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北京市北京四中璞瑅学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】
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这是一份北京市北京四中璞瑅学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京四中璞瑅学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
4．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
7．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．90° B．80° C．50° D．30°
8．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
9．（3分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB＝y（单位：度），点P运动的时间为x（单位：秒），那么表示y与x关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共16分，每小题2分）
11．（2分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，那么∠ABC＝ ，∠BCD＝ ．
13．（2分）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 ．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC=CD，则∠ACD的度数是 ．
16．（2分）定义：直线y＝ax+b（a≠0）称作抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线为y＝x+2，则该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）当a＝1时，请写出抛物线y＝ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）： ．
三、解答题（本题共54分，第17题8分，第18题4分，第19—24题，每小题0分，第25题6分，第26题6分）
17．解方程：
（1）x2+x﹣2＝0；
（2）5（x+3）2=12．
18．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
20．已知关于x的方程x2+3x+3m4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
21．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A＝22.5°，CD＝8cm，求⊙O的半径．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x＝ ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ；
（2）画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象．
（3）当1＜x≤4时，y的取值范围是 ．
23．已知：如图，△ABC．
（1）求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ；
（3）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为1，BC＝6，求其外接圆的面积．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF＝AE，连接AF并延长交⊙O于点D．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CE＝2，∠B＝30°，求AD的长．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB＝2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．
参考答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x＝2，
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝100°，
∴∠ACB=12∠AOB＝50°．
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故选：B．
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC=OA2-OC2=4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4），
∴AO=32+42=5，
∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，
∴点A在⊙O上，
故选：B．
7．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．90° B．80° C．50° D．30°
【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠A′＝40°，
∵∠B′＝110°，
∴∠A′CB′＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′＝50°，
∴∠BCA′＝30°+50°＝80°．
故选：B．
8．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
9．（3分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确，
故选：A．
10．（3分）如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB＝y（单位：度），点P运动的时间为x（单位：秒），那么表示y与x关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示，
当点P在OC上自O向C运动时，∠APB自90°逐渐减小到45°；
当点P在CD上运动时，∠APB=12∠AOB＝45°，为定值；
当点P在DO上自D向C运动时，∠APB自45°逐渐增大到90°；
符合以上变化规律的只有B选项，
故选：B．
二、填空题（共16分，每小题2分）
11．（2分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，那么∠ABC＝ 130° ，∠BCD＝ 110° ．
【解答】解：连接OB，OC，
∵OB＝OA，OC＝OD，
∴∠OBA＝∠BAD＝70°，∠OCD＝∠CDA＝50°，
∴∠AOB＝40°，∠COD＝80°，
∴∠COB＝60°，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝70°+60°＝130°，
∠BCD＝∠BCO+∠OCD＝60°+50°＝110°，
故答案为：130°，110°．
13．（2分）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 相离 ．
【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC=CD，则∠ACD的度数是 60° ．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴AC=AD，
∵AC=CD，
∴AC=CD=AD，
即AC、CD、AD的度数是13×360°=120°，
∴∠ACD=12×120°＝60°，
故答案为：60°．
16．（2分）定义：直线y＝ax+b（a≠0）称作抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线为y＝x+2，则该抛物线的顶点坐标为 （﹣1，﹣1） ；
（2）当a＝1时，请写出抛物线y＝ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）： （1，1+b） ．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线为y＝x+2，
∴a＝1，b＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2+bx，则关联直线解析式为y＝x+b，
∴当x＝1时，函数值都为1+b，
∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），
故答案为：过点（1，1+b）．
三、解答题（本题共54分，第17题8分，第18题4分，第19—24题，每小题0分，第25题6分，第26题6分）
17．解方程：
（1）x2+x﹣2＝0；
（2）5（x+3）2=12．
【解答】解：（1）x2+x﹣2＝0，
（x﹣1）（x+2）＝0，
x﹣1＝0，x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2；
（2）5（x+3）2=12，
（x+3）2=110，
x+3＝±1010，
解得x1＝﹣3-1010，x2＝﹣3+1010．
18．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
【解答】解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5），
∴4+2b﹣3＝5，解得b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x+1）2﹣4．
19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2O即为所求；
（3）如图，点P即为所求，P点的坐标（134，0）．
20．已知关于x的方程x2+3x+3m4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+3x+3m4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×3m4=9﹣3m＞0，
∴m＜3；
（2）∵m＜3，
∴符合条件的最大整数是2，
∴原方程为x2+3x+32=0，
解得：x1=-3+32，x2=-3-32．
21．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A＝22.5°，CD＝8cm，求⊙O的半径．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE=12CD＝4cm，
∵∠A＝22.5°，
∴∠COE＝2∠A＝45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=2CE＝42cm，
