2023年山东省泰安市泰山区博文中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市泰山区博文中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算结果，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住亩耕地红线将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某校举行“弘扬传统文化”诗词背诵活动，为了解学生一周诗词背诵数量，随机抽取名学生进行一周诗词背诵数量调查，依据调查结果绘制了折线统计图下列说法正确的是(    )

A. 一周诗词背诵数量的众数是
B. 一周诗词背诵数量的中位数是
C. 一周诗词背诵数量从到首人数逐渐下降
D. 一周诗词背诵数量超过首的人数是

7.  不等式组的非负整数解有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点，，垂足为，连接，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，，以为直径作圆，交斜边于点，为上一动点连接，则下列结论中不一定正确的是(    )

A. 当时，则
B. 时，则四边形为正方形
C. 当平分时，则
D. 当为中点时，是等腰三角形

12.  如图，在直角坐标系中，的半径为，圆心坐标为，轴上有点，点是上的动点，点是的中点，则的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  ______ ．

14.  如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”如图所示，“优美长方形”的周长为，则正方形的边长为          ．

 

15.  关于的一元二次方程有一个根是，则的值是______．

16.  如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，其中、、为格点，作的外接圆，则的长等于______．

17.  如图，菱形边长为厘米，，点为的中点，点是边上任一点，把沿直线折叠，点落在图中的点处，当______厘米时，是直角三角形．

18.  如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，若，，都为等腰直角三角形，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中，满足．

20.  本小题分
为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长单位：的一组数据，将所得数据分为四组：；：；：；：，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
本次一共抽样调查了______名学生．
求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数．
将条形统计图补充完整．
若该校共有名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．

21.  本小题分
三湘都市报华声在线月日讯，在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中从隧道中运输挖出土方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多立方米，大货车运立方米与小货车运立方米车辆数相同．
求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？
总共有大小货车共辆，每天需运出立方米泥土，大小货车各需要多少辆？

22.  本小题分
已知：如图，双曲线与直线交于、两点，将直线向下平移个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点，点是轴上一动点．
求双曲线和直线的函数表达式；
连接，当点是线段中点时，求的值．

23.  本小题分
如图，菱形中，是对角线上的点，点在上，且．
求证：；
写出与之间的数量关系，再说明理由．

24.  本小题分
如图，抛物线经过、、三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点，交于点．
求抛物线所对应的函数表达式；直接写出直线的表达式；
当时，求点的坐标；
以为对角线，作菱形，使点在的右边，且，求点与轴的最大距离．

 

25.  本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．
【尝试应用】
如图，在的条件下，连结，若，，，求的值．
【拓展提高】
如图，在▱中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点若，平分，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、；
B、；
C、；
D、，

故选：．
利用有理数的运算法则把数化为最简，比较大小即可得到结果．
本题考查有理数的比较，熟记有理数的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方的运算法则对选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据立方根对选项进行判断；根据特殊角的三角函数值对选项进行判断．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了幂的乘方与积的乘方．
 

3.【答案】 

【解析】解：   ，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为出现了次，出现的次数最多，所以一周诗词背诵数量的众数是，故选项A错误，不符合题意；
一周诗词背诵数量最中间的两个数字都为，所以该组数据的中位数为，故选项B正确，符合题意；
从折线图可以看出，一周诗词背诵数量从到首人数逐渐下降，从到首人数逐渐上升，从到首人数逐渐下降，故选项C错误，不符合题意；
一周诗词背诵数量超过首的人数是，故选项D错误，不符合题意．
故选：．
从折线图统计中获取信息，通过折线统计图和中位数、众数的定义等知识求解．
本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的所有非负整数解是：，，，，，共个，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，交于点．
四边形是菱形，
，
，，．
在中，
，，
．


．
．


．
故选：．
连接，利用菱形的性质和直角三角形的边角间关系先求出，再求出，最后求出橡皮筋被拉长了多少．
本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握“菱形的边相等、菱形的对角线互相垂直平分、菱形的一条对角线平分一组对角”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了四点共圆的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题，根据四点共圆的性质得：，由垂径定理得：，则．
【解答】
解：如图，

、、、四点共圆，
，
，
，
，
延长交于点，
，
，
．
故选C  

10.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图如图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况共有种，
这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为．
故选：．
利用树状图把两名同学体验岗位所有可能的情况都表示出来，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了列表法与画树状图法求概率，利用列表或树状图把所有可能的情况都表示出来，再求出所关注的情况数，最后利用概率公式求出．
 

11.【答案】 

【解析】解：为圆心角，为同弧所对的圆周角，
，
的结论正确；
，
，
只有当时，四边形为正方形，
的结论不一定成立；
过点作，垂足为，如图，
平分，，，
．
，
，
即点与点重合，
，
在和中，
，
≌，
．
选项的结论正确；
为圆的直径，
，
，
为中点，
为斜边上的中线，
，
是等腰三角形，
选项的结论正确．
故选：．
利用直角三角形的性质，圆周角定理，正方形的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，利用正方形的性质对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，在轴上取点，连接，，

