2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末数学试题含答案

2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】解：，

所以，则在复平面内对应的点为，位于第四象限.

故选：D

2．已知集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，然后利用交集的定义即可求解.

【详解】集合，，由交集的定义可得：.

故选：.

3．已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】计算出四棱台侧面的高，再利用梯形和正方形的面积公式可求得该四棱台的表面积.

【详解】设在正四棱台中，取侧面，

则，，，如下图所示：

分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、，

因为，，，

所以，，，

因为，，，故四边形为矩形，故，

所以，，，

因此，该四棱台的表面积为.

故选：C.

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，再由两角和的正切公式计算可得.

【详解】解：因为，所以，解得，

所以.

故选：B

5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为150°，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【分析】画出图形，得到，从而求出，进而求出，利用焦半径公式求出.

【详解】由题意得：，准线方程为，设准线与轴交于点K，，

故，

因为AF的倾斜角为150°，所以，

故，即，

故，解得：，所以.

故选：C

6．已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，

则在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率为，由条件概率计算公式可得答案.

【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，

则，

，则.

故选：C

7．在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【分析】首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解.

【详解】解：因为，所以公比，则，

时，，时，，

又，所以，，，，

则，

又当时，，

所以能使不等式成立的最大正整数是．

故选：C．

8．已知函数，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数在区间上有两个零点，可以求得的取值范围，以及的值，代入构造新的函数，求导讨论函数的单调性，即可求得新构造函数的值域.

【详解】因为函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个交点，如图所示：

则的取值范围是，又两个零点为，所以令，则，，，

则令，

，，，因为的取值范围是，

所以在的范围内单调递增，，

所以在恒成立，即在上单调递增，

又，则的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】依题意可得，即可判断A、B、C，再根据指数函数的性质判断D.

【详解】解：因为，所以，则，

所以，故A正确；

则，所以，故B正确；

因为，所以，则，故C错误；

由，则，所以，故D正确；

故选：ABD

10．已知函数，则（    ）

A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象

B．的图象与的图象关于y轴对称

C．的单调递减区间为

D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是

【答案】ABC

【分析】根据三角恒等变换求出，根据三角函数的图象性质即可求解.

【详解】，

所以，

对于A，的图象向右平移个单位长度后得到函数，

即，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，由

解得，

所以函数的单调递减区间为，C正确；

因为所以

因为在上有3个零点，所以，

解得，D错误，

故选:ABC.

11．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ）

A．点到的最大距离为

B．若被圆所截得的弦长最大，则

C．若为圆的切线，则的取值范围为

D．若点也在圆上，则到的距离的最大值为

【答案】ABD

【分析】求出圆心到直线距离的最大值，可求得到的最大距离，可判断A选项的正误；将圆心的坐标代入直线的方程，求出的值，可判断B选项的正误；利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式求出的值，可判断C选项的正误；分析可知当直线与圆相切，求出到的距离的最大值，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由题意可知，直线过定点，

圆的圆心为原点，半径为，设圆心到直线的距离为.

当时，，

当与直线不垂直时，.

综上所述，，所以，点到的最大距离为，A对；

对于B选项，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，B对；

对于C选项，若为圆的切线，则，解得，C错；

对于D选项，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，

当直线与圆相切时，到的距离取最大值，D对.

故选：ABD.

12．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则这样的数列共有360个

B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个

C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个

D．若，则这样的数列共有71个

【答案】AD

【分析】根据对称性可得，即可判断A，对于B：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断B，对于C：对的位置分类讨论，对于D，分、、三种情况讨论.

【详解】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；

对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，

则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；

对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，

得到先减后增的数列有个；

从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，

得到先减后增的数列有个；

从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，

得到先减后增的数列有个；

从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，

得到先减后增的数列有个；

从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，

得到先减后增的数列有个；

故满足条件的总个数为：个，故C错误．

对于D：若则这样的数列有个，

若则这样的数列有个，

若则这样的数列有个，

所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13．已知向量，若，则        ．

【答案】

【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐标，再求出，最后根据向量模的坐标表示计算可得.

【详解】解：因为，且，

所以，解得，所以，，

则，所以.

故答案为：

14．若，则         ．

【答案】/

【分析】根据题意，由指对数的相互转化，以及指数运算即可得到结果.

