期末联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，且，则的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

2. 若直线在平面内，直线在平面外，则“”是“”的（）

A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件

C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

3. 数列首项为，接下来项为，再接下来项为，再后面项为，以此类推（）

A.  B.  C.  D.

4. 已知一组成对数据中关于一元非线性回归方程，已知，，，则（）

A. 3 B. 1 C.  D.

5. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为的足球（正多边形近似看做平面正多边形），则一块黑皮面积约为________．（注：边长为的正五边形面积，边长为的正六边形面积，

取3.14）（）

A32.44 B. 31.92 C. 30.51 D. 29.49

6. 已知复数满足，则的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

7. 双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则（）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9. 已知数列，的前项和分别为，，下列说法正确的是（）

A. 若能成立，则能成立 B. 若能成立，则恒成立

C若恒成立，则恒成立 D. 若恒成立，则恒成立

10. 双曲线，点，则（）

A. 该双曲线渐近线为

B. 过点的直线与双曲线交于两点，若，则满足的直线有1条

C. 与双曲线两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1

D. 过点能作4条仅与双曲线有一个交点的直线

11. 函数在上有两个零点，下列说法正确的是（）

A.  B.

C.  D. 在上有2个极值点且

12. 半径为2的球上有三个点，，，，三棱锥的顶角均为锐角，二面角的平面角为，为边上一动点，则（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若的最小值等于，则三棱锥体积最小为

D. 若的最小值等于，则三棱锥体积最小为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ，，则在上的投影向量为________．（用坐标表示）

14. 椭圆过点且上顶点到轴的距离为1，直线过点与椭圆交于A，两点且中点在坐标轴上，则直线的方程为________．

15. 为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，若同学与同学站在一起，同学站在边缘，则同学不与同学或相邻的概率为________．

16. 5320的因数有________个，从小到大排列后，第24个因数为________．

四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．

（1）求；

（2）劣弧上否存在使∥平面．猜想并证明．

18. 内角、、满足．

（1）求的大小；

（2）、分别为、上的点，，且平分，求．

19. ，，递增数列前项和为．

（1）证明：为等比数列并求；

（2）记，为使成立的最小正整数，求．

20. 过直线与交于，两点，直线、与分别交于、．

（1）证明：中点在轴上；

（2）若、、、四点共圆，求所有可能取值．

21. 人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图：

现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）．

（1）求的期望与方差；

（2）由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差．

22. ，，，．

（1）若，，证明：；

（2）是否存在使有且仅有一组解，若存在，求取值集合；若不存在，请说明理由．

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2024届浙江省名校联盟高二下学期期末联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.

【答案】A

2.

【答案】D

3.

【答案】C

4.

【答案】B

5.

【答案】D

6.

【答案】D

7.

【答案】A

8. 已知，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9.

【答案】ACD

10.

【答案】ACD

11.

【答案】ACD

12.

【答案】BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.【答案】

14.【答案】或或

15.【答案】

16.【答案】    ①. 32    ②. 280

四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

【答案】（1）；

（2）不存在，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设，由扇形的面积公式分别表示出上底的面积，下底的面积，再代入体积公式即可得，在中由余弦定理求解即可；

（2）过作的垂线交劣弧于，以所在的直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量证明即可.

【小问1详解】

解：由题意可知，设，

设上底的面积为，下底的面积为，

则，，

所以，解得，

在中由余弦定理可得，

所以；

【小问2详解】

不存在，证明如下：

证明：过作的垂线交劣弧于，

由（1）可知，所以，

以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，

则，，，，

设，

则，，，

设平面的法向量为，

由，可得，

因为，所以，

取，则有，

如果平面，则有，

即，

即，矛盾，所以平面不成立，

故劣弧上不存在使∥平面.

18. 内角、、满足．

（1）求的大小；

（2）、分别为、上的点，，且平分，求．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用弦化切结合三角恒等变换化简得出。利用正弦型函数的单调性与对称性可得出结果；

（2）分析可得，，在中，利用正弦定理求出的值，分析出为锐角，求出的值，求出的值，分析出为锐角，结合二倍角的余弦公式可求得的值.

【小问1详解】

解：，即，

即，

所以，，即，

所以，，

因为，则，因为，则，

所以，或，所以，或（舍去）.

综上所述，.

