中考数学二轮复习重难点题型突破二次函数与特殊平行四边形判定问题（含解析）

这是一份中考数学二轮复习重难点题型突破二次函数与特殊平行四边形判定问题（含解析），共8页。
类型五 二次函数与特殊平行四边形判定问题例1、如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。【解析】（1）∵直线经过点,∴        ∵抛物线经过点，         ∴         ∴抛物线的解析式为（2）∵点的横坐标为且在抛物线上  ∴  ∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形①   当时，∴，解得：即当或时，四边形是平行四边形②   当时，，解得：（舍去）即当时，四边形是平行四边形例2、如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标； 【解析】解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3． （2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3．设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF=OD=2，∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．例3、如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A、B两点，，．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．          【解析】解：（1）∵    ∴C (0,3) ………………………………………………1分又∵tan∠OCA=∴A（1，0）……………………………………………1分又∵S△ABC=6∴∴AB=4 …………………………………………………1分∴B（，0）…………………………………………1分（2）把A（1，0）、B（，0）代入得：           …………………………………………1分∴，∴……………………………………2分        ∵∴顶点坐标（，）………………………………1分（3）①AC为平行四边形的一边时           E1析(，0) ………………………………………1分           E2（，0）………………………………1分           E3（，0）………………………………1分②AC为平行四边形的对角线时 E4（3，0）…………………………………………1分例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．  【解析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．例5、如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.          【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 ，    根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为：              ………(3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 ∴直线BC的解析式为                 …………(6分)∵抛物线的对称轴是，∴当时，∴点P的坐标是.                         …………(7分)（3）存在                              …………………………(8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为，∴点N的坐标为     ………………………(11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，∵四边形是平行四边形，∴,∴Rt△CAO ≌Rt△,∴.∵点C的坐标为,即N点的纵坐标为，∴即解得∴点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为，， ………………………(13分)