2023届新疆维吾尔自治区和田地区民丰县高三上学期期中考试数学（文）试题含答案

2023届新疆维吾尔自治区和田地区民丰县高三上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】∵z，

∴复数z的虚部为．

故选：D

【点睛】本题考查的是复数的运算及其概念，较简单.

2．已知，集合，，记，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求出即可得解.

【详解】由题：已知，集合，，记，

，

则.

故选：A

【点睛】此题考查根据已知条件求解集合中的元素，再求集合的交集.

3．已知等比数列满足，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．

【详解】解：设等比数列的公比为，

，

，

化为，

解得，

解得．

则．

故选：．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．数列在各项为正数的等比数列中，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等比中项的性质可求得的值，再利用等比中项的性质可求得所求代数式的值.

【详解】由题意可知，对任意的，，由等比中项的性质可得，则.

因此，.

故选：C.

5．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真的是（    ）

A．p∧q B．p∨q C．¬p D．(¬p)∧(¬q)

【答案】B

【解析】判断p，q的真假，根据复合命题真假判断即可.

【详解】因为命题p：2是偶数是真命题，命题q：2是3的约数是假命题，

所以p∨q为真命题.

故选：B

【点睛】本题主要考查了复合命题的真假的判定，属于容易题.

6．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是

A．1 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】根据循环语句，依次执行，并判断是否结束循环，直到结束循环得结果.

【详解】执行循环得：；

；；

；结束循环，输出.

故选：D.

7．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是 （  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三视图的数据，由正四棱锥体性质，根据勾股定理可得结果.

【详解】由三视图可知该正四棱锥，底面正方形对角线长是，

可得底面边长为2，高为3，

所以正四棱锥的侧棱长为，

故选：B.

8．定义在上的函数对于任意两个不相等的实数，恒有成立，在直线的左上方的动点满足不等式组，设动点所在的平面区域为，点，若区域内存在点M，使成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先找出动点满足不等式组，然后画出其表示的平面区域，再数形结合转化斜率问题求解.

【详解】由条件知在上是增函数, 则由, 得,

即 又动点在直线的左上方,所以

则动点满足不等式组为 ，画出其表示的平面区域

如图阴影部分所示.

由题意,得, 则不等式

等价于 由平面区域知, 所以, 则由题意知不大于的最大值, 此时只须求 的最大值

而 表示平面区域内的动 与定点所在直线的斜率，其最大值为 , 即 的最大值为，所以

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题有四个关键，第一，就是利用单调性把动点满足不等式组表示出来；第二，就是准确作出可行域；第三，就是直译，然后分离变量转化为最值问题；第四，就是数形结合，转化为斜率问题.

9．函数的最小正周期为，其图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则函数在上的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数周期以及平移后函数是奇函数，求得参数；再求函数在区间上的值域即可.

【详解】因为的最小正周期为，故可得，又，解得；

故，将其向右平移个单位，可得，

又因为其是奇函数，故可得，又，

故可得.

综上所述，，又，则，

故在区间上的最大值为.

故选：.

【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求参数值，以及求正弦型函数在区间上的值域，属综合基础题.

10．若且，则的最小值是

A．6 B．12 C．24 D．16

【答案】D

【详解】试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16

【解析】均值不等式求最值

11．方程的根的情况是（    ）

A．有两个大于3的根 B．有两个小于3的根

C．有一个大于3的根一个小于3的根 D．仅有一个实数根

【答案】C

【分析】将方程根的情况转化为的图像交点情况，观察图像即可得结果.

【详解】解：由得，

设，作出图像如图：

由图像可得的图像有个交点，

则方程有两个根，有一个大于3的根一个小于3的根.

故选：C.

【点睛】本题考查方程根的分布问题，最主要的方法就是转化为函数交点问题来解决，是基础题.

12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数的图象大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可

【详解】由可知，该函数为偶函数，不对；可考虑的情况，

，因为，又

.函数在上为增函数，

故选：A.

二、填空题

13．写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数           .

【答案】(答案不唯—)

【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求出函数解析式

【详解】解：因为是最大值为3，最小正周期为2的偶函数，

所以，或，或等（答案不唯—)，

故答案为：（答案不唯一）

14．已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】是的充分条件得到，列不等式组得解.

【详解】由，∴，即

∴.

故答案为：

【点睛】本题考查命题的充分必要条件，利用集合子集关系是解题关键.

15．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是        .

【答案】

【分析】依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，求出外接球的半径，取的中点，当截面时，截面的面积最小，利用勾股定理求出截面圆的半径，即可得解；

【详解】解：依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，

∴，∴，

取的中点，∴为的外接圆圆心，

∴平面，如图，当截面时，截面的面积最小，

∵，

此时截面圆的半径为，∴截面面积为，

当截面过球心时，截面圆的面积最大为，

故截面面积的取值范围是.

