2023届上海市七宝中学高三下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2023届上海市七宝中学高三下学期4月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届上海市七宝中学高三下学期4月月考数学试题

一、填空题
1．设集合，，则________．
【答案】
【分析】利用补集、交集的定义直接求解作答.
【详解】由，得或，又，
所以.
故答案为：
2．已知复数（其中是虚数单位），则________．
【答案】/
【分析】根据复数模的性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
3．已知单位向量，的夹角为60°，与垂直，则k的值为________．
【答案】
【分析】根据题意，求出的值，由向量垂直的判断方法计算可得k的值，即可得答案．
【详解】根据题意，单位向量，的夹角为60°，则，
若与垂直，则，
解可得：；
故答案为：．
4．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________．
【答案】
【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.
【详解】设圆锥的母线为,则,所以,
则圆锥的侧面积为.
故答案为：.
5．已知，则的值为________．
【答案】10
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.
【详解】依题意，.
故答案为：10
6．一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序________．
【答案】②③①④⑥⑤
【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.
【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，
若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，
所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.
故答案为：②③①④⑥⑤
7．在2023年4月某区的高三模拟检测中，学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是________．
附：若，则，．
【答案】1500
【分析】根据正态分布的特点得，最后乘以人数即可.
【详解】因为考试的成绩服从正态分布，
根据，，则，
得，
即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，
由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．
故答案为：1500.
8．已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】首先利用辅助角公式得，根据其奇偶性和的范围求出，则，令，利用余弦函数图象得，解出即可.
【详解】为偶函数,
所以,即,
因为,所以，所以,
令,由得,所以转化为,
如图:在上有且仅有一个极大值点没有极小值点时,
则,所以,即的取值范围为.

故答案为：.
9．已知双曲线，点B的坐标为，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率取值范围是________．
【答案】
【分析】设，根据两点距离公式结合得恒成立，利用判别式法结合关系进行齐次化化简得，注意，最后解出即可.
【详解】设,
由,代入不等式*中，
整理得在上恒成立恒成立,因为，
则,
解得,又,则,
则的离心率取值范围是.
故答案为：.
10．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是________．
①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；        ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立；
③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；    ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．
【答案】②③④
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②；若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间判断③④作答.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)，
(男,女),(女,男)(男,男),(男,女),(女,男)，(男,女),(女,男)，
则M与N不互斥，①错误；
，，，则，所以M与N不相互独立，②正确；
若该家庭中有三个小孩，
样本空间为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)，
(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)，
(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，
(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，则M与N不互斥，③正确；
，，，于是，所以M与N相互独立，④正确．
所以说法正确的是②③④.
故答案为：②③④
11．已知动圆经过点及原点,点是圆与圆的一个公共点,则当最小时,圆的半径为___________.
【答案】5
【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时最小,根据位置关系可得圆的半径.
【详解】如图:

记圆半径为R,,则,,
所以,
当最小时,最大,此时两圆内切.
由已知设动圆的圆心为,
又圆心可得
即,
解得,所以,即圆的半径为5.
故答案为:5.
12．将定义在上的函数的所有极值点按从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，则在上的最大值为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，探讨函数在区间、、上的性质及零点，确定，再借助单调性求出最大值作答.
【详解】，当时，，
由函数在区间上递增，且值域为，
则存在唯一时，使得，
当时,单调递减，当时,,单调递增,有，同理当时，使得，满足，当时，使得，满足，
因此，而，于是，
又，即，
则当时,,时，，
即有，整理得，此时数列为常数列，又当，可得，不成立，于是，此时，
因为当时，，当时，，
又当时，，当时，，
因此当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
所以函数在上的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

二、单选题
13．设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得或，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解．
【详解】等比数列中，公比；由，所以，又，所以解得或；
若时，可得，可得的值为，可知数列单调递增，且各项均大于，所以不会存在使得的乘积最大(舍去)；
若时，可得，可得的值为，…，
可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数，前项均为正数且大于等于，
所以存在，使得的乘积最大，综上，可得的一个可能值是.
故选：A.
14．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（    ）

A．甲乙两班同学身高的极差相等 B．甲乙两班同学身高的平均值相等
C．甲乙两班同学身高的中位数相等 D．乙班同学身高在以上的人数较多
【答案】D
【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.
【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为，两班身高极差不相等，故A错误；
甲班同学身高的平均值为，
乙班同学身高的平均值为
显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B错误；
根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为，
所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C错误；
由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4人，故D正确.
故选;D
15．在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①通过平行线求异面直线所成角；②先求点P的轨迹再求DP的最小值；③先由面面平行的性质作出截面再求截面的周长；④先找外接球的球心再求球的体积.
【详解】对于①，，
在中即为异面直线与所成的角，
，

