2024届江苏省南京市第九中学高三暑期第一阶段调研数学试题含答案

2024届江苏省南京市第九中学高三暑期第一阶段调研数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数性质确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】由题意，∴．

故选：C．

2．已知复数，为的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

【详解】.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.

3．已知命题：直线与平行，命题，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题等价于或，结合充分不必要条件的判断即可求解.

【详解】直线与平行，则 ，解得或，所以命题等价于或，命题．

则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．

故选：A．

4．已知随机变量服从正态分布，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知曲线关于对称，利用曲线的对称性求.

【详解】由题意可知，正态分布曲线关于对称， ,

根据对称性可知，,

.

故选：C

【点睛】本题考查正态分布在指定区间的概率，正态分布下两类常见的概率计算

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，及曲线与轴之间的面积为1.

(2)利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个.

5．化简可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可得正确的选项.

【详解】因为，

所以原式，

故选：B.

6．的展开式中的系数是（    ）

A．60 B．80 C．84 D．120

【答案】D

【解析】的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.

【详解】的展开式中的系数是

因为且，所以，

所以，

以此类推，.

故选：D.

【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.

7．已知，则最小值为（　　）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】令并确定范围，结合平方关系有，再设，结合对勾函数性质求最小值即可.

【详解】令，则，故，

所以，则，

所以且，

而，仅当时等号成立，给定区间内等号不成立，

结合对勾函数性质知：在上递增，

所以在上递增，则最小值为.

故选：B

8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且满足当时，，若对任意，成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由函数的奇偶性和题设条件，求得，再根据，画出函数图象，结合图象，即可求解.

【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，当时，，

当时，，即，又由当时，，可画出函数图象，如图所示.

由图知，当时，；

则当时，；

当时，令，解得(舍去)，

若对任意，成立，所以的最大值为.

故选：B.

二、多选题

9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（    ）

A．一定是递增数列 B．可能是递增数列也可能是递减数列

C．、、仍成等比 D．，

【答案】BCD

【分析】根据等比数列的性质依次判断即可.

【详解】对于A，当，时，为递减数列，故A错误；

对B，当，时，为递减数列，当，时，为递增数列，故B正确；

对C，等比数列，则、、仍成等比，故C正确；

对D，等比数列中，，则必不为0，故D正确.

故选：BCD.

10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（   ）

A．

B．当时，函数单调递增

C．当时，的最大值为

D．当时，

【答案】AD

【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】由题意，，，所以，

则，

又点，此时代入可得，解得，

又，所以，故A正确；

因为，当时，，

所以函数先增后减，故B错误；

当时，所以，

则，则，故C错误；

当时，，的纵坐标为，横坐标为，

所以，故D正确；

故选：AD

11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数

B．

C．当时，在上有4个极值点

D．若在上单调递增，则的最大值为5

【答案】BCD

【分析】利用题目已知条件，求出，再结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】∵

∴，且，

∴，即为奇数，

∴为偶函数，故A错.

由上得：为奇数，∴，故B对.

由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，

∵在上单调，所以,解得：，又∵，

∴的最大值为5，故D对

故选：BCD.

【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.

12．设函数，则（    ）

A． B．的最大值为

C．在单调递增 D．在单调递减

【答案】AD

【解析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断C D的正误．

【详解】的定义域为，且，

，故A正确．

又，令，

则，

其中，

故即，故，

当时，有，此时即，

故，故B错误．

，

当时，，故在为减函数，故D正确．

当时，，故，

因为为增函数且，而在为增函数，

所以在上为增函数，

故在有唯一解，

故当时，即，故在为减函数，故C不正确．

故选：AD

【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．

三、双空题

13．若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为      ，      .

【答案】         

【分析】建立直角坐标系，由已知可设，根据图象结合正方形的性质可知，两条邻边所在直线的倾斜角分别为，，根据两角和与差的正切公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出答案.

【详解】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，

设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，

由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

故，

.

故答案为：；.

四、填空题

14．写出一个使等式成立的的值为             ．

【答案】（答案不唯一，只要满足即可）.

【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到，由正弦函数性质可确定，由此可解得结果.

【详解】，，

，解得：，

当时，，使得等式成立的一个的值为（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）.

15．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是      ．

【答案】/0.5

【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.

【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，

B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，

由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，

且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.

由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，

即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.

故答案为：

16．已知数列满足，的前项的和记为，则      .

【答案】

【分析】利用两角差的正弦公式化简得出，可求得，进而可计算得出的值.

【详解】，

，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.

五、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．

【答案】

【分析】根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择①由正弦定理将边化角，即可求得；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.

【详解】根据题意，

.

又.

选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：

，

故可得，又，

故可得，又，故.

选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：

，由余弦定理得，

有，故.

选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：

，解得，

又，故可得.

故不论选择哪个条件，都有.又.则.

故

，

又，故，

故，

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.

18．在平面四边形中，已知，，平分.

(1)若，，求四边形的面积；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解

（2）根据正弦定理与三角比有关知识求解

【详解】（1），则，

在中，由正弦定理可知，则，

则.

（2）设，在中，由正弦定理可知，即，即，在中，由正弦定理可知，即，

即，即，则，解得.

19．如图，在直三棱柱中，点E为的中点，点在上，且．

(1)证明：平面平面；

(2)若，，且三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可；

（2）根据三棱锥的体积为求出直三棱柱侧面棱长和底面边长，再建立空间直角坐标系求解即可.

【详解】（1）在直三棱柱中，平面，

∴，           

∵点E为的中点，且，∴，        

∵，∴，     

∵，

∴平面，     

∵平面，

∴平面平面；

（2）∵，，∴为正三角形．

设，则，

由（1）可得，平面，

依题意得，故点F到平面的距离为，    

∴，

∴，       

∵三棱锥的体积为，

∴，解得．    

以E为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

∴，，，     

设平面的法向量为，

则即

令，得，     

∴，      

∴与平面所成角的正弦值为．

20．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收.方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验.若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收.假设拟购进的这批原料，合格率为，并用p作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担.

（1）若，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列；

（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）方案二，理由见解析.

【分析】（1）依题意，的可能取值为50，100. 分别求出概率即可求得分布列；

（2）分别求出方案一和方案二的概率，作差比较大小即可求得结论.

【详解】（1）依题意，的可能取值为50，100.

，

.

故的分布列为：

（2）方案一通过检验的概率为；

方案二通过检验的概率为.

由知：，所以，

又，，所以，即，

所以供应商希望该工厂的质检部门采取方案二检验.