素养拓展4 指数、对数、幂值的比较大小（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

这是一份素养拓展4 指数、对数、幂值的比较大小（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版，共24页。试卷主要包含了知识点梳理，放缩法等内容，欢迎下载使用。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）
一、知识点梳理



一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex(x∈R),x=eln⁡x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
常见指数、对数的同构函数有:
(1)y=xex与y=xln⁡x; (2)y=exx与y=xln⁡x;
(3)y=x+ex与y=ln⁡x+x; (4)y=ex−x与y=x−ln⁡x。
3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.

三、放缩法
1.ln⁡x⩽x−1(x>0)；ln⁡x⩾1−1x(x>0)
2.ex⩾x+1(x∈R)；ex>x>ln⁡x(x>0); (1−x)ex⩽1(x∈R)
3. sin⁡xb D．c>b>a
【答案】D
【分析】分别令fx=ex−1−xx>0、gx=ln1+x−xx>0、ℎx=ln1+x−x1+xx>0，利用导数可求得fx>0，gx0，由此可得大小关系.
【详解】令fx=ex−1−xx>0，则f'x=ex−1>0，
∴fx在0,+∞上单调递增，∴fx>f0=0，即ex−1>x，则e0.04−1>0.04；
令gx=ln1+x−xx>0，则g'x=11+x−1=−x1+x