北京市通州区2019年中考数学第三次模拟练习试题（含解析）

这是一份北京市通州区2019年中考数学第三次模拟练习试题（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市通州区2019届九年级第三次中考模拟练习数学试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．如图所示，AD，BE，CF分别是△ABC的角平分线，高线和中线，则下列求△ABC的面积正确的公式是（　　）

A． B．
C． D．S△ABC＝BE•CE
2．2018年1月11日，北京市举行“缓解交通拥堵，服务市民出行”新闻发布会，会议指出，2018年，在改善交通状况，缓解交通拥堵方面，北京市将把机动车保有量控制在6100000辆以内，中心城区路网交通指数控制在5.7左右．轨道交通运营里程增加到632公里以上，治理自行车道900公里，使绿色出行比例提高到73%．将6100000用科学记数法表示为（　　）
A．61×105 B．6.1×105 C．6.1×106 D．6.1×107
3．下面是四个手机APP的图标，其中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）
A．神州租车 B．中国移动 C．百度外卖 D．微信
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）

A． B．
C． D．
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|+b＜0 D．a﹣b＞0
6．下列关于统计和概率知识的说法正确的是（　　）
A．为了搜集一个问题的数据，可以采取多种方式，如实验采集，问卷调查，查询资料等
B．只要是通过真实数据推断的结论都一定是可信的
C．只有通过平均数，众数，中位数难以做出推断时，才需要计算方差
D．概率很小的事件一定不会发生
7．下表反映了我国高速铁路基本情况，根据统计表提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
年份
营业里程
（公里）
占铁路营业
里程比重
（%）
客运量
（万人）
占铁路
客运量比重
（%）
2008
672
0.8
734
0.5
2009
2699
3.2
4651
3.1
2010
5133
5.6
13323
8.0
2011
6601
7.1
28552
15.8
2012
9356
9.6
38815
20.5
2013
11028
10.7
52962
25.1
2014
16456
14.7
70378
30.5
2015
19838
16.4
96139
37.9
2016
22980
18.5
122128
43.4
（上表摘自《2017中国统计年鉴》）
A．2008﹣2016年，我国高速铁路营业里程逐年增长
B．2008﹣2016年，我国高速铁路营业里程占铁路营业里程比重增长最多的是2016年
C．2008﹣2016年，我国高速铁路客运量逐年增长
D．到2017年，我国高速铁路客运量占铁路客运量比重有望基本达到或超过50%
8．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二〇二〇年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二〇二〇年国内生产总值和城乡居民人均收入比二〇一〇年翻一番（即二〇二〇年国内生产总值和城乡居民人均收入是二〇一〇年二倍），产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．
设从二〇一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%．下面给出了关于p的四个判断：①p的值大于100；②p的值是50；③p的值是20；④p的值是7.2．其中符合要求的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．分解因式：a3﹣ab2＝________．
10．已知．在数轴上，表示数x的点的右侧的第一个整数是________．
11．在平面直角坐标系xOy中，点A在第三象限，且在一次函数y＝x的图象上，写出一个符合条件的点A坐标_________．
12．现有几个学生合买一本书，每人出9元，会多出11元；每人出6元，又差16元．问：有几个学生，买这本书需要多少元？设有x个学生，买这本书需要y元，那么可列方程组为_________．
13．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是的中点．如果∠ABC＝60°，那么∠ADB＝　_______．

14．每年小明生日这一天，妈妈都会量一下他的身高并记录数据．现在小明学习了统计图，知道用扇形图、折线图、频数直方图可以直观、有效的描述数据，于是他想用统计图来描述这些年来自己的身高数据．上述三种统计图中，适合描述小明身高数据的是______．
15．在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各2个，这些球除颜色外，没有任何区别．现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．
16．画图、测量、填空
画一个半径为2cm的圆，画出角度分别为30°、45°、60°、90°、120°的圆心角，测量不同圆心角所对弦的长度，并填入下面的表格中．（数据保留一位小数）
半径
圆心角的度数
圆心角所对的弦长（cm）
2cm
30°
　 　
45°
　 　
60°
　 　
90°
　 　
120°
　 　
依据表格中的数据，当圆心角小于平角时，圆心角与它所对弦长之间的变化规律是________________．
三、解答题（本题共68分，第17-25题每题5分，第26题7分，第27-28题，每题8分）
17．（5分）计算：2sin60°﹣﹣（3﹣π）0+|﹣2|．
18．（5分）解不等式组，并求不等式组的所有整数解．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．

