2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期11月月度质量检测数学试题含答案

这是一份2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期11月月度质量检测数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期11月月度质量检测数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数以及对数函数的单调性，确定集合,求出，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得，，故，所以，故选：B.2．已知，，，下列说法正确的是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用导数研究单调性可比较，，利用导数研究单调性可比较，即可求解【详解】设，则在上恒成立，所以在单调递增，所以，即，所以，又在单调递增，所以，即，所以；设，则在上恒成立，所以在单调递减，所以，即，所以，即所以；综上所述：，故选：C3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AD是∠A的平分线，，，则的最小值是（    ）A．6 B． C． D．10【答案】C【分析】首先根据等面积法建立的等量关系，再利用不等式“乘1法”求最小值即可.【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则.则，，而,代入化简得，，即.则，当且仅当，即时，等号成立.故最小值为.故选：C4．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（    ）A．第一种方式购买物品的单价为 B．C．第一种购买方式所用单价更低 D．第二种购买方式所用单价更低【答案】D【分析】分别计算出两种不同策略的平均价格，比较两种平均价格的大小.【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为,则平均价格为，故A不正确；第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为，第一次能购得该物品的数量为， 第二次能购得该物品的数量为，则平均价格为； ，所以，故B错误，同时说明第二种购买方式所用单价更低；故选：D5．数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用累乘法可求得；利用错位相减法可求得；分别代入和即可求得结果.【详解】由得：，；设，则，，，，即，.故选：B.6．已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可．【详解】解：如图在矩形中，，在中，，，，．故选：A．7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（    ）A．999 B．749 C．499 D．249【答案】A【分析】构造法判断为等比数列，为常数列，进而可得，再由，结合新定义有，最后利用裂项相消法求的前n项和.【详解】由，得，又，所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则①，由得：，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立得.因为，所以，即，所以，故，所以，则.故选：A8．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简题目所给不等式，构造函数，由在区间上恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】不妨设，则，即，令，则，∴在单调递增，对恒成立，而恒成立，令，，则在单调递减，∴，∴，的取值范围是.故选：A【点睛】利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法，然后通过求函数的最值来求得参数的取值范围. 二、多选题9．下列结论正确的是（    ）．A．若，且，则B．若，，，则的最小值为4C．函数的最小值为4D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，【答案】AB【分析】利用基本不等式可判断A;根据对数运算可得，再结合基本不等式可判断B;利用换元法将化为函数，，结合其性质判断C;求出数列的通项公式，可得的表达式，即可判断D.【详解】对于A，若，且，因为 ，即，A正确；对于B, 若，，,则，则，即，故，当且仅当是取得等号，故的最小值为4，B正确；对于C,当时，，令 ，则函数，单调递减，故，即函数的最小值为2，C错误；对于D, 各项均为正数的数列满足，，则 ，满足上式，所以, 所以，当时，，当时，，由于，故D错误，故选：AB.10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）A．平分B．C．延长交直线于点，则三点共线D．【答案】ACD【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；对于B，直接代入即可得到；对于C，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线；对于D，由选项A可知.【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于A，，，故，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则平分，故A正确；对于B，因为，故，故B错误；对于C，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于D，由选项A知，故D正确.故选：ACD..11．在棱长为2的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（    ）A．三棱锥的外接球表面积为B．三棱锥的体积为定值C．过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形面积为D．直线与平面所成角的正弦值的范围为【答案】BCD【分析】求出三棱锥外接球的直径与表面积，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；做出截面图形，利用三角形的面积公式可判断C选项；计算出点到平面的距离，以及的取值范围，结合线面角的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，三棱锥外接球即为正方体的外接球，正方体的外接球直径为，故三棱锥外接球的表面积为，A错误；对于B选项，因为且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，，，B正确；对于C选项，且，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，又因为平面，，所以，平面平面，所以，过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，易知是边长为的等边三角形，该三角形的面积为，C正确；设点到平面的距离为，由知，点到平面的距离为，当点在线段上运动时，因为，若为的中点时，，，当点为线段的端点时，，即，设直线与平面所成角为，，D正确.故选：BCD．12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D在边上，和的面积分别为和且，则（    ）A． B．C．面积的最小值是 D．的最小值为6【答案】AC【分析】利用三角形面积结合条件推出以，可判断A,B；根据正弦定理表示出和，进而表示出面积，结合三角函数性质求最值，判断C；表示出，由此设，求出导数，利用导数判断函数单调性，进而判断的最小值不为6，判断D.【详解】如图所示，因为,且,所以，所以，,因为为三角形内角，所以，故，故A项正确，B项错误；，所以 ，在 中， 即； 在中，由正弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，当时， 取得最小值8，所以，即 面积的最小值是 ，故C项正确；，设，则，在单调递减，在单调递增，故在单调递增，因为 ，故存在满足，且在单调递减，在单调递增，故 因此 的最小值不是6，故D错误.