2023长沙周南中学高一上学期新生入学摸底测试数学试题含解析

2022年周南中学高一新生入学摸底考试

数学试题

时间90分钟，分值120分  姓名__________考生号__________

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，张打印纸约厚，因此，一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法可表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用科学记数法求解即可.

【详解】数据“”用科学记数法可表示为.

故选：D.

2. 在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】根据无理数的定义可得答案.

【详解】在，，，，2022这五个数中，无理数为，，

共有两个.

故选：A.

3. 如图，这个组合几何体的左视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】根据组合体直观图可知，几何体下面是长方体，长方体的左上方是圆柱，

故左视图下面是矩形，左上方是矩形.

故选：A

4. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二次根式运算，逐项判断作答.

【详解】对于A，与不是同类二次根式，不能进行加减运算，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：C

5. 世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别求在4G网络峰值速率下传输500兆数据的时间和在5G网络峰值速率下传输500兆数据的时间， 从而得解.

【详解】设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，

则在4G网络峰值速率下传输500兆数据需要秒，

5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在5G网络峰值速率下传输500兆数据需要秒，

而5G网络比4G网络快45秒，所以.

故选:A.

6. 已知一组数据5，5，6，6，6，7，7，则这组数据方差为（    ）

A.  B.  C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均数、方差公式求解即可.

【详解】将数据从小到大排列：.

平均数，

方差为，故A正确.

故选：A

7. 下列说法正确的是（    ）

A. 海底捞月是必然事件

B. 明天的降雨概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨

C. 为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查

D. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定

【答案】D

【解析】

【分析】利用事件、概率意义判断AB；利用抽样、方差的意义判断CD作答.

【详解】对于A，海底捞月是不可能事件，A错误；

对于B，概率反映的是事件发生的可能性大小，明天的降雨概率为，说明明天降雨的可能性为，B错误；

对于C，长沙市的初中学生很多，采用全面调查比较困难，适合抽样调查，C错误；

对于D，由于，则乙的射击成绩比甲稳定.

故选：D

8. 已知点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出、、的值即可作答.

【详解】由点、、在反比例函数的图象上，得，

所以.

故选：A

9. 如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标.

【详解】作关于轴的对称点，

作关于的对称点，

连接交轴于，交于，所以，

此时周长最小，即，

由，直线方程为，所以，解得，

所以，可得直线方程为，即，

由，解得，所以，

令可，所以.

故选：C.

10. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，若，，则下列结论：①，②，③，④.其中结论正确的有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质根据角平分线的定义可得，从而可得为等边三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据角的和差即可判断①；根据三角形中位线定理即可判断②；根据，利用平行四边形的面积公式即可判断③；先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可得的长，然后根据即可判断④．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，

，

平分，

，

为等边三角形，

，，

，

，

，

又，

，结论①正确；

，

，结论②正确；

，

，

，结论③正确；

在中，，

，

在中，，

，结论④正确；

综上，结论正确的有4个，

故选：D．

11. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的开口可得，与轴的交点在下方可得，抛物线的对称轴可得可判断①；设，，由可得，从而，可判断②③④.

【详解】因为抛物线的开口向上，所以，与轴的交点在下方，所以，

抛物线的对称轴是，可得，所以，故①错误；

设，，抛物线对称轴是，

即，可得，

因为，所以，可得，

所以，即，

所以，故②正确；

可得，故③正确；

因为，若为任意实数，

则，故④正确.

故选：C.

12. 如下图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形，四边形，四边形均为正方形，，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，若，，则的长为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，根据给定图形，用表示出，，，再利用勾股定理列式计算作答.

【详解】由，设，，

因为四边形，四边形，四边形均为正方形，

则，，

，又，，是某个直角三角形的三边，即，

因此，即，而，解得，

所以.

故选：B

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 因式分解：__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用提公因式法、公式法分解因式作答.

【详解】.

故答案为：

14. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线__________.

【答案】

【解析】

【分析】由圆锥的底面半径求出底面周长，再利用锥体的侧面展开图的弧长，可求得圆锥的母线.

【详解】设圆锥的底面半径为，扇形的圆心角为，可得圆锥底面周长为，

圆锥的母线为,该圆锥的侧面展开图弧长为解得.

故答案为：.

15. 已知，则__________.

【答案】6或2

【解析】

【分析】利用指数幂的运算和多项式相等可得答案.

【详解】因为，

所以，解得，或，

则，或.

故答案为：6或2.

16. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为__________.

【答案】且

【解析】

【分析】分析可知，解方程得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，解之即可.

【详解】对于方程，有，可得，

由可得，

因为关于分式方程的解为负数，

则，解得且.

故答案为：且.

17. 代数式的一切可能值为__________.

【答案】，0，2

【解析】

【分析】分、、讨论去绝对值可得答案.

【详解】由已知，，

当时，；

当时，；

当时，.

故答案为： .

