考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共21页。试卷主要包含了函数的奇偶性及其应用，函数的周期性及其应用，类周期函数，函数的对称性及其应用，函数性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。
考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5种常见考法归类

考点一 函数的奇偶性及其应用
（一）函数奇偶性的判断
（二）抽象函数的奇偶性
（三）函数奇偶性的应用
（1）已知函数的奇偶性求函数值
（2）局部奇偶函数
（3）已知函数的奇偶性求解析式
（4）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
（5）应用奇偶性画函数图象
（6）利用函数的奇偶性求最值
考点二 函数的周期性及其应用
考点三 类周期函数
考点四 函数的对称性及其应用
考点五 函数性质的综合应用
（一）函数的单调性与奇偶性结合
（二）函数的奇偶性与周期性结合
（三）函数的单调性与对称性结合
（四）函数单调性、奇偶性和周期性结合
（五）函数单调性、奇偶性和对称性结合
（六）函数奇偶性、周期性和对称性结合
（七）函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性结合


1、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
注：
①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x)
②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x)
③判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
④常用的两个等价关系
①f(x＋a)为偶函数⇔f(－x＋a)＝f(x＋a)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②f(x＋a)为奇函数⇔f(－x＋a)＝－f(x＋a)⇔f(x)的图象关于点(a，0)对称.
⑤由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
⑥对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
(i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
⑦奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要）
若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.
⑧若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
⑨利用性质法来判断奇偶性(共同定义域上)
（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）：
奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；偶函数奇函数=非奇非偶函数
记忆口诀：加减看自身
奇函数奇函数偶函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数偶函数奇函数
；
记忆口诀：乘除看正负
（注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号）
⑩复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.


2、熟记常见函数的奇偶性

奇函数
偶函数
幂函数= 非零常数可看成偶函数


或
具体如：


或





或
（也可以写成或）
具体如：

；




与都是偶函数




3、判断函数奇偶性的方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　
4、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解；
(2)求函数解析式：利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式；
(3)求解析式中的参数值：
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．　
(4)应用奇偶性画图象和判断函数单调性
①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．
②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．
2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
（5）利用函数的奇偶性求最值
①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则
②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。

5、函数的单调性与奇偶性相结合
（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．
（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解．　


6、函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。
周期函数f(x)满足的条件
周期

a
f(x＋a)＝f(x－a)
2a
f(x＋a)＝－f(x－a)
4a
f(x＋a)＝－f(x)
2a

2a

2a
关于直线x＝a与x＝b对称或
2|b－a|
偶函数，关于直线x＝a对称或
2a
关于点(a,0)与点(b,0)对称或
2|b－a|
奇函数，关于对称或

关于直线x＝a与点(b,0)对称或
4|b－a|
奇函数，关于直线x＝a对称或
4a
偶函数，关于对称或
4a

4a




7、周期性的应用
（1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
（2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
（4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。

8、类周期函数
（1）类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．

类周期函数图象倍增函数图象
（2）倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．

9、抽象函数图象的对称性
函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称. 函数图象的对称性主要包括函数图象自身的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称).
(1)一个函数的自对称
①轴对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称.
(2)两个函数的互对称
①轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称. 推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称. 推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
③函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
④互为反函数的两个函数关于直线对称。

10、函数的对称性常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(4)若，则函数关于点对称．

11、函数的的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a