考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共16页。试卷主要包含了平均变化率和瞬时变化率，导数定义的应用，导数的运算，导数的几何意义及应用，导数运算的综合，导数几何意义的综合应用等内容，欢迎下载使用。
考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类


考点一 平均变化率和瞬时变化率
考点二 导数定义的应用
考点三 导数的运算
考点四 导数的几何意义及应用
（一）切线的斜率与倾斜角
（1）求切线的斜率
（2）求切线的倾斜角
（二）求切线方程
（1）曲线在某点处的切线问题
（2）过某点的曲线的切线问题
（三）由曲线的切线（斜率）求参数
（四）由曲线的切线条数求参数
（五）两条切线平行、垂直问题
（六）两曲线的公切线问题
（七）距离最值问题
考点五 导数运算的综合
考点六 导数几何意义的综合应用



1. 导数的概念及其意义
(1)函数的平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx). 这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). 我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.
注：① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
(2)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.
(3) ①导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率. 也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0). 相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
② 导数物理意义：函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

(4)导函数的概念：当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数). y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′=
2. 导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝lnx
f′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
①函数和差求导法则：；
②函数积的求导法则：；
③函数商的求导法则：，则．

(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f(g(x)). 它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

3. 导数运算的原则和方法
（1）导数计算的原则：
先化简解析式，再求导．
（2）导数计算的方法：
①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导
⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
4. 曲线切线方程的求法：
①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f′(x)；求切线的斜率f′(x0)；写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化简；②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程. 求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
5. 已知斜率求切点：
已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
6. 利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
7. 求解与导数的几何意义有关问题的注意点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．　
8. 解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．　
注：处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

9. 导数的两条性质
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
(2)可导函数y＝f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f′(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的.
10. 几类重要切线方程
(1)y＝x－1是曲线y＝lnx的切线，y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，…，y＝x＋n是曲线y＝ln(x＋n＋1)的切线，如图1.

图1 　　图2
(2)y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2.
(3)y＝x是曲线y＝sinx与y＝tanx的切线，如图3.

图3 　　图4
(4)y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－的切线，如图4.
由以上切线方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等.


考点一 平均变化率和瞬时变化率
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．
2．（2023春·江西赣州·高三统考期中）向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ）

A． B．
C． D．
4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
5．（2023·全国·高三专题练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
6．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
7．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，
考点二 导数定义的应用
9．（2023·上海闵行·统考二模）_____________．
10．（2023春·江西·高三校联考期中）已知，则（    ）
A．1 B．3 C．6 D．9
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（    ）
A． B． C．10 D．20
12．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）已知函数，则__________.
13．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则__________.
14．（2023春·辽宁阜新·高三校联考阶段练习）已知函数，则______．
15．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知函数，若，则（    ）
A． B． C．1 D．2
考点三 导数的运算
16．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
18．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上的点向右平移个单位长度后得到点，且点恰好在的导函数的图象上，则（    ）
A． B． C． D．
考点四 导数的几何意义及应用

（一）切线的斜率与倾斜角
（1）求切线的斜率
19．（2023·全国·高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．e
20．（2023·全国·高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（    ）
A．2 B．-2 C．0 D．1
21．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线斜率为______.
（2）求切线的倾斜角
22．（2023·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则______．
23．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（    ）
A．2 B． C．1 D．
24．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
25．（2023·全国·高三专题练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为______．
27．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知点在函数的图象上，过点作曲线的两条切线，，若的倾斜角互补，则___________.
28．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在原点处的切线与在点处的切线的交点为P，则（    ）
A．2 B． C． D．
（二）求切线方程
（1）曲线在某点处的切线问题
29．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）牛顿最早研究过函数的图像与性质，其图像类似于三叉戟，因此这类曲线被称为牛顿三叉戟曲线.牛顿三叉戟曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
30．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
31．（2023·青海西宁·统考一模）若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
32．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ）
A． B． C． D．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（         ）
A． B． C． D．
34．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
（2）过某点的曲线的切线问题
35．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.
36．（2023·全国·模拟预测）若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（    ）
A． B． C．或 D．或
37．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.
39．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线有（    ）条
A． B． C． D．
40．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
41．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知曲线在处的切线为m，则过点且与切线m垂直的直线方程为__________．
（三）由曲线的切线（斜率）求参数
42．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在处的切线的斜率为，则______.
43．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一条切线为，则a＝______
44．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知直线与曲线相切，则k=___________.
45．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ）
A． B． C． D．1
46．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（    ）
A． B． C． D．
47．（2023·陕西·统考二模）已知曲线在处的切线方程为，则_________，_________．
48．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．
（四）由曲线的切线条数求参数
49．（2023·河南开封·开封高中校考一模）已知函数，无论a取何值，曲线均存在一条固定的切线，则该切线方程为________．
50．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
51．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.
52．（2023·全国·高三专题练习）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ）
A． B． C． D．
53．（2023·广东·统考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为______．
54．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.
55．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
（五）两条切线平行、垂直问题
56．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
57．（2023·全国·高三专题练习）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ）
A． B．1 C． D．2
58．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则___．
59．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ）
A． B． C． D．
60．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
61．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．
（六）两曲线的公切线问题
62．（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
63．（2023·全国·高三专题练习）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
64．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
65．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
66．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
67．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
68．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（    ）
A． B． C．0 D．1
（七）距离最值问题
69．（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
70．（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ）
A． B．
C． D．
71．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（    ）
A． B．4 C． D．8
72．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（    ）
A． B．8 C．4 D．16
73．（2023·河南开封·统考二模）已知函数，且，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
74．（2023·全国·高三专题练习）若点，，则、两点间距离的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
75．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是（    ）
A． B． C． D．1
76．（2023·全国·高三专题练习）曲线与的公共切线的条数为________．
77．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．
考点五 导数运算的综合
78．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）二项展开式，则___________.
79．（2023·江西·统考模拟预测）已知，则等于___________.
80．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为__________.
考点六 导数几何意义的综合应用
81．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，若该抛物线上任意一点P处的切线斜率与直线PF的斜率之积为1，则这条切线的倾斜角为______
82．【多选】（2023·全国·校联考二模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，则下列说法正确的是（    ）
A．若直线的倾斜角为，则 B．点在直线上
C． D．的最小值为
83．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
84．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．