异面直线与所成的角的余弦值为．故①错误；
对于②，取的中点的中点，取的中点，连接，，，

，
同理可得，

又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
轨迹为线段，
在中，过作，此时取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如图，在中，．故②正确；

对于③，过点的平面截正方体，
平面平面，则过点的平面必与、各交于一点，
设过点的平面必与与分别交于、，
过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，
如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，
如图以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系，

设，，
则，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，
，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故③正确；
对于④，如图所示，取的中点，则，过作，
且使得，则为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球的半径，

在中，，
，则，
．故④正确，
故选：C．
16．已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（    ）
命题p：对任何锐角A，都存在，使得；
命题q：对任何锐角A，都存在，使得．
A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题 D．p是假命题，q是假命题
【答案】A
【分析】利用和差角的余弦公式变形推理判断p，利用和角的正切结合已知推理判断q作答.
【详解】命题p，，
在中，
，则，
令，则有，即，
于是，又，因此，而正弦函数在上递增，
则，即，亦即，
所以对任何锐角A，都存在，使得，p是真命题；
命题q，，
在斜中，，
于是，将代入得：，即有，则对任何锐角A，都存在，q是真命题，
所以选项A正确，BCD错误.
故选：A
【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.

三、解答题
17．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求A；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解作答.
（2）利用已知及余弦定理得，再由正弦定理边化角，借助和角的正弦推理作答.
【详解】（1）在中，由，得，由余弦定理及，
得，即有，而，
所以.
（2）由（1）知，，则，
由正弦定理得，于是，
即，整理得，
所以.
18．如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，，平面平面ABCD．

(1)证明：平面PAD；
(2)若，，，求直线BD与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）的中点为，利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定推理作答.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答.
【详解】（1）在四棱锥中，设的中点为，连接，因为为等边三角形，则，
又平面平面，平面平面，且平面，
于是平面，而平面，则，又平面，
所以平面.

（2）连接，由（1）知,平面，平面，
则，又，即有，因此四边形为矩形，
即，则有，
设，
设的中点为平面，则，
在等边三角形中，为的中点，有,平面，因此平面，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，点，
，设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
19．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验，研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．

(1)填写下面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体



没有抗体



合计



参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．用频率估计概率，记一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p，并以p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，犯错误的概率不大于0.05；
(2)109或110.

【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，计算并填写列联，计算的观测值作答.
（2）利用独立事件、对立事件的概率求出，再用二项分布的概率公式列出不等式，求解作答.
【详解】（1）由频率分布直方图知，在内有（只），
在内有（只），在内有（只），
在内有（只），在内有（只），
依题意，有抗体且指标值小于60的有50只，而指标值小于60的小白鼠共有（只），
于是指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
所以列联表如下：
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，
由列联表中数据，得，
由的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，
则，于是，
因此一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，
依题意，随机变量，则，
因为当时，取最大值，即最大，
于是，即，
亦即，整理得，解得，
而是整数，因此或，
所以接受接种试验的人数为109或110.
20．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的一个交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B、M不同于A）．

(1)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
(2)若直线l过椭圆的右焦点，求面积的最大值及此时直线l的方程；
(3)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3).

【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标，求出p值作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理建立三角形面积的函数关系，求出最大值作答.
（3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由线段AB的中点在抛物线上及点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）椭圆的右焦点坐标为，依题意，，
所以.
（2）显然直线不垂直于y轴，由（1）设直线的方程为：，
由消去得，，设，
则，
，
，当且仅当时取等号，
所以面积有最大值为，此时直线.
（3）直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，
设直线的方程为，由消可得，
则，即，且，
于是，点，
因为点在抛物线上，因此,
由，解得，代入椭圆方程得，
解得，而，
，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
21．设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．
(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；
(2)若，求函数的极值点；
(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．
【答案】(1)是的“和谐数组”，理由见解析；
(2)为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.
(3)见解析

【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明；
（2）代入值有，直接求导，令导函数为0即可得到其极值点；
（3）假设存在,使得,通过和谐数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.
【详解】（1）是的“和谐数组”,理由如下：
当时,.根据幂函数、指数函数的性质,对任意,都有.对任意,代入,得:
是的“和谐数组”.
（2）当,
于是可列表如下:








0

0



极大值

极小值

为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.
（3）反证法:假设存在,使得,则对任意,都有.
对任意恒成立.令，则在上恒成立,
由二次函数性质可知,必存在使得当时,恒成立,且此时,
当时有，
其中，
由二次函数性质可知,必存在使得当时，.
这与在上恒成立矛盾.
对任意,都有
【点睛】关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法，首先假设存在,使得,根据和谐数组的定义转化得存在,使得,设，通过二次函数与指数函数的图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.