【详解】因为，即，所以

即

故答案为:

15．已知点分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且满足，则该椭圆的离心率是        ．

【答案】

【分析】设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果.

【详解】如下图所示：

设，则，因为，则，

由椭圆的定义可得，则，

所以，，则，

由勾股定理可得，则，则，

因此，该椭圆的离心率为.

故答案为:

16．如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点．且平面，则线段长度的取值范围是        ．

【答案】

【分析】取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质得到，即可得到平面，同理可证平面，从而证明平面平面，即可得到在线段上，再求出、，即可求出的取值范围.

【详解】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，

根据正方体的性质可得，平面，平面，

所以平面，

同理可证平面，

，平面，所以平面平面，

又平面平面，且平面，平面，

点是侧面上的动点，所以在线段上，

又，所以，，，

所以，则，

所以线段长度的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)如图，若D是外接圆的劣弧AC上一点，且．求AD．

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换即可求解；

(2)利用余弦定理分别在和解三角形可求解.

【详解】（1）由边化角可得，

即，即，

所以，因为，所以，

所以，,所以.

（2）在中，由余弦定理得，

所以，

由圆的内接四边形的性质可知,

在中，由余弦定理得，

所以即，

解得或（舍）.

18．在等比数列中

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式运算求解；

（2）根据题意可得：，利用并项求和运算求解.

【详解】（1）由题意可得：，

∵，则，解得或（舍去），

∴的通项公式；

（2）由（1）可得：，

若为奇数，可得，则有：

当为奇数时，则；

当为偶数时，则；

综上所述：.

19．某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：

变量x，y具有线性相关关系．

(1)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年该地区居民家庭人均存款；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差为0，则称该数据为“完美数据”现从这些数据中随机抽取2个，设X为抽到的“完美数据”的个数，求X的分布列和数学期望．

参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

．

【答案】(1)线性回归方程为，2022年该地区居民家庭人均存款预测为4.8万元；

(2)分布列见解析，期望为．

【分析】（1）根据线性回归方程中系数的计算公式计算系数得回归方程，令代入回归方程可得预测值；

（2）由回归方程确定“完美数据”有两个，得的可能值，计算出概率的分布列，再由期望公式计算期望．

【详解】（1），，

，

，

所以线性回归方程为，

时，，即2022年该地区居民家庭人均存款预测为4.8万元；

（2）由（1）知“完美数据”有两个，，

因此可能值是，

，，，

的分布列为：

．

20．如图，在三棱锥中，平面PAB，，，，.

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可证得平面ABC，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）证明：∵平面PAB，平面PAB，∴，

又，，，所以，

∴，

∵，AB，平面ABC，∴平面ABC，

又平面ABC，∴；

（2）解：以点B为坐标原点，BA，BP所在直线分别为y，z轴，以过点B平行于AC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，1，0），P（0，0，），

则，，，，

设平面PBC的法向量，

则，令，则，，

所以平面PBC的一个法向量，

设平面PAC的法向量，

同理可得平面PAC的一个法向量，

则，

由图易知二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.

21．如图，已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，，点P是C上异于左、右顶点的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为，且．

(1)求C的方程；

(2)若点M满足，记的面积分别为．试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)为定值2

【分析】(1)根据求出，再利用运算结合双曲线方程得到 即可求解；

(2)分别表示出以，的直线方程，进而联立确定坐标，即可求解.

【详解】（1）依题意得，所以，解得，

设，所以即

所以

所以，

所以，

所以双曲线方程为.

（2）因为，，所以，

所以的直线方程为

的直线方程为

由解得

即的纵坐标为

所以

即为定值2.

22．已知函数．

(1)若在上恒成立，求实数a的值；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)证明过程见详解

【分析】(1)分，和三种情况讨论，当时，求导利用函数的单调性和最值进行求解即可；

(2)结合（1）的结论，将不等式进行等价转化证明，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可证明.

【详解】（1）当时，，当时，，不符合题意；

当时，，又时，，不符合题意；

当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，

则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.

（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，

所以当时，，即，又当时，，

所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，

所以当时，.

【点睛】思路点睛：某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，有时可以构造一个函数，借助单调性进行求解.