20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点M（2，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如果S△AMO＝S△AOB，求一次函数y＝ax+b的表达式．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求此时方程的根．
22．（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，点P在边AB上，沿着PC折叠纸片使B点落在边AD上的E点处，过点E作EF∥AB交PC于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）若tan∠BCP＝，AB＝3cm，求AE的长．

23．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若OD∥AB，BF＝24，OE＝5，求AD的长度．

24．（5分）家庭过期药品属于“国家危险废物”处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
设计调查方式：
（1）有下列选取样本的方法
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
其中最合理的一种是________．（只需填上正确答案的序号）
收集整理数据：
本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如下表：
处理
方式
A
继续使用
B
直接丢弃
C
送回收点
D
搁置家中
E
卖给药贩
F
直接焚烧
所占比例
8%
51%
10%
20%
6%
5%
描述数据：
（2）此次抽样的样本数为1000户家庭，请你绘制条形统计图描述各种处理过期药品方式的家庭数；

分析数据：
（3）根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？说明你的理由；
（4）家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有500万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
25．（5分）在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣“垂直四边形”．
定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形（如图1）．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对垂直四边形进行了研究．
下面是小聪的研究过程，请补充完整：
概念理解：
（1）根据垂直四边形的定义，在你学过的四边形中，满足垂直四边形的定义的是；（写出一种即可）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由．
性质探索：
（3）试探索垂直四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）　 　
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

26．（7分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（5，8），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数y＝x2+mx+n的图象在点C，D之间的部分（包含点C，D）记为图象G．已知直线l：y＝x+b，且直线l与图象G有两个公共点，请直接写出b的取值范围；
（3）在第（2）题的条件下，b取最大值时，将直线l向下平移，交抛物线于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），交线段BC于点M（x3，y3），结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

27．（8分）小明同学遇到两个数学问题：
问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．
问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．
（1）在探索问题一时，进行了以下操作：
依题意，列出方程x+＝1，
化简得x2﹣x+1＝0，
于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．
（2）在探索问题二时，进行了以下操作：
依题意，列出方程y﹣＝1，
变形得y＝1+＝1+＝1+＝1+
于是得到形如1+这样的数，我们称之为连分数．
如果设一条线段AB的长度设为1，点M是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为z，试将z表示为连分数的形式．
28．（8分）小文同学在一本数学读本中看到这样一句话：线段的垂直平分线可以看作是到线段的两个端点距离相等的点的集合．小文进行了以下操作：
①作线段AB和射线OM，
②在射线OM上选取一点N，满足ON＝AB，
③分别以点A和点B为圆心，ON为半径画弧，两弧的交点为P，
④当改变点N的位置，使得ON＞AB，重复操作③，得到一系列点P1，2，3，4…
这些点P1，2，3，4…和P就构成了线段AB的垂直平分线．
（1）按照上面的操作，画出两个点P1和P2，并证明直线P1P2垂直平分线段AB．
（2）在该数学读本中还有这样一句话：角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．仿照小文的思路，画出一个到∠AOB的两边距离相等的点，并写出详细的操作步骤．








