福建省福州市平潭县新世纪学校2021-2022学年高二上学期月考数学【试卷+答案】

这是一份福建省福州市平潭县新世纪学校2021-2022学年高二上学期月考数学【试卷+答案】，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
平潭新世纪学校高二上月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若平面与的法向量分别是，，则平面的位置关系是（    ）A．平行    B．垂直             C．相交但不垂直 D．无法确定2．如图，已知直线，，的斜率分别为，，，则（    ）A．  B．   C．   D．3．如图所示，在正方体中，已知、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（    ）A．      B．         C．            D．4．已知，，，若三个向量共面，则实数等于（    ）A． B． C． D．5．“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ）A．             B．                 C．4            D．87．、分别为与上任意一点，则的最小值为（   ）A． B． C． D．8．已知点，.若直线与线段相交，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、多选题9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 10．已知直线，则下列结论正确的是（    ）A．直线的倾斜角是           B．若直线，则C．点到直线的距离是2      D．过与直线平行的直线方程是11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是12．已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（    ）A．  B．    C． D．三、填空题13．直线（为常数）经过定点______．14．已知和点关于直线对称，则点坐标为________．15．设的对角线和交于为空间任意一点，如图所示，若，则_______．16．如图，二面角为，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，若，，，则的长度为______.四、解答题17．已知直线，．（1）若，求实数的值．（2）当时，求实数的值．        18．在正四棱柱中，，为的中点.求证：（1）平面.（2）平面.     19．直线l过点P（4,1），（1）若直线l过点Q（－1,6），求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．      20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点． （1）如果PD＝4，求证：PC⊥平面MAD；（2）当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D﹣MBC的体积V．         21．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.（1）求证：平面平面；（2）设，当二面角的余弦值为时，求的值         22．如图，高为的等腰梯形，，为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、．（1）若，且满足平面，求实数的值；（2）当点为边中点时，求点到平面的距离．
参考答案1．B【分析】利用法向量垂直即可证明两平面垂直.【详解】因为，，所以，所以.由分别是平面与的法向量，所以平面⊥.故选：B2．D【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断．【详解】由题图知直线的倾斜角为钝角，∴.∵直线，的倾斜角为锐角，且的倾斜角较大，∴，∴.故选：D．3．A【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，因此，与所成角的余弦值为.故选：A.4．D【分析】若、、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于的方程，解方程即可求出实数的值．【详解】解：，，与不平行，又、、三向量共面，则存在实数，使即，解得故选：．5．C【分析】根据两直线平行可知：求出，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴，解得或，当，两直线重合，舍去；当时，两直线平行．所以“”是“直线与直线平行”的充要条件．故选：C6．A【分析】首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正弦值，利用面积公式计算.【详解】解析：设向量的夹角为θ，，，于是＝．由此可得．所以以为邻边的平行四边形的面积为.故选：A7．D【分析】求出两平行直线与之间的距离，即为的最小值.【详解】直线的方程为，所以，直线与平行，直线与之间的距离为，因此，的最小值为.故选：D.8．D【分析】由直线系方程求出直线l所过定点C，再由斜率坐标公式求出直线l过点A，B时的斜率即可作答.【详解】直线恒过点，如图，直线l从经过点A时的直线CA绕点C逆时针旋转到经过点B时的直线CB时，直线l与线段AB都相交，并且斜率逐渐增大，即直线l斜率最小值为直线CA斜率，直线l斜率最大值为直线CB斜率，所以的取值范围是.故选：D9．AB【分析】A中,根据两条不重合直线方向向量共线,判断两直线平行；B中,根据两个不同的平面法向量垂直,判断两平面垂直；C中,根据直线的方向向量与平面的法向量垂直,判断直线与平面平行或在平面内；D中,根据直线的方向向量与平面的法向量共线,判断直线与平面垂直【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，所以，选项B正确；对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，C选项错误；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误.