即⊙O的半径为42cm．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x＝ 2 ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 （2，0） ；
（2）画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象．
（3）当1＜x≤4时，y的取值范围是 ﹣1≤y≤3 ．
【解答】解：（1）∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称，
∴对称轴为直线x＝2，
∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0），
∴点D坐标为（3，0），
故答案为：2；（3，0）．
（2）将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得3=c3=16a+4b+c0=a+b+c，
解得a=1b=-4c=3，
∴y＝x2﹣4x+3．
图象如下：
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝2，且4﹣2＞2﹣1，
∴x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1，
x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3，
∴﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
23．已知：如图，△ABC．
（1）求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 斜边的中点 ；
（3）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为1，BC＝6，求其外接圆的面积．
【解答】解：（1）如图1，
则⊙O就是求作的图形；
（2）∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴斜边是直径，
∴圆心在斜边的中点，
故答案是：斜边的中点；
（3）如图2，
∵OD⊥BC，
∴BD=12BC＝3，
∴OB2＝BD2+OD2
＝10，
∴S圆O＝π•OB2＝10π．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF＝AE，连接AF并延长交⊙O于点D．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CE＝2，∠B＝30°，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠BAE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAE，
∵AF＝AE，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠CAE．
∴∠B＝∠CAD；
（2）解：连接BD．
∵∠ABC＝∠CAD＝∠CAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴cos∠BAD=ADAB，
∴ADAB=32，
∵∠ACE＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，
∴AE＝2CE＝4，
∵∠BAE＝90°，∠ABC＝30°，
∴cot∠ABC=ABAE，即3=AB4，
∴AB＝43，
∴AD43=32，
∴AD＝6．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB＝2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．
【解答】（1）证明：△＝64m2﹣4m•（16m﹣1）
＝4m，
∵m＞0，
∴Δ＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1＝0的两根，
∴x1+x2=-8mm=8，x1•x2=16m-1m，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4，
∴82﹣4•16m-1m=4，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；
解法二：据对称轴为直线x＝4，可得与x交点（3，0），（5，0）任意代入即可m＝1；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-8m2m=4，
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，
∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，
∴m≥14．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）结论：AD+BE＝DE．
理由：延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．
∵AD⊥CP，DF＝DE，
∴CE＝CF，
∴∠DCF＝∠DCE＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝45°，
∵∠DCA+∠ACF＝∠DCF＝45°，
∴∠FCA＝∠ECB，
在△ACF和△BCE中，
CA=CB∠ACF=∠BCECF=CE，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
∴AD+BE＝DE．
2021-2022学年北京四中璞瑅学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
4．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
7．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．90° B．80° C．50° D．30°
8．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
9．（3分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB＝y（单位：度），点P运动的时间为x（单位：秒），那么表示y与x关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共16分，每小题2分）
11．（2分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，那么∠ABC＝ ，∠BCD＝ ．
13．（2分）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 ．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC=CD，则∠ACD的度数是 ．
16．（2分）定义：直线y＝ax+b（a≠0）称作抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线为y＝x+2，则该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）当a＝1时，请写出抛物线y＝ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）： ．
三、解答题（本题共54分，第17题8分，第18题4分，第19—24题，每小题0分，第25题6分，第26题6分）
17．解方程：
（1）x2+x﹣2＝0；
（2）5（x+3）2=12．
18．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
20．已知关于x的方程x2+3x+3m4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
21．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A＝22.5°，CD＝8cm，求⊙O的半径．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x＝ ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ；
（2）画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象．
（3）当1＜x≤4时，y的取值范围是 ．
23．已知：如图，△ABC．
（1）求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ；
（3）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为1，BC＝6，求其外接圆的面积．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF＝AE，连接AF并延长交⊙O于点D．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CE＝2，∠B＝30°，求AD的长．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB＝2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．
参考答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x＝2，
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝100°，
∴∠ACB=12∠AOB＝50°．
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故选：B．
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC=OA2-OC2=4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4），
∴AO=32+42=5，
∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，
∴点A在⊙O上，
故选：B．
7．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．90° B．80° C．50° D．30°
【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠A′＝40°，
∵∠B′＝110°，
∴∠A′CB′＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′＝50°，
∴∠BCA′＝30°+50°＝80°．
故选：B．
8．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