【小问2详解】

解：如下图所示：

因为、分别为、上的点，，则，

所以，，则，

因为，则，，

因为平分，所以，，则，故，

所以，，

设，则，，其中，

在中，由正弦定理可得，所以，，

因为，则为锐角，即，

故，

所以，，

因为，所以，，故，

因为，

又因为，

所以，.

19. ，，递增数列前项和为．

（1）证明：为等比数列并求；

（2）记，为使成立的最小正整数，求．

【答案】（1）证明见解析；

（2）14

【解析】

【分析】（1）由题意可得为递增数列：，（），根据等比数列定义即可证明结论，并求得；

（2）归纳可得为周期数列：，利用数列的周期性即可求得答案.

【小问1详解】

证明：由于，，

当时，；

当时，依次取值为，（）时，总存在使得成立，

证明该结论，只需证明能被3整除，

由于

，

即能被3整除，即上述结论成立，

当时,，

由于能被3整除，则不是3的倍数，

即时，不适合题意；

综合上述，为递增数列：，（），

故，即是以为首项，公比为4的等比数列，

则.

【小问2详解】

由（1）可得，则，为使成立的最小正整数，

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，

，

故此时使成立的最小正整数为14，

当时，

，

故此时使成立的最小正整数为11，

故为周期数列：，周期为2，

则

20. 过的直线与交于，两点，直线、与分别交于、．

（1）证明：中点在轴上；

（2）若、、、四点共圆，求所有可能取值．

【答案】（1）证明见解析

（2）8

【解析】

【分析】（1）要证明中点在轴上，只需证明他们中点的纵坐标为，即，把的坐标转换成用、的坐标，继而可以用韦达定理来计算证明；

（2）由、、、四点共圆，可得，继而可得，代入点坐标利用韦达定理计算即可得到直线的参数值，则、的坐标可定，长度可求.

【小问1详解】

由题意，作图如下：

过的直线与交于，两点，

可设直线方程为,令，，则，

可得: ，，，

的方程，即，可得，

联立，可得，即，

同理可得，即，

，

，，

，

又即，，中点在轴上.

【小问2详解】

若、、、四点共圆，，

又三点共线，三点共线，，

又，，，

，，

又，，，

解得，，又，，

则，即，

解得：或，

，，.

【点睛】方法点睛：解析几何中的四点共圆问题可用相交弦定理来处理，继而转化向量的数量积，代入点坐标，利用韦达定理处理.

21. 人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图：

现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）．

（1）求的期望与方差；

（2）由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差．

【答案】（1）期望为，方差为；

（2）证明见解析，总体方差约为.

【解析】

【小问1详解】

由分布列知：，即，

事件分别表示Ⅰ时期没生孩子、生了1个女孩、生了1个男孩，

事件表示Ⅱ时期生2个孩子，则，

又，

所以，

即，则，

综上，分布列如下：

.

.

【小问2详解】

由题意，，则，，

而，

上式

，

又，且，

上式.

综上，得证.

由题设知：，，，，

则总体均值，

综上，题设样本总体的方差.

【点睛】关键点点睛：第一问，注意分布列概率和为1，且应用全概率公式求Ⅱ时期生2个孩子的概率为关键；第二问，应用方差公式，结合题设参数关系化简证明结论.

22. ，，，．

（1）若，，证明：；

（2）是否存在使有且仅有一组解，若存在，求取值集合；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；

（2）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出的表达式，把代入用表示，再分类讨论，构造函数，利用导数推理作答.

（2）由得，结合（1）的信息，构造函数并利用导数探讨函数的零点个数作答.

【小问1详解】

依题意，，，由知，，，

当时，，又，于是当且时，，不等式成立，

当时，，

令函数，求导得，

因此函数在上单调递增，有，即，则，

所以成立.

【小问2详解】

由（1）知，，且，

假定存在正数使有且仅有一组解，由，知，且，，即，

于是存在正数使有且仅有一组解等价于方程有不等于1的唯一正数解，

令函数，显然，求导得，

由，得，若，而，于是，

此时，函数在上单调递减，有唯一解1，

因此方程没有不等于1的正数解，即当时，不成立；

若，即，方程有二不等实根，令，显然，

于是，当或时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，，即，

当时，，当时，，函数大致图象，如图，

从而存在，使得，此时有3个不同解，

因此方程有两个都不等于1的不同的正数解，即当时，使成立有两组解，

所以不存在使有且仅有一组解.

【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.