参考答案
一、选择题
1．如图所示，AD，BE，CF分别是△ABC的角平分线，高线和中线，则下列求△ABC的面积正确的公式是（　　）

A． B．
C． D．S△ABC＝BE•CE
【分析】根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵BE是△ABC的高线，
∴求△ABC的面积正确的公式是S△ABC＝CA•BE．
故选：B．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，关键是熟练掌握三角形面积公式．
2．2018年1月11日，北京市举行“缓解交通拥堵，服务市民出行”新闻发布会，会议指出，2018年，在改善交通状况，缓解交通拥堵方面，北京市将把机动车保有量控制在6100000辆以内，中心城区路网交通指数控制在5.7左右．轨道交通运营里程增加到632公里以上，治理自行车道900公里，使绿色出行比例提高到73%．将6100000用科学记数法表示为（　　）
A．61×105 B．6.1×105 C．6.1×106 D．6.1×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：用科学记数法表示6100000，应记作6.1×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下面是四个手机APP的图标，其中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）
A．神州租车 B．中国移动 C．百度外卖 D．微信
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．
【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．
而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．
故选：D．
【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题．
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|+b＜0 D．a﹣b＞0
【分析】根据数轴得出﹣2＜a＜﹣1，b＞2，根据A.b的范围，即可判断每个式子的值．
【解答】解：A.∵根据数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，b＞2，
∴a+b＞0，故本选项正确；
B.∵根据数轴可知：a＜0，b＞2，
∴ab＜0，故本选项错误；
C.∵根据数轴可知a＜0，b＞2，
∴|a|＞0，
∴|a|+b＞0，故本选项错误；
D.∵根据数轴可知：a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了数轴和实数的应用，关键是能根据A.b的取值范围判断每个式子是否正确，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．
6．下列关于统计和概率知识的说法正确的是（　　）
A．为了搜集一个问题的数据，可以采取多种方式，如实验采集，问卷调查，查询资料等
B．只要是通过真实数据推断的结论都一定是可信的
C．只有通过平均数，众数，中位数难以做出推断时，才需要计算方差
D．概率很小的事件一定不会发生
【分析】直接利用概率的意义以及结合方差和数据的收集方式分别分析得出答案．
【解答】解：A.为了搜集一个问题的数据，可以采取多种方式，如实验采集，问卷调查，查询资料等，正确；
B.只要是通过真实数据推断的结论不一定是可信的，故此选项错误；
C.只有通过平均数，众数，中位数难以做出推断时，才需要计算方差，每种数据代表的不同意义，故此选项错误；
D.概率很小的事件一定不会发生，错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了概率的意义以及方差和数据的收集方式，正确把握相关定义是解题关键．
7．下表反映了我国高速铁路基本情况，根据统计表提供的信息，下列推断不合理的是（　　）
年份
营业里程
（公里）
占铁路营业
里程比重
（%）
客运量
（万人）
占铁路
客运量比重
（%）
2008
672
0.8
734
0.5
2009
2699
3.2
4651
3.1
2010
5133
5.6
13323
8.0
2011
6601
7.1
28552
15.8
2012
9356
9.6
38815
20.5
2013
11028
10.7
52962
25.1
2014
16456
14.7
70378
30.5
2015
19838
16.4
96139
37.9
2016
22980
18.5
122128
43.4
（上表摘自《2017中国统计年鉴》）
A．2008﹣2016年，我国高速铁路营业里程逐年增长
B．2008﹣2016年，我国高速铁路营业里程占铁路营业里程比重增长最多的是2016年
C．2008﹣2016年，我国高速铁路客运量逐年增长
D．到2017年，我国高速铁路客运量占铁路客运量比重有望基本达到或超过50%
【分析】根据统计表中的数据逐一判断即可得结论．
【解答】解：A．2008﹣2016年，我国高速铁路营业里程逐年增长，故正确；
B．2008﹣2016年，我国高速铁路营业里程占铁路营业里程比重增长最多的是2014年，故错误；
C．2008﹣2016年，我国高速铁路客运量逐年增长，故正确；
D．到2017年，我国高速铁路客运量占铁路客运量比重有望基本达到或超过50%，故正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查统计图表，统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格，统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
8．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二〇二〇年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二〇二〇年国内生产总值和城乡居民人均收入比二〇一〇年翻一番（即二〇二〇年国内生产总值和城乡居民人均收入是二〇一〇年二倍），产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．
设从二〇一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%．下面给出了关于p的四个判断：①p的值大于100；②p的值是50；③p的值是20；④p的值是7.2．其中符合要求的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据“城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%，到二〇二〇年国内生产总值和城乡居民人均收入比二〇一〇年翻一番“列方程即可得到结论．
【解答】解：∵城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%，到二〇二〇年国内生产总值和城乡居民人均收入比二〇一〇年翻一番，
∴（1+p%）10＝2，
解得：p＝7.2，
故选：D．
【点评】本题考查了命题于定理，正确的列出方程是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．分解因式：a3﹣ab2＝　a（a+b）（a﹣b）　．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
10．已知．在数轴上，表示数x的点的右侧的第一个整数是　1　．
【分析】先求出x＝，根据夹逼法可得0＜＜1，依此可求表示数x的点的右侧的第一个整数．
【解答】解：∵，
∴x＝，
∵0＜＜1，
∴表示数x的点的右侧的第一个整数是1．
故答案为：1．
【点评】考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
11．在平面直角坐标系xOy中，点A在第三象限，且在一次函数y＝x的图象上，写出一个符合条件的点A坐标　（﹣1，﹣1）　．
【分析】根据一次函数的性质和第三象限的特点解答即可．
【解答】解：∵点A在第三象限，且在一次函数y＝x的图象上，
∴x＝﹣1，y＝﹣1，
点A的坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）
【点评】此题考查一次函数图象上的点的特点，关键是根据一次函数的性质和第三象限的特点解答．
12．现有几个学生合买一本书，每人出9元，会多出11元；每人出6元，又差16元．问：有几个学生，买这本书需要多少元？设有x个学生，买这本书需要y元，那么可列方程组为　　．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解；设有x个学生，买这本书需要y元，根据题意可得：，
故答案为：，
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
13．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是的中点．如果∠ABC＝60°，那么∠ADB＝　60°　．