9．（3分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确，
故选：A．
10．（3分）如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB＝y（单位：度），点P运动的时间为x（单位：秒），那么表示y与x关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示，
当点P在OC上自O向C运动时，∠APB自90°逐渐减小到45°；
当点P在CD上运动时，∠APB=12∠AOB＝45°，为定值；
当点P在DO上自D向C运动时，∠APB自45°逐渐增大到90°；
符合以上变化规律的只有B选项，
故选：B．
二、填空题（共16分，每小题2分）
11．（2分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，那么∠ABC＝ 130° ，∠BCD＝ 110° ．
【解答】解：连接OB，OC，
∵OB＝OA，OC＝OD，
∴∠OBA＝∠BAD＝70°，∠OCD＝∠CDA＝50°，
∴∠AOB＝40°，∠COD＝80°，
∴∠COB＝60°，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝70°+60°＝130°，
∠BCD＝∠BCO+∠OCD＝60°+50°＝110°，
故答案为：130°，110°．
13．（2分）⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是 相离 ．
【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴r＜d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC=CD，则∠ACD的度数是 60° ．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴AC=AD，
∵AC=CD，
∴AC=CD=AD，
即AC、CD、AD的度数是13×360°=120°，
∴∠ACD=12×120°＝60°，
故答案为：60°．
16．（2分）定义：直线y＝ax+b（a≠0）称作抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线为y＝x+2，则该抛物线的顶点坐标为 （﹣1，﹣1） ；
（2）当a＝1时，请写出抛物线y＝ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）： （1，1+b） ．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的关联直线为y＝x+2，
∴a＝1，b＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2+bx，则关联直线解析式为y＝x+b，
∴当x＝1时，函数值都为1+b，
∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），
故答案为：过点（1，1+b）．
三、解答题（本题共54分，第17题8分，第18题4分，第19—24题，每小题0分，第25题6分，第26题6分）
17．解方程：
（1）x2+x﹣2＝0；
（2）5（x+3）2=12．
【解答】解：（1）x2+x﹣2＝0，
（x﹣1）（x+2）＝0，
x﹣1＝0，x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2；
（2）5（x+3）2=12，
（x+3）2=110，
x+3＝±1010，
解得x1＝﹣3-1010，x2＝﹣3+1010．
18．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
【解答】解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5），
∴4+2b﹣3＝5，解得b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x+1）2﹣4．
19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2O即为所求；
（3）如图，点P即为所求，P点的坐标（134，0）．
20．已知关于x的方程x2+3x+3m4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+3x+3m4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×3m4=9﹣3m＞0，
∴m＜3；
（2）∵m＜3，
∴符合条件的最大整数是2，
∴原方程为x2+3x+32=0，
解得：x1=-3+32，x2=-3-32．
21．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A＝22.5°，CD＝8cm，求⊙O的半径．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE=12CD＝4cm，
∵∠A＝22.5°，
∴∠COE＝2∠A＝45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=2CE＝42cm，
即⊙O的半径为42cm．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x＝ 2 ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 （2，0） ；
（2）画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象．
（3）当1＜x≤4时，y的取值范围是 ﹣1≤y≤3 ．
【解答】解：（1）∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称，
∴对称轴为直线x＝2，
∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0），
∴点D坐标为（3，0），
故答案为：2；（3，0）．
（2）将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得3=c3=16a+4b+c0=a+b+c，
解得a=1b=-4c=3，
∴y＝x2﹣4x+3．
图象如下：
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝2，且4﹣2＞2﹣1，
∴x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1，
x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3，
∴﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
23．已知：如图，△ABC．
（1）求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 斜边的中点 ；
（3）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为1，BC＝6，求其外接圆的面积．
【解答】解：（1）如图1，
则⊙O就是求作的图形；
（2）∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴斜边是直径，
∴圆心在斜边的中点，
故答案是：斜边的中点；
（3）如图2，
∵OD⊥BC，
∴BD=12BC＝3，
∴OB2＝BD2+OD2
＝10，
∴S圆O＝π•OB2＝10π．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF＝AE，连接AF并延长交⊙O于点D．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CE＝2，∠B＝30°，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠BAE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAE，
∵AF＝AE，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠CAE．
∴∠B＝∠CAD；
（2）解：连接BD．
∵∠ABC＝∠CAD＝∠CAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴cos∠BAD=ADAB，
∴ADAB=32，
∵∠ACE＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，
∴AE＝2CE＝4，
∵∠BAE＝90°，∠ABC＝30°，
∴cot∠ABC=ABAE，即3=AB4，
∴AB＝43，
∴AD43=32，
∴AD＝6．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB＝2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．
【解答】（1）证明：△＝64m2﹣4m•（16m﹣1）
＝4m，
∵m＞0，
∴Δ＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1＝0的两根，
∴x1+x2=-8mm=8，x1•x2=16m-1m，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4，
∴82﹣4•16m-1m=4，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；
解法二：据对称轴为直线x＝4，可得与x交点（3，0），（5，0）任意代入即可m＝1；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-8m2m=4，
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，
∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，
∴m≥14．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）结论：AD+BE＝DE．
理由：延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．
∵AD⊥CP，DF＝DE，
∴CE＝CF，
∴∠DCF＝∠DCE＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝45°，
∵∠DCA+∠ACF＝∠DCF＝45°，
∴∠FCA＝∠ECB，
在△ACF和△BCE中，
CA=CB∠ACF=∠BCECF=CE，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
∴AD+BE＝DE．
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