故选：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是判断的最小值是否为6，这一项的判断综合性很大，计算量也大，关键点在于利用正弦定理表示出后，要利用构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性进行判断. 三、填空题13．考虑集合的非空子集，若其子集中的奇数的个数不少于偶数个数，则称这个子集叫做“奇子集”，则S的“奇子集”的个数为         ．【答案】162【分析】分类讨论，考虑子集中的奇数个数一定时，偶数的个数的可能的情况，将每种情况的自己个数相加，可得答案.【详解】由题意知的元素中有4个奇数和4个偶数，当子集中的奇数的个数为1个时，S的“奇子集”的个数为个；当子集中的奇数的个数为2个时，S的“奇子集”的个数为个；当子集中的奇数的个数为3个时，S的“奇子集”的个数为个；当子集中的奇数的个数为4个时，S的“奇子集”的个数为个；故S的“奇子集”的个数为，故答案为：162.14．已知复数满足，则的最小值为      .【答案】【分析】根据复数的几何意义求解．【详解】解：，∴ 在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，的几何意义为圆上的点到的距离，如图，的最小值为．故答案为：．15．已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是        .【答案】9【分析】由题设条件可得的奇偶性和周期性，结合在上的解析式可作出在上的大致图像；构造函数，利用奇偶性的判断及复合函数的单调性，可作出在上的大致图像；再分别考虑一下在与上与的交点情况，从而可作出与在上的交点情况，由此得解.【详解】因为函数是偶函数，所以，又因为，令，则，故，即，即，所以，即是周期为的周期函数，因为当时，，利用的奇偶性可作出在上的图像，再利用的周期性可依次作出上的图像，令，由得，故的定义域关于原点对称，又，所以也是偶函数，当时，，由与易知在上单调递增，；同理：当时，在上单调递增，且恒成立；再利用的奇偶性，即可作出在上的图像，又因为当时，由得，解得或，故与在上有两个交点，特别地，当时，易知，由得，整理得，即，故与在上只有一个交点，至此，利用与的奇偶性可作出两者的图像（含交点情况）如图，显然共有个交点，所以方程在区间上的解的个数为.故答案为：.16．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则          ．【答案】【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，则，所以，因为本题椭圆离心率:，设由焦半径公式:得:,即中点，，则垂直平分线斜率为根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，则线段的垂直平分线方程为,代入得:,即,则.故答案为：.【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，，，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤. 四、解答题17．已知各项均为正数的数列满足：，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求，并确定最小正整数n，使为整数．【答案】(1)(2)9 【分析】（1）由题意知，所以为等比数列，由此可得数列的通项公式；（2）由题设条件知，为使为整数，当且仅当为整数，由此可确定最小正整数．【详解】（1）条件可化为，因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以①因，由①式解出②（2）由①式有＝，为使为整数，当且仅当为整数．当n＝1，2时，显然不为整数，当时，只需为整数，因为3n－1与3互质，所以n为9的整数倍．当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9．18．在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．(1)若cos∠CBD＝，求；(2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案.（2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值.【详解】（1）如图，，设，，得，整理得，，，解得，又由，则有，故，解得，（2）在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，四边形ABCD的面积为，得.当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.19．为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表： 患病未患病总计没服用药203050服用药xy50总计MN100设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过(1)求出列联表中数据，y，M，N的值：(2)求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？（参考公式，其中P（K2≥k）0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)(2)，即说明药物有效(3)不能够有99%的把握认为药物有效. 【分析】(1)根据，求出的值，根据列联表中各个数据的关系，得到另外三个值；(2)分别计算,比较后得到结论；(3)计算K2的值，由参考数据得出结论．【详解】（1），，，，，；即，，，；（2）取值为0、1、2，，012P∴取值为0、1、2，，，012P∴∴，即说明药物有效.（3）∵，∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效20．已知圆 ​， 点​是直线​上一动点， 过点​作圆​的切线​， 切点分别是​和​.(1)当点​的横坐标为 3 时， 求切线的方程;(2)试问直线​是否恒过定点， 若是求出这个定点， 若否说明理由.【答案】(1)或；(2)直线​恒过定点​，理由见解析 【分析】（1）分斜率存在，不存在讨论，根据直线与圆的位置关系即得；（2）设​，由题可得以​为直径的圆的方程，结合条件可得公共弦​的方程进而即得.【详解】（1）由题可知，由圆 ​，可知圆心为，半径为1，当切线的斜率不存在时，满足题意，当切线的斜率存在时，可设切线为，则，解得，所以切线为，即，所以切线的方程为或；（2）直线​恒过定点​，设​， 由题意知​在以​为直径的圆上， 又​， 则以​为直径的圆的方程为​， 即​，又圆 ​， 即​，两式相减， 故直线​的方程为​， 即​，由​， 解得​， 即直线​恒过定点​.21．如图，正三棱柱中，分别是棱，上的点，平面，且M是AB的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面BEF与平面BCE夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）在平面中构造与平面垂直的直线，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，通过两个法向量夹角和二面角夹角之间的关系，即可求得结果.【详解】（1）过作的平行线交分别于点，连接，如下所示：因为是正三棱柱，故可得面面，故；又三角形为等边三角形，为中点，故；又面，，故面；因为////，则确定一个平面，即面，又//面，面面，故可得//，则面，又面，故面面.（2）根据（1）中所证，可得////，故四边形为平行四边形，在△中，因为//，且点为中点，故可得，又，则；又两两垂直，故以为坐标原点，连接，建立如图所示空间直角坐标系：设，则，，设平面的法向量为，则，即，解得，取，则，故平面的一个法向量；设平面的法向量为，则，则，取，则，故平面的一个法向量；设平面所成二面角的平面角为，则.故平面BEF与平面BCE夹角的余弦值为.22．已知函数是方程的两个根，是的导数，设.(1)求的值；(2)已知对任意的正整数n，都有，记，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接解一元二次方程即可；（2）首先得到，而，利用完全平方式及得到，则证明其为等比数列，最后利用等比数列求和公式即可得到答案.【详解】（1）由，解得方程的两根为，又是方程的两个根,且,（2），，且，，，即是以为首项,以2为公比的等比数列.故数列前项之和为.【点睛】本题综合性，创新性较强，难点在第二问，首先得到和之间关系，然后是对的化简，利用之前得到的关系式，将代换，再结合完全平方式和是的两根即可证明为等比数列，求出其前和即可，所以转化，换元，整体代换等是这类难题常用的方法.