【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ADC的度数，进而解答即可．
【解答】解：∵点A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵点B是的中点．
∴∠ADB＝60°，
故答案为：60°
【点评】此题考查圆内接四边形，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠ADC的度数．
14．每年小明生日这一天，妈妈都会量一下他的身高并记录数据．现在小明学习了统计图，知道用扇形图、折线图、频数直方图可以直观、有效的描述数据，于是他想用统计图来描述这些年来自己的身高数据．上述三种统计图中，适合描述小明身高数据的是　折线图　．
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【解答】解：根据统计图的特点可知：为了反映小明这些年来身高的增长变化，应将小明的身高数据制作成折线统计图比较合适．
故答案为：折线图．
【点评】此题主要考查了统计图的应用，解题的关键是根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行判断．
15．在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各2个，这些球除颜色外，没有任何区别．现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是　　．
【分析】根据题意可以求得摸到红球的概率，本题得以解决．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各2个，
∴从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
16．画图、测量、填空
画一个半径为2cm的圆，画出角度分别为30°、45°、60°、90°、120°的圆心角，测量不同圆心角所对弦的长度，并填入下面的表格中．（数据保留一位小数）
半径
圆心角的度数
圆心角所对的弦长（cm）
2cm
30°
　1　
45°
　1.5　
60°
　2　
90°
　2.8　
120°
　3.5　
依据表格中的数据，当圆心角小于平角时，圆心角与它所对弦长之间的变化规律是　当圆心角增大时，弦的长度也增大　．
【分析】利用测量法即可解决问题；
【解答】解：通过画图测量可知：一个半径为2cm的圆，圆心角为30°、45°、60°、90°、120°所对弦的长度分别为1cm，1.5cm，2cm，2.8cm，3.5cm
依据表格中的数据，当圆心角小于平角时，圆心角与它所对弦长之间的变化规律是：当圆心角增大时，弦的长度也增大．
故答案为1，1.5，2，2.8，3.5，当圆心角增大时，弦的长度也增大．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是学会观察，学会利用测量法解决问题．
三、解答题（本题共68分，第17-25题每题5分，第26题7分，第27-28题，每题8分）
17．（5分）计算：2sin60°﹣﹣（3﹣π）0+|﹣2|．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算．
18．（5分）解不等式组，并求不等式组的所有整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，从而得出所有整数解．
【解答】解：原不等式组为，
解不等式①，得 x＞﹣2，
解不等式②，得 x≤1，
∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
所以不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．

【分析】依据在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，即可得到AD＝BD，进而得出∠A＝∠ABD，再根据∠A＝∠CED，即可得到∠ABD＝∠CED．
【解答】证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，
∴，．
∴AD＝BD．
∴∠A＝∠ABD，
∵DE⊥AC，
∴∠CED+∠C＝90°．
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CED，
∴∠ABD＝∠CED．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点M（2，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如果S△AMO＝S△AOB，求一次函数y＝ax+b的表达式．
【分析】（1）依据点M在反比例函数的图象上，即可得出反比例函数的表达式为．
（2）依据S△AMO＝S△AOB，即可得出B（0，﹣1），把B（0，﹣1），M（2，1）代入y＝ax+b，可得一次函数的表达式为y＝x﹣1．
【解答】解：（1）∵点M在反比例函数的图象上，
∴，
∴解得k＝2，
∴反比例函数的表达式为．

