2023届江西省贵溪市实验中学高三下学期第四次月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届江西省贵溪市实验中学高三下学期第四次月考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省贵溪市实验中学高三下学期第四次月考数学（理）试题 一、单选题1．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，即得解.【详解】∵，∴∴∵，∴.故选：D2．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为，若图中粽子的底面边长为，高为，则该粽子的重量大约是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等边三角形面积公式和正三棱锥体积公式求出粽子的体积，然后利用密度公式计算粽子的质量.【详解】由题知，粽子的体积，根据可得，该粽子重量大约为，与C选项最为接近.故选：C3．已知，，是直线，是平面，若，，则“，”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】举反例判断充分性，再证明必要性得解.【详解】若∥，，如果，则“”不一定成立.如图所示，所以“，”是“”非充分条件.如果“”， 又，所以，因为，所以，所以“，”是“”的必要条件.所以“，”是“”的必要非充分条件.故选：B4．数列是等差数列，若，，则（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】根据等差数列性质得到，得到答案.【详解】，故.故选：C5．函数的单调递增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，求出不等式的解集即可.【详解】函数的定义域为.，则.令，解得.故选：D6．已知平面向量，满足，若，，则，的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，的夹角为，由数量积的定义和模长公式求解即可.【详解】设，的夹角为，，则，由可得：，则，所以，解得：.因为，故.故选：D.7．在等差数列中，，，依次成公比为3的等比数列，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】直接利用等差数列和等比数列的公式计算得到答案.【详解】，故，，即，，解得.故选：B8．已知数列的前项和满足，数列满足，则下列各式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用与的关系，求出数列的通项公式，再通过判断数列的单调性即可得出答案.【详解】当时，，可得，当时，，，两式相减得，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以；所以，所以，令得，，又，所以，此时有，当时，，即，此时数列是递减数列，故有.故选：C.9．已知正项等比数列中，，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由条件可得，然后由代入计算，结合二次函数的最值即可得到结果.【详解】由题意，设等比数列的公比为，则因为，即，即，所以，则，所以当时，.故选:B10．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，先证明，再以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线与所成角为，利用向量法求出，再利用函数求出最值即得解.【详解】如图所示，连接. 由题得，所以是等边三角形，所以.因为平面，所以.以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.由题得, .设. 所以.设异面直线与所成角为，则.当时，最大为，此时最小，最小值为.故选：C11．已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和对称性得到函数周期，变换，代入计算得到答案.【详解】偶函数的图象关于点中心对称，则，且，故，，故函数为周期为的函数，.故选：C12．三棱锥中，D是PA的中点，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，，即平面，三棱锥的外接球即边长为的正方体的外接球，求解即可.【详解】因为D是PA的中点，，，，  所以由余弦定理可得：，所以，解得：，所以，故，由，则，所以，因为，则，，则所以，故，故，平面，故平面，所以可将三棱锥放在如下图所示的正方体中，  故棱锥的外接球的半径为，故三棱锥的外接球的体积为：.故选：D. 二、填空题13．函数的最小正周期是______．【答案】【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解.【详解】所以最小正周期为，故答案为：14．在三棱锥中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的正切值为______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角的余弦值，根据同角关系即可求解正切值.【详解】由于BA，BC，BD两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面的法向量为，则,所以 ，取，则，又平面轴，所以平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，所以 因此，故答案为：15．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥内切球的表面积是圆锥底面积的___________倍.【答案】【分析】利用圆锥侧面积和底面积的比求得，进而求得圆锥内切球半径与底面半径的关系式，从而求得内切球表面积是圆锥底面积的倍.【详解】圆锥的轴截面是，设圆锥的底面半径r=BD，母线为l，则，，所以，得l=2r，如图，可知是正三角形，O是内切球球心，R=OD是内切球半径，所以，所以内切球表面积，所以，所以内切球表面积是圆锥底面积的倍.故答案为：16．已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式__________．【答案】【分析】变换得到，设，得到，利用累加法计算得到答案.【详解】，则，设，，则，，故.故答案为： 三、解答题17．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，______，若三角形唯一，求此时的周长，若不唯一，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】见解析【分析】根据余弦定理边角互化可得，进而结合正余弦定理，即可求解的长度，即可根据唯一性求解.【详解】由得，即，即，若选①，由正弦定理可得，即，，，即即，得，得，，此时三角形唯一，则周长为，若选②，，，即，得，得，联立得或，此时三角形不唯一，故不符合要求，舍去，若选③，，，，得，则，即，得，则或，此时构成三角形不唯一，不符合要求，舍去.18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．(1)证明：；(2)求点E到平面的距离．【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）利用空间直角坐标系，利用向量垂直即可求证线线垂直，（2）利用空间向量即可求解点面距离.【详解】（1）由于平面ABC，，所以两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则,，所以故（2）由题意可知是，的中点，所以,设平面的法向量为，则, 故 ，取 ，则 所以点E到平面的距离为19．设数列的前n项和为，，是公差为1的等差数列．(1)求的通项公式；(2)记，解关于n的不等式．【答案】(1)(2) 且， 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合即可求解的通项，进而可得，（2）根据裂项求和可得，即可求解.【详解】（1）由是公差为1的等差数列，可得，所以，所以，当时，，所以，当时，也符合，所以（2），所以由得，由于，所以 且，20．已知，分别为等差数列和等比数列，，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列的通项公式进行求解即可；（2）根据错位相减求和法进行求解即可.【详解】（1）已知为等差数列，由，则，解得，又， 则，代入，解得，所以.已知为等比数列,，，又，，则，，所以公比，.（2）由（1）得，则，，则，所以数列的前项和．21．如图，三棱锥中，底面ABC与侧面ABP是全等三角形，侧面PBC是正三角形，，，，D、E、F、G分别是所在棱的中点，平面ADE与平面CFG相交于直线MN．(1)求证：∥；(2)求直线PC与平面ADE所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用三角形重心的性质，先证明//，然后根据平行的传递性得出证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决.【详解】（1）由为的中线，于是的交点即为的重心，根据重心性质可知，，同理可说明，于是和相似，故，故//. 又是中对应的中位线，故//，于是//.（2）由，，可知，又底面与侧面是全等三角形，注意到，于是，则，又，平面，于是平面.连接，由于，故（三线合一），又平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故平面平面.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.，则.,,设平面的法向量为.,则为其中一个法向量.又，则直线PC与平面ADE所成角的正弦值为：22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点顺时针方向旋转与曲线交于点．(1)求曲线的极坐标方程；(2)求的面积的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，先将参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；（2）根据题意，设，设，然后结合极坐标方程，代入计算，即可得到的面积的范围，从而得到结果.【详解】（1）因为，则，且，则，根据，转化为极坐标方程为.（2）由（1）可知，曲线的极坐标方程为，设，则由于，则，即，所以，即，所以23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数的值域为，，，试比较与的大小．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分段去绝对值求解，然后取并集可得；（2）分段求值域，然后作差，因式分解，根据a，b范围可得.【详解】（1）所以或或解得或或综上，不等式的解集为（2）当时，，当时，，即当时，综上，函数的值域，因为，所以，所以，所以