18. 如图①，在边长为4的正方形中，以点为圆心，长为半径作，为上一动点，过点作所在圆的切线，交于点，交于点.

（1）图①中的周长等于__________.

（2）如图②，分别延长、，延长线相交于点，设的长为，的长为，则与之间的函数表达式_________________________.

【答案】    ①. 8    ②.

【解析】

【分析】根据过圆外一点的切线长相等可得的周长；连接、，过点作于点，判断出可得，再由可得与之间的函数表达式.

【详解】四边形是正方形，

，，

切所在圆于点，切所在圆于点，

又切所在圆于点，，，

的周长；

如图，连接、，过点作于点，

则易得四边形为矩形，

，，，

在和中，，

，，

四边形是正方形，，，

，.

在中，，

，即.

故答案为：①8；②.

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手.某公司用甲，乙两种货车向某市运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表：

（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；

（2）目前有46.4吨物资要运输到该市，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用.

【答案】（1）甲乙分别能运输5吨和3.5吨   

（2）甲货车8辆，乙货车2辆

【解析】

【分析】（1）设甲乙每次满载分别能运输吨和吨物资，根据已知数据列方程组求x、y即可；

（2）设甲货车辆，乙货车辆，结合（1）及已知有，求，进而确定最节省费用的车辆安排.

【小问1详解】

设甲、乙两种货车每次满载分别能运输吨和吨物资，

根据题意得，解得，

答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资.

【小问2详解】

设安排甲货车辆，乙货车辆，

根据题意得，解得，为整数，则或9或10，

因为甲种货车的费用大于乙种货车的费用，所以甲种货车数量最小时最节省费用，

当时，最小费用（元），

答：该公司应安排甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用.

20. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长.

（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度.（用含，，的代数式表示）

（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度.

【答案】（1）米   

（2）3.8米.

【解析】

【分析】（1）利用在中，可得；

（2）由得，由得，从而求出，可得答案.

【小问1详解】

如图：

由题意得：米，米，，，

在中，（米），

米，

灯杆的高度为米；

【小问2详解】

由题意得：米，米，

，

，，

，，

，，

，，

，米，

，米，灯杆的高度为3.8米.

21. 如图，的直径，弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点，连接，.

（1）由，，围成的曲边三角形的面积是多少？

（2）求证：是的切线；

（3）求线段的长.

【答案】（1）；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）连接，利用给定条件，证明，再计算扇形面积和三角形面积作答.

（2）证明，再利用切线的判定推理作答.

（3）过作，再借助相似三角形求解作答.

【小问1详解】

连接，由的直径，得，又的平分线交于，

则，即，扇形面积，

所以由，，围成的曲边三角形的面积.

  【小问2详解】

由（1）知，而，则，

所以是的切线.

【小问3详解】

由（1）知，又，，则，

过点作于点，由（1）（2）知，四边形是正方形，即，

又，则，

于是，即，所以.

22. 已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，该抛物线的顶点为.

（1）求点、的坐标以及的值.

（2）证明：点在以为直径的圆上.

（3）在抛物线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）点，点，；   

（2）证明见解析；    （3）存在，点坐标为.

【解析】

【分析】（1）将点的坐标代入，再解方程作答.

（2）利用两点间的距离公式，结合勾股定理推理作答.

（3）设出直线所对函数解析式，再利用等面积法求解作答

【小问1详解】

将点代入得：，则抛物线的解析式为：，

而抛物线与轴交于、两点，由，解得或，

所以点，点.

【小问2详解】

由（1）知，即点，而点，点，

则，，，

因此，即有，

所以点在以为直径的圆上.

【小问3详解】

设直线与的交点为，如图，

由直线把分成面积相等的两部分，得，

而和是等高的两个三角形，即有，点是的中点，

由点，点，得点坐标为，

设直线解析式为，把点、点得坐标代入得，解得，

于是直线解析式，而点是直线与抛物线的交点，

则由解得：或，

显然点与不重合，即点的横坐标不为0，当时，，

所以点坐标为.

23. 如图，在半径为3的圆中，、都是圆的半径，且，点是劣弧上的一个动点（点不与点、重合），延长交射线于点.

（1）如果设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；

（2）当时，点在线段上，且，点是线段上一点，射线与射线交于点，如果以点、、为顶点的三角形与相似，求的值.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）连接，，过点作于点，利用相似三角形性质求出解析式，再由点C的位置求出定义域作答.

（2）利用相似三角形性质求出，结合（1）的信息，及相似三角形性质求解作答.

【小问1详解】

连接，，过点作于点，如图2，

由，，得，，

又，则，而，即，于是，

又，因此，即，

由点是劣弧上的一个动点（点不与点、重合），得，

而，即，

所以关于的函数解析式为，定义域为.

【小问2详解】

如图，

当时，由（1）知，，

由，，得，，，

由，得，而，则，

因此，则，即，解得，，