（2）∵S△AMO＝S△AOB，
∴，
∴|OB|＝1，
∴B（0，1）（舍）或B（0，﹣1），
把B（0，﹣1），M（2，1）代入y＝ax+b，可得
，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．求出反比例函数的解析式是解题的关键．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由k的取值范围可求得k的正整数值，代入方程求解即可．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即22﹣4（k﹣1）＞0，
∴k＜2；
（2）∵k为正整数，
∴k＝1，
此时方程为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
22．（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，点P在边AB上，沿着PC折叠纸片使B点落在边AD上的E点处，过点E作EF∥AB交PC于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）若tan∠BCP＝，AB＝3cm，求AE的长．

【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）根据折叠的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PC，
∴B点与E点关于PQ对称．
∴BP＝PE，BF＝FE，∠BPF＝∠EPF．
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP．
∴∠EPF＝∠EFP．
∴EP＝EF．
∴BP＝BF＝FE＝EP．
∴四边形BFEP为菱形．
（2）由折叠可知，∠BCP＝∠ECP．
∴．
∴，
∵∠PEC＝∠A＝∠D＝90°．
∴∠AEP+∠DEC＝90°，∠AEP+∠APE＝90°．
∴∠APE＝∠DEC．
∴△APE∽△DEC．
∴．
∵AB＝DC＝3cm，
∴AE＝1 cm．
【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定等知识；关键是根据折叠的性质和相似三角形的判定和性质解答．
23．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若OD∥AB，BF＝24，OE＝5，求AD的长度．

【分析】（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．只要证明OG＝OA即可解决问题；
（2）由△ABE∽△ODA，可得，想办法求出AE.BE即可解决问题；
【解答】解：（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．
∵AD∥BC，AE⊥BC于E，
∴OA⊥AD．
∴∠OAD＝∠OGD＝90°．
∵OD平分∠ADC，
∴OA＝OG．
∴DC是⊙O的切线．

（2）如图，连接OF．
∵OA⊥BC，
∴BE＝EF＝BF＝12．
在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，
∴OF＝＝13，
∴AE＝OA+OE＝13+5＝18．
∵OD∥AB，
∴∠BAE＝∠AOD．
∴△ABE∽△ODA，
∴，
∴，
∴．

【点评】本题考查相似三角形综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（5分）家庭过期药品属于“国家危险废物”处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
设计调查方式：
（1）有下列选取样本的方法
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
其中最合理的一种是　③　．（只需填上正确答案的序号）
收集整理数据：
本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如下表：
处理
方式
A
继续使用
B
直接丢弃
C
送回收点
D
搁置家中
E
卖给药贩
F
直接焚烧
所占比例
8%
51%
10%
20%
6%
5%
描述数据：
（2）此次抽样的样本数为1000户家庭，请你绘制条形统计图描述各种处理过期药品方式的家庭数；

分析数据：
（3）根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？说明你的理由；
（4）家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有500万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）用总数量分别乘以各处理方式的百分比求得其人数，据此即可补全统计图；
（3）由条形图即可得；
（4）用总户数乘以样本中C处理方式的百分比即可得．
【解答】解：（1）其中最合理的一种是③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取，
故答案为：③；

（2）A的数量为1000×8%＝80、B的数量为1000×51%＝510.C的数量为1000×10%＝100，
D的数量为1000×20%＝200、E的数量为1000×6%＝60、F的数量为1000×5%＝50，
补全图形如下：


（3）根据调查数据，利用样本估计总体可知，该市市民处理过期药品常见方式是直接丢弃；

（4）样本中直接送回收点为10%，根据样本估计总体，送回收点的家庭约为：500×10%＝50万户．
【点评】本题考查了频率分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是读懂频数分布直方图和利用统计图获取有关信息，在解题时必须认真观察、分析、研究统计图．
25．（5分）在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣“垂直四边形”．
定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形（如图1）．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对垂直四边形进行了研究．
下面是小聪的研究过程，请补充完整：
概念理解：
（1）根据垂直四边形的定义，在你学过的四边形中，满足垂直四边形的定义的是；（写出一种即可）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由．
性质探索：
（3）试探索垂直四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）　垂直四边形的两组对边的平方和相等．　
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（3）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
【解答】解解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂直四边形，
故答案为：菱形、正方形；

