重难点突破06 双变量问题（六大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

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重难点突破06 双变量问题
目录

破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

题型一：双变量单调问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
【解析】（1）当时，，，切点为
求导，切线斜率
曲线在处的切线方程为．
（2），的定义域为，求导，
在上单调递减．
不妨假设，∴等价于 ．
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意 ．
例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.
（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）的定义域是.
.
（1）当时，，的定义域内单增；
（2）当时，由得，.
此时在内单增，在内单减；
（3）当时，，的定义域内单减.
（Ⅱ）因为，所以，.
此时.
由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.
不妨设，
则，即，
即恒成立.
令，，则在内单减，即.
，，.
而，当且仅当时，取得最小值，
所以，故实数的取值范围是.
例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数
的取值范围.
【解析】（Ⅰ） （）
①当时，故在上单调递增；
②当时，故在上单调递减；
③当时，令解得  
则当时 ；
当时，故在上单调递减；在上单调递增；
综上所述：当时，故在上单调递增；
当时，故在上单调递减；
当时，在上单调递减；在上单调递增．                                     
（II）由（Ⅰ）知当时故在上单调递增；
对任意即
令因为
所以在上单调递增；所以 即在上恒成立  
故
令则又因为所以
>1 当且仅当时取等号，所以，
故不等式恒成立的条件是即.
所以，实数的取值范围为.
变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，且．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
将代入的解析式，得，
求导得．
当时，，故在上单调递增；
当时，令，得．
所以当时，，当时，，于是在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）当时，．
因为，所以不等式可化为，
所以对任意的恒成立，所以函数为上的减函数，
所以在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，令，得．
所以当上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得．
所以实数的取值范围为．
变式2．（2023·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得：定义域为，；
当时，，，在上恒成立，
在上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知：；
要证，只需证，即证；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
又，，即.
（3）不妨设，则由得：，
即，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，
即，又，；
令，则，
令，解得：（舍）或，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：；
的取值范围为.
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，当且仅当即“=”，则，在上单调递减，
当时，方程有两个正根为，，
当或时，，当时，，
于是得在、上单调递减，在上单调递增；
（2）因存在两个极值点，且，由(1)知，即，则，
显然，对是递增的，从而有，


，
令，
，
令，，
即在上单调递增，，则，于是得在上单调递增，
从而得，即，
所以的取值范围.
例5．（2023·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.
【解析】（1）若，则，所以，又，所以，即f（x）在点（1，0）处的切线斜率为2，所以切线方程为.
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），，设，其.
①当时，即时，，即，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.
②当时，即时，设两根为.
当时，，即，即f（x）的增区间为，.
当时，，即，即f（x）的减区间为.
综上：当时，f（x）的单增区间为；
当时，f（x）的增区间为
减区间为().
（3）由（2），
因为f（x）存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，
所以，则，所以，
所以

.
令，则，
∵，∴，∴在上单调递减，
∴，而，
即，∴.
例6．（2023·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
【解析】（1）∵，
，当时，，，在定义域上单调递增；
当时，在定义域上，
时，在定义域上单调递增；
当时，令得，，
，时，；时，
则在，上单调递增，在上单调递减.
综上可知：当时，在定义域上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.（其中，）
（2）由（1）知有两个极值点，则，
的二根为，
则，，

，
设，又，∴.
则，，
∴在递增，.
即的范围是
变式3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上是减函数．所以，
因为，
所以





，
令，则，
，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且，所以实数的取值范围为．
变式4．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个极值点，记,求的取值范围.
【解析】（1）的定义域为，对求导得：
，
令
1）若，则，即，所以在上单调递增.
2）若
①当时，即，则，即，所以在上单调递增.
②当时，即，由，得
当时，
当时，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时, 在上是单调递增的，
在上是单调递减的.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点 满足，
所以，
所以，
同理，