故答案为：

16．已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【详解】 由，当时，无解，适合题意；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得，综上知，故填.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)当时，求的最值.

【答案】(1)

(2)函数最大值，最小值.

【分析】（1）由三角恒等变换公式化简后求解

（2）由三角函数性质求解

【详解】（1）

.

（2）当时，，

则当，即时，函数取到最大值；

当，即时，函数取到最小值.

所以，函数最大值，最小值.

18．如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点.

(1)求以，，，为顶点的四面体的体积；

(2)求异面直线和所成的角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知该四面体为以为底面，以为高的四面体，可得四面体体积；

（2）连接，，可得即为异面直线和所成的角的平面角，根据余弦定理可得角的大小.

【详解】（1）解：连接，，，以，，，为顶点的四面体即为三棱锥，

底面的面积，

高，

则其体积；

（2）解：连接，，，则即为异面直线和所成的角的平面角，

在中，，，，

则，

故，

即和所成的角的的大小为.

19．“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为，，A，B每一轮答对的概率都为，且两人每轮是否回答正确均相互独立．

(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：

(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）求出A学生每轮得一分的概率，进而求出经过2轮抢答A赢得比赛的概率；（2）求出X的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望.

【详解】（1）记事件C为“经过2轮抢答A赢得比赛”

A学生每轮得一分的概率，

B学生每轮得一分的概率，

，所以经过2轮抢答A赢得比赛的概率为．

（2）X的可能取值为2，4，5．

2轮比赛甲赢或乙赢的概率为，

4轮比赛甲赢或乙赢的概率为，

5轮比赛甲赢或乙赢的概率为．

X的分布列为：

，数学期望为．

20．已知椭圆的右焦点为F.

（1）求点F的坐标和椭圆C的离心率；

（2）直线过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.

【答案】（1）焦点，离心率（2）是过x轴上的定点；定点

【解析】（1）由椭圆的标准方程即可得出；

（2）直线过点F，可得，代入椭圆的标准方程可得：.（依题意）.设，，可得根与系数的关系，点P关于x轴的对称点为，则.可得直线的方程可以为，令，，把根与系数的关系代入化简即可得出.

【详解】（1）椭圆，

，解得，

焦点，离心率.

（2）直线过点F，

，.

由，得.（依题意）.

设，，

则，.

点P关于x轴的对称点为，则.

直线的方程可以设为，

令，

.

直线过x轴上定点.

【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

21．如图．已知抛物线，直线过点与抛物线C相交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线相交于点T，过A，B分别作x轴的平行线与直线上交于M，N两点．

（1）证明：点T在直线l上，且；

（2）记，的面积分别为和．求的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由题意，设直线AB：，，利用导数的几何意义，分别求得过点A、B的切线方程，联立可求得点T，再将直线AB与抛物线C联立，根据韦达定理，可得表达式，代入即可得T点坐标，经检验满足直线l方程，又，可得T为M、N中点，即可得证.

（2）由（1）可得，表达式，进而可得表达式，化简整理，结合二次函数的性质，即可得答案.

【详解】（1）因为AB不平行x轴，设直线AB：，，

因为，不妨令，则，

所以，所以，

所以过点A的切线方程，整理得

同理，过点B的切线方程为，

两方程联立，解得，

又，联立可得，

所以，

代入可得，满足，所以点T在直线上.

又，所以，

所以T为M、N的中点，即.

（2）由（1）可得，

所以，同理，

所以

，

当时，有最小值

【点睛】解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，并灵活应用，难点在于计算难度大，对于抛物，过点抛的切线，可利用导数求切线，也可以直接代入公式，可简化计算，属中档题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于､两点(在轴上方)，求的值.

【答案】（1）；；（2）.

【分析】（1）消去参数即可得出直线的普通方程；根据可得曲线的直角坐标方程.

（2）写出直线参数方程的标准形式，再将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理以及参数的几何意义即可得出结果.

【详解】（1），两式作差可得；

，所以

（2）直线的一个参数方程为(为参数)

代入到中得

设､对应的参数分别为､

则，

23．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，定义两点间距离为．

(1)在平面直角坐标系中任意取三点A，B，C，证明；

(2)设，分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点C的范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据的定义，利用绝对值三角不等式，即可容易证明；

（2）根据（1）中的证明过程，即可求得等号成立和不成立分别对应点的坐标范围.

【详解】（1）根据题意，设的坐标为，

故，，，

因为，当时取得等号，

同理可得，当时取得等号.

故，

即，

当，且时取得等号，即证.

（2）不妨令根据（1）中证明过程，

当等号成立时，且，

即且；

当等号不成立时，或，

即或.