（2）四边形ABCD是垂直四边形．
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂直四边形；

（3）猜想结论：垂直四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°．
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2．
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2．
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
故答案为：垂直四边形的两组对边的平方和相等．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
26．（7分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（5，8），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数y＝x2+mx+n的图象在点C，D之间的部分（包含点C，D）记为图象G．已知直线l：y＝x+b，且直线l与图象G有两个公共点，请直接写出b的取值范围；
（3）在第（2）题的条件下，b取最大值时，将直线l向下平移，交抛物线于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），交线段BC于点M（x3，y3），结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；
（2）求得直线经过C和D两种情况求得b的值，据此判断b的范围；
（3）二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2，x1+x2＝4，0≤x3≤3，故4≤x1+x2+x3≤7．
【解答】解：（1）根据题意得：
解得：
二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3．
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；

（2）∵y＝x2﹣4x+3，
∴C（0，3）
∵直线l：y＝x+b＝x﹣b（x﹣1）．
∴当x﹣1＝0时，x＝2，y＝3，即直线l经过定点（2，3）．
当直线y＝x+b经过点D时，
根据题意得：8＝×5+b，
解得：b＝﹣，
∴；

（3）由题意b＝3，则直线l为：y＝3
∴PQ∥x轴，
∵二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2，
∴x1+x2＝4．
又∵0≤x3≤3
∴4≤x1+x2+x3≤7．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象的几何变换．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．
27．（8分）小明同学遇到两个数学问题：
问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．
问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．
（1）在探索问题一时，进行了以下操作：
依题意，列出方程x+＝1，
化简得x2﹣x+1＝0，
于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．
（2）在探索问题二时，进行了以下操作：
依题意，列出方程y﹣＝1，
变形得y＝1+＝1+＝1+＝1+
于是得到形如1+这样的数，我们称之为连分数．
如果设一条线段AB的长度设为1，点M是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为z，试将z表示为连分数的形式．
【分析】（1）先求出根的判别式△的值，由△＜0即可证明这个数不存在；
（2）设其中较短的线段的长度为z，则较长的线段的长度为1﹣z，根据黄金分割的定义列出方程＝，再变形即可．
【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
因为这个方程无解，所以这个数不存在；

（2）解：依据题意，得＝，
变形 得（1﹣z）2＝z，
展开，得z2＝3z﹣1，
∵z≠0，
∴两边同时除以z，得z＝3﹣，
∴z＝3﹣．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是较短线段和全线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．也考查了根的判别式以及学生的阅读理解能力．
28．（8分）小文同学在一本数学读本中看到这样一句话：线段的垂直平分线可以看作是到线段的两个端点距离相等的点的集合．小文进行了以下操作：
①作线段AB和射线OM，
②在射线OM上选取一点N，满足ON＝AB，
③分别以点A和点B为圆心，ON为半径画弧，两弧的交点为P，
④当改变点N的位置，使得ON＞AB，重复操作③，得到一系列点P1，2，3，4…
这些点P1，2，3，4…和P就构成了线段AB的垂直平分线．
（1）按照上面的操作，画出两个点P1和P2，并证明直线P1P2垂直平分线段AB．
（2）在该数学读本中还有这样一句话：角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．仿照小文的思路，画出一个到∠AOB的两边距离相等的点，并写出详细的操作步骤．

【分析】（1）利用基本作图画出点P1和P2，连结AP1.AP2.BP1.BP2，P1P2与AB相交于C，如图，先证明△AP1P2≌△BP1P2得到∠AP1P2＝∠BP1P2．再证明△AP1C≌△BP1C得到AC＝BC，∠ACP1＝∠BCP1从而可判断直线P1P2垂直平分线段AB；
（2）利用题中思路写作法．
【解答】解：（1）如图，点P1和P2为所作，
证明：连结AP1.AP2.BP1.BP2，P1P2与AB相交于C，如图，
在△AP1P2和△BP1P2中，

∴△AP1P2≌△BP1P2．
∴∠AP1P2＝∠BP1P2．
同理可证得△AP1C≌△BP1C．
∴AC＝BC，∠ACP1＝∠BCP1．
∴P1P2⊥AB，
∴直线P1P2垂直平分线段AB；
（2）作法为：①作∠AOB和射线OM，
②在射线OM上任意选取一点N，
③以点O为圆心，ON为半径画弧交OA.OB于C.D，
④在分别过点C.D作OA.OB的垂线，它们相交于点P．


【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．