，
所以，
令，所以，
所以在上是单调递减的，在上是单调递增的
因为，且当，
所，所以 的取值范围是
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数，
可得，其中，
当时，即时，，所以在上单调递增；
当时，令，即，
解得，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在区间单调递减，在单调递增；
当时，令，即，
解得，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
（2）由（1）值，当时，函数存在两个极值点，且，
因为，
所以，
整理得，
所以，即，
因为，可得，
令，则，
所以在为单调递增函数，
又因为，所以当 时，，
即实数的取值范围为．
变式6．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，
①求a的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）当时，，
故，  
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，
即有两个不等实数根．                
由，得，
所以有两个不等实数根可转化为
函数和的图象有两个不同的交点，
令，则，
由，解得；由，解得；
所以在单调递增，在单调递减，
所以．
又当时，，当时，，
因为与的图象有两个不同的交点，所以．          
②由①可知有两个不等实数根，
联立可得，
所以不等式等价于
．
令，则，且等价于．
所以只要不等式在时成立即可．                
设函数，则，
设，则，
故在单调递增，得，
所以在单调递减，得．
综上，原不等式成立．
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
例7．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)若有两个不同的极值点，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：（……为自然对数的底数）.
【解析】（1）当时，()，则，
故当时，，当时，，
故的递减区间为，递增区间为，
极小值为，无极大值；
（2）(i)因为()，
令()，问题可转化函数有个不同的零点，
又，令，
故函数在上递减，在上递增，
故，故，即，
当时，在时，函数，不符题意，
当时，则，，，
即当时，存在，，
使得在上递增，在上递减，在上递增，
故有两个不同的极值点的a的取值范围为；
（ii）因为，，且，
令，则，，
又，
令，即只要证明，即，
令，
则，
故在上递增，且，所以，即，
从而，
又因为二次函数的判别式，
即，即，
所以在上恒成立，故.
例8．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
【解析】（1）∵，当且仅当时等号成立．
当时，恒有，则在上单调递增；
当时，，令，．
∵，∴方程有两个不相等的实数根，
∴，，显然，
∴当和时，；当时，．
∴当和时，，∴在和上单调递增；
当时，，∴在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，
∴，，∴，，
∴．
设，由（1）易知，∴．
要证明，
只要证明．
设，则，
∴当时，单调递增，从而，即，
∴成立，从而成立．
要证明，只要证明．
由（1）知，，，
只要证明．
设，
则，，
则当时，单调递增，从而；
则当时，单调递减，从而，
即成立，从而．
综上，得．
例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若存在两个极值点、，求实数的取值范围，并证明：．
【解析】（1）当时，，则，
，∴，
∴曲线在处的切线方程为，即．
（2）由题意知，
令，，
∵存在两个极值点，∴有两个零点，
易知，
当时，，在上单调递增，g(x)至多有一个零点，不合题意．
当时，由得，
若，则，单调递增；
若，则，单调递减．
要使有两个零点，需，解得．
当时，，∴在上存在唯一零点，记为．
∵，∴，，
设，则，令，，则，
∴在上单调递减，∴，即，
∴在上存在唯一零点，记为．
则，随的变化情况如下表：







﹣
0
﹢
0
﹣

↘
极小值
↗
极大值
↘
∴实数的取值范围是．
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴要证，只要证，
只要证，只要证，
又，∴只要证，即证．
设，，
则，
∴F(x)在时单调递增，
∴，
∴成立，即得证．
变式7．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.
【解析】（1）方法一：，.
设，则.
设，则，单调递减.
，当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
，
当时，方程有一解，当时，方程无解；
方法二：设，则.
设，则.单调递增
当时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
，方程有一解.
当时，.
令,
令，则在上单调递增，又
，则在上单调递减，
在上单调递增，则.
即，
无解，即方程无解.
综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．
（2）（i）当时，，则，
，是方程的两根.
设，则，
令，解得，在上单调递减，在上单调递增.
，，当时，，，.
由.
令，，，.
等价于.
设，，
则，
单调递增，，
，即，，
综上，；
（ii）由（i）知，，.


.
由（i）知，，
设，，则.
单调递减，，即.
.
设，，
则.
单调递增，又，当时，.
，，即命题得证.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，
且，
①当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，解得或，
令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，所以在上单调递增，
④当时，令，解得或，
令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）由，则的定义域为，
且，
若有两个极值点，，
则方程的判别式，
且，，解得，
又由，所以，即，
所以

，
设函数，其中，，
由得，又，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
即的最大值为，
从而恒成立．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若有两个极值点，求证：.
【解析】（1），
当时，f（x）递增区间为；
当m