中考数学一轮复习考点复习专题20 三角形存在性问题【考点精讲】（含解析）

这是一份中考数学一轮复习考点复习专题20 三角形存在性问题【考点精讲】（含解析），共40页。试卷主要包含了判定△ABD的形状，并说明理由等内容，欢迎下载使用。
专题20 三角形存在性问题


知识导航


方法技巧



1．判定△ABD的形状，并说明理由。

运用勾股定理或两点间的距离公式，求出该三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状。
2．在对称轴x=1上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

设出动点P的坐标为(1,t)后，分三种情况，若P为顶点，则PB=PC；若B为顶点，则BP=BC；若C为顶点，则CP=CB。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，列方程求解即可。
3．若平行于x轴的动直线l与直线BD交于点F,与抛物线交于点P,若△ODF为等腰三角形,求出点P的坐标.

用勾股定理求平面直角坐标系内的两点间的距离，再分类讨论等腰三角形各边的情况，进而求出点P的坐标。
4．△ABD与△BOD是否相似？说明理由.

用两点间的距离公式分别表示两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法，注意相似中没有指明对应边，所以要分类讨论。
题型精讲


题型一：等腰三角形存在性问题
【例1】（2021·四川南充市）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．

题型二：直角三角形存在性问题
【例2】（2021·四川广安市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．

（1）求、的值；
（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），
则，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：
AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∴AE=PE==t，即E（3-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ
=
=
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC=，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；

（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，
∴点M的坐标为（3-2t，4-t），
∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得：t=或（舍），
∴M点的坐标为（，）．


题型三：等边三角形存在性问题
【例3】（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点
为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH，tan60°，求出Q（，），把x代入yx2x+3，得y，则假设不成立；
②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT，tan60°，求出Q（，），把x代入yx2x+3，得y，则假设不成立；
（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式yx+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，x2x+3），M（x，x+3），则PDx2x+3，MDx+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，x2x+3），M（x，x+3），则PDx2x+3，MDx+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，x2x+3），M（x，x+3），则PDx2x﹣3，MDx﹣3，代入即可得出结果．
【解析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2x+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+3；
（2）不存在，理由如下：
①当点Q在y轴右边时，如图1所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QH⊥OC于H，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OHOC，tan60°，
∴QH＝OH•tan60°，
∴Q（，），
把x代入yx2x+3，
得：y，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；
②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QT⊥OC于T，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OTOC，tan60°，
∴QT＝OT•tan60°，
∴Q（，），
把x代入yx2x+3，
得：y，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；
（3）令x2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入则，
解得：，
∴BC直线的解析式为：yx+3，
当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，如图3所示：
延长PM交AB于点D，
则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，
设P（x，x2x+3），M（x，x+3），
则PDx2x+3，MDx+3，
∴（x2x+3）﹣（x+3）x+3，
解得：x1＝1，x2＝4（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：MD3；
当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，如图4所示：
延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，x2x+3），M（x，x+3），
则PDx2x+3，MDx+3，
∴（x2x+3）﹣（x+3）＝x，
解得：x1，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM；
当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，如图5所示：

点P与A重合，
∴M的横坐标为﹣1，
∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，
即：（﹣1）+3；
当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，如图6所示：

延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，x2x+3），M（x，x+3），
则PDx2x﹣3，MDx﹣3，
∴（x2x﹣3）﹣（x﹣3）＝x，
解得：x1，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM；
综上所述，⊙M的半径为或或或．




题型四：三角形相似存在性问题
【例4】（2021·陕西）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，或．
【分析】
(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标；
（2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定的坐标为（2，8），计算C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可.
【详解】
解：（1）令，则，
∴，
∴．
令，则．
∴．
（2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线．
∵点与点关于直线对称，
∴，．
∴．
∵点P在y轴上，
∴
∴当时，．
设，
i）当时，则，
∴．
∴
ii）当时，则，
∴
∴．
iii）当时，则，与矛盾．
∴点P不存在
∴或．