故选：AB10．CD【分析】求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.【详解】由可得，所以直线的斜率为，对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，故选项A不正确；对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；对于D：设与直线平行的直线方程是，则，可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；故选：CD.11．BD【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；对于C，，，即和夹角的余弦值为，C错误；对于D，设平面的法向量，则，令，解得：，，，即平面的一个法向量为，D正确.故选：BD.12．AC【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.【详解】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，的斜率为， 的方程是，即；当直线经过线段的中点时，的斜率为，的方程是，即， 故选：AC13．【分析】把直线方程化成点斜式即可判断所经过定点.【详解】，所以直线（为常数）经过定点.故答案为：.14．【分析】设点的坐标为，则由线段的中点在直线上，，列方程组可求出点坐标【详解】解：设点的坐标为，则，解得，所以点坐标为，故答案为：15．4【分析】根据向量的线性加法运算，由为中点，可得，，即可得解.【详解】由为中点，可得，，所以，所以，故答案为：.16．3【分析】因为，，，结合空间向量距离公式，转化求解即可.【详解】因为，，，所以，又因为二面角为，所以，所以.故答案为：3.17．（1）；（2）【分析】（1）根据两直线垂直，得到方程，求解即可；（2）根据两直线平行得到，求解即可.【详解】解：（1）∵直线，直线，若，则，∴；（2）当时，，由知：，即或，当时，(舍)，当时，，满足题意，故．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量、的坐标，由向量的坐标运算即可求证；（2）求出坐标，结合平面的法向量，由向量共线即可求证．【详解】根据题意以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，以所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则，，，，，，，，，（1）设平面的法向量，，，由，即，取，则，，得，又，因为，所以，且平面,所以平面．（2）由（1）可知平面的法向量，，，所以，所以平面．19．（1）；（2）或【分析】（1）由题，此直线经过两点，故采用直线的两点式方程，将P（4,1），Q（－1,6），代入到两点式方程中，得到直线方程；（2）由题，经过一点的直线可设为直线的点斜式方程，将点坐标代入，得到y－1＝k（x－4），分别将x，y轴上的截距表示出来，由题中的关系可得到的关系式，求解即可.【详解】解：（1）直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0. （2）由题意知直线有斜率且不为零，设直线l的方程为y－1＝k（x－4），l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，故1－4k＝2（4－），得k＝或k＝－2，直线l的方程为或y＝－2x＋9.20．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正弦值的最大值求得，进而求得三棱锥的体积.【详解】（1）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，又AD⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴AD⊥平面PCD，得AD⊥PC，∵PD＝DC＝4，M为PC的中点，∴DM⊥PC，而AD∩DM＝D，∴PC⊥平面MAD；（2）设DP＝2t，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（4，4，0），P（0，0，2t），M（0，2，t），＝（4，4，0），＝（0，2，t），，设平面MBD的法向量为，则，即，取y＝﹣1，得，∴BP与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜＞|＝＝（当且仅当，即t＝2时等号成立）．∴三棱锥D﹣MBC的体积．21．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据ABCD是直角梯形，，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；.（2）以A为坐标原点，分别以向量，，的正方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面PAM的一个法向量为，根据二面角的余弦值为，由求解.【详解】（1）因为ABCD是直角梯形，，，所以.又因为，，所以平面PAD，又因为平面ABCD，所以平面平面ABCD.（2）由（1）知平面PAD，平面PAD，所以，又，所以，即，又，所以平面ABCD，又，即，则以A为坐标原点，分别以向量，，的正方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，.则，，，所以，，设平面的一个法向量，由即，令，得，设，由，得，所以，所以，，设平面的一个法向量，由，得，令，得平面PAM的一个法向量为，，设二面角的平面角为，则为锐角，所以，解得或，因为，所以.22．（1）；（2）.【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的性质定理得，则，进而可得结果；（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，进而可得结果.【详解】（1）连接交于，连接.   梯形中，，则，由平面，平面，平面平面，在中，. 即，所以．（2）设点到平面的距离为．因为平面平面，平面平面，在平面中，，所以平面.建立如图所示空间直角坐标系，，所以，.设平面的一个法向量为，，.  则有，即，令，有．.故点到平面的距离为．