点，，点，
，，
在中，，
点是的中点，
，
，，
，
当点在线段上时，的长度取得最小值，
当点在线段的延长线上时，的长度取得最大值，
，
故选：．
如图，在轴上取点，连接，，由勾股定理可求，由三角形中位线定理可求，当点在线段上时，的长度取得最小值，当点在线段的延长线上时，的长度取得最大值，即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，三角形中位线的定理，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
先化简二次根式，然后先算小括号里面的，再算括号外面的．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，利用长方形的周长计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，再将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
依题意得：，
解得：，
所以，
即正方形的边长为．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：或，
当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则的值为．
故答案为：．
把代入方程计算，检验即可求出的值．
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接．

每个小方格都是边长为的正方形，
，，，
，，
，
为的直径，为等腰直角三角形，
，
，
，
的长为：，
故答案为：
根据勾股定理分别计算出，，，从而得到，，根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆周角定理可得为的直径，由、、长可推导出为等腰直角三角形，连接，得出，计算出的长就能利用弧长公式求出的长了．
本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形．
 

17.【答案】或 

【解析】解：菱形边长为厘米，点为的中点，
厘米，
由翻折可知：
，
，
当时，
，
，
，
，
，
，
厘米；
当时，
点落在菱形对角线上，
点为的中点，为折痕，
此时于点，
点为的中点，
厘米．
所以当或厘米时，是直角三角形．
故答案为：或．
根据题意分两种情况讨论：当时，根据菱形的性质可得，进而可得的值；当时，点落在菱形对角线上，根据点为的中点，为折痕，此时于点，可得为的中点，进而可得的值．
本题考查了翻折变换、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

18.【答案】 

【解析】解：作轴，轴，垂足分别为、．
、都是等腰直角三角形，
，E.
设，则，将其代入解析式得：
，
解得：不符合题意或，
，
，
过作，设点，
可得，，
又点在抛物线上，所以，
，
解得，不合题意舍去，
，
，
，
同理可得：
，
，
  ，
，
，
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的底边长，用类似的方法求出第二个，第三个的底边长，观察其规律，最后得出结果．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，抛物线的解析式的运用等多个知识点，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
，
，
原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出、的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
表示组的扇形圆心角的度数为；
组人数为名，
补全图形如下：

名．
答：估计该校最近两周有名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．
由组人数及其所占百分比求出总人数；
用乘以组人数所占比例即可；
根据总人数求出组人数，从而补全图形；
用总人数乘以睡眠时长大于或等于人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
 

21.【答案】解：设小货车每辆运方，则大货车每辆运方，
依题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解．
则大货车为：方．
答：小货车每辆运输方，大货车每辆运输方；
设小货车有辆，则大货车有辆．
依题意得：，
解得：，
则大货车为辆．
答：大货车需要辆，小货车需要辆． 

【解析】设小货车每辆运方，则大货车每辆运方，根据大货车运立方米与小货车运立方米车辆数相同，列出方程计算即可求解；
设小货车有辆，则大货车有辆，根据每天需运出立方米泥土，列出方程计算即可求解．
考查了分式方程的应用和一元一次方程的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程．
 

22.【答案】解：将分别代入与，
解得，，
双曲线和直线的函数表达式分别为和．
设平移后的解析式为，
连接，当点是线段中点时，过点作轴交于点，过作轴交于点，

设点，是线段中点，
的坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
点，
将的坐标代入中，解得． 

【解析】利用待定系法将点的坐标代入即可解答；
点在轴上设点，过点作轴交于点，过作轴交于点，利用中点坐标公式，可表示点坐标，代入反比例函数解析式求解，再利用待定系数法即可求得函数解析式．
本题考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握性质是解题关键．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：．
理由：在菱形中，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】先证出≌，得，由于，得；
证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记菱形的性质确定出是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过、、三点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，把、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
点为抛物线上第一象限内的一个动点，
，
交于点，
，
，
由两点间距离公式得：，
，
，
解得：舍去或，
；
如图，设与交于点，

四边形是菱形，
，，
，，
，
，
在中，，
，
点的横坐标为，
，
当时，点的横坐标的最大值为，
即点与轴的最大距离为． 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线的解析式；
由题意得，再由两点间距离公式可得，根据，建立方程求解即可得出答案；
设与交于点，由题意得，，根据菱形性质可得，，进而可得，，根据解直角三角形可得，得出点的横坐标为，再运用二次函数的性质可得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，锐角三角函数的定义，两点间距离公式的应用等，第问得出点的横坐标为是解题关键．
 

25.【答案】证明：，
∽，∽，
，，
，
，
；
解：，，
，
，
∽，
；
解：延长交于，连接，过点作于，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，∽，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论；
根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
延长交于，连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．