提分训练

1．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；

（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4，
∴Q（0，4）或（0，4）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4）或（0，4）．
2．（2021·四川泸州市）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．

【答案】（1）（2）①9；②或．
【分析】
（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】
解：（1）令x=0，得

令得



，




（2）①设直线BC的解析式为：，代入，得



设









即DE+BF的最大值为9；
②点G是AC的中点，
在中，
即为等腰三角形，






若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，
则①

又




，
或
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又



整理得，
，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
3．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值；
（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可．
【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．

当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBCPF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m）2，
∴当m时，△PBC面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时NDDM，
∴N（0，），
当时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴，
解得a，
∴M（，），
此时N（0，）．
如图3，当点M位于点C的下方，

过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或2，△CMN与△OBC相似，
解得a或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为（0，）或（0，）．
综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
4．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得
∴此抛物线的解析式为：
（2）当时，，所以，OB=OC=3，
∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，
∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，解得，，（舍去），把代入得，，则P点坐标为，


当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，则P点坐标为；


当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为；


综上，P点坐标为或．
5．（2021·湖北）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．


（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标
【答案】（1）；（2），；（3），；，；，；，； ，；，．
【分析】
（1）由和，且D为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；
（2）分两种情况讨论：①过点作，交抛物线于点，②在下方作交于点，交抛物线于；
（3）为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当；②当；③当．
【详解】
解：（1）将和代入
得
又∵顶点的坐标为
∴
∴解得
∴抛物线的解析式为：．
（2）∵和
∴直线的解析式为：

∵抛物线的解析式为：，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，
则C点坐标为，B点坐标为．
①过点作，交抛物线于点，
则直线的解析式为，
结合抛物线可知，
解得：（舍），，
故．
②过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，
由可知四边形为正方形，
∵直线的解析式为
∴与轴交于点，
在下方作交于点，交抛物线于
∴
又∵OC=CG，
∴≌，
∴，，
又由可得
直线的解析式为，
结合抛物线可知，
解得（舍），，
故．
综上所述，符合条件的点坐标为：，．
（3）∵，
∴直线的解析式为
设M的坐标为，则N的坐标为
∴
∵，
∴直线的解析式为
∵为等腰直角三角形
∴①当时，如下图所示

则Q点的坐标为
∴
∴
解得：（舍去），，
∴此时，；，；
②当时，如下图所示

则Q点的坐标为
∴
∴
解得：（舍去），，
∴此时，；，；
③当时，如图所示

则Q点纵坐标为
∴Q点的坐标为
∴Q点到MN的距离=
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
解得：（舍去），，
∴此时，；，．
综上所述，点及其对应点的坐标为：，；，；，；，； ，；，．
6．（2021·湖南）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．


【答案】（1）；（2）存在，或；（3）点，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰时，点或，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得，然后设二次函数的解析式为，进而代入求解即可；
（2）由题意易得，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则可分①当时，②当时，进而分类求解即可；
（3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可；
（4）由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰，②当点Q在第一象限时，存在等腰，然后利用“k型”进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴，
设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：，
∴二次函数的解析式为，即为；
（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：
由（1）可得抛物线的解析式为，则有对称轴为直线，
设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
∴点，，
∴由两点距离公式可得，
若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有，
①当时，则有轴，如图所示：

∴点，
②当时，如图所示：

∴，
∴，
∴点；
（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：

∵OC=8，点D为CO的中点，
∴OD=4，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
设直线HI的解析式为，则把点H、I坐标代入得：，
解得：，
∴直线HI的解析式为，
当y=0时，则有，解得：，
当x=1时，则有，
∴点，
∴点G走过的最短路程为；
（4）存在以点Q为直角顶点的等腰，理由如下：
设点，则有：
①当点Q在第二象限时，存在等腰时，如图所示：

过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，
∴，
∴四边形COLK是矩形，
∴CK=OL，
∵等腰，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
②当点Q在第一象限时，存在等腰时，如图所示：

同理①可得，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰时，点或．