专题7.9 期末专项复习之平面图形的认识（一）十六大必考点-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版）

这是一份初中数学苏科版七年级上册本册综合练习题，文件包含专题79期末专项复习之平面图形的认识一十六大必考点举一反三苏科版原卷版docx、专题79期末专项复习之平面图形的认识一十六大必考点举一反三苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共117页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc31557" 【考点1 直线、射线、线段的条数】 PAGEREF _Tc31557 \h 1
\l "_Tc4088" 【考点2 双中点线段问题】 PAGEREF _Tc4088 \h 2
\l "_Tc9054" 【考点3 线段的等分点问题】 PAGEREF _Tc9054 \h 3
\l "_Tc14492" 【考点4 线段动点的定值计算】 PAGEREF _Tc14492 \h 4
\l "_Tc32451" 【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】 PAGEREF _Tc32451 \h 6
\l "_Tc32280" 【考点6 剪绳子(端点重合)问题】 PAGEREF _Tc32280 \h 7
\l "_Tc8299" 【考点7 动点中线段和差问题】 PAGEREF _Tc8299 \h 8
\l "_Tc22379" 【考点8 线段的长短比较】 PAGEREF _Tc22379 \h 9
\l "_Tc7092" 【考点9 时针和分针重合次数与时间】 PAGEREF _Tc7092 \h 10
\l "_Tc2409" 【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】 PAGEREF _Tc2409 \h 11
\l "_Tc27979" 【考点11 线段、角的规律问题】 PAGEREF _Tc27979 \h 13
\l "_Tc25746" 【考点12 角度的翻折问题】 PAGEREF _Tc25746 \h 14
\l "_Tc22572" 【考点13 两块三角板旋转问题】 PAGEREF _Tc22572 \h 16
\l "_Tc27262" 【考点14 射线旋转与角度的关系】 PAGEREF _Tc27262 \h 18
\l "_Tc16342" 【考点15 余角、补角、对顶角的性质】 PAGEREF _Tc16342 \h 20
\l "_Tc24535" 【考点16 平行、垂直】 PAGEREF _Tc24535 \h 22
【考点1 直线、射线、线段的条数】
【例1】（2022·辽宁锦州·七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为 ______．
【变式1-1】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有AB，AC，AD3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但AB和BA是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角∠AOB内部画2条射线OC，OD，则这个图形中总共有______个角；若在∠AOB内部画n条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
【变式1-2】（2022·北京通州·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_____条．
【变式1-3】（2022·黑龙江·抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点2 双中点线段问题】
【例2】（2022·福建泉州·七年级期末）在一条直线上依次有E、F、G、H四点．若点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，则有（ ）
A．EF=GHB．EG>GHC．GH>2FGD．FG=12GH
【变式2-1】（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a−16)2+|2b−8|=0，求a，b的值；
(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，
【变式2-2】（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．
(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；
(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．
【变式2-3】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有A，B，C三点，AB=8cm，AC=18cm，点P，Q分别是AB，AC的中点，则PQ=______．
【考点3 线段的等分点问题】
【例3】（2022·吉林白城·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为－10，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t＞0）秒，解答下列问题．
（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；
（3）点P追上点Q时，求t的值；
（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为 ．
【变式3-1】（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若CB=2，则线段AB的长为______．
【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝43AB．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝ _______；
（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．
①当点D在线段AB上运动，求ADCE的值；
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．
【变式3-3】（2022·辽宁锦州·七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，则MN＝___________；
【考点4 线段动点的定值计算】
【例4】（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足a+1+b−32=0．
(1)如图1，求线段AB的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=12x−2的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM−2BN的值不变；②PM−23BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．
【变式4-1】（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，
(1)数轴上点P表示的数为__________（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，AP=2BP？
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
【变式4-2】（2022·江苏·南京市科利华中学七年级阶段练习）【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dACAB=n．
例如，点C是AB的中点时，即AC=12AB，则dACAB=12；
反之，当dACAB=12时，则有AC=12AB．
因此，我们可以这样理解：“dACAB=n”与“AC=nAB”具有相同的含义．
【理解与应用】
(1)如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则dACAB=________；
若dACAB=23，则AC=________AB．
【拓展与延伸】
(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m⋅dAPAB+dAQAB的值是个定值，则m的值等于________；
②t为何值时，dAQAB−dAPAB=15．
【变式4-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】
【例5】（2022·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDAB＝ ．
【变式5-1】（2022·广西河池·七年级期末）如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点A表示的数为−3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；
(2)若点A，B分别表示−2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．
(3)若AM=14AB，N是数轴上的一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．
【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB的值．
【考点6 剪绳子(端点重合)问题】
【例6】（2022·全国·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段AB，在线段AB取一点P，使AP=13PB，从P处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24cm，则绳子的原长为（ ）
A．32cmB．64cmC．32cm或64cmD．64cm或128cm
【变式6-1】（2022·全国·七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）
A．37B．36C．35D．34
【变式6-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．
【变式6-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′,B′处．
①如图2，若A′,B′恰好重合于点O处，MN= cm，
②如图3，若点A′落在B′的左侧，且A′B′=20cm，求MN的长度；
③若A′B′=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B′处，在重合部分B′N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
【考点7 动点中线段和差问题】
【例7】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式(a+10)x3+20x2−5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长；
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．
【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在直线AB上，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当PM=10时，PN= ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当PM=2PN时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【变式7-2】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动（点C在点B右侧），总保持BC=n（n大于0且小于4.5），设点B表示的数为m．
(1)如图，当动点B，C在线段OA上移动时，
①若n=2，且B为OA中点时，则点B表示的数为__________，点C表示的数为__________；
②若AC=OB，求多项式6m+3n−40的值；
(2)当线段BC在射线AO上移动时，且AC−OB=12AB，求m（用含n的式子表示）．
【变式7-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
【考点8 线段的长短比较】
【例8】（2022·陕西·延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则( )
A．AB＜CDB．AB＞CDC．AB＝CDD．以上都有可能
【变式8-2】（2022·浙江·衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知AC=BD，则AB与CD之间的大小关系是( )
A．AB>CD.B．AB=CD.C．AB【变式8-3】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．
(1)若AB=CD．
①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC=34AC，且AC=16cm，则AD的长为________cm；
(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．
【考点9 时针和分针重合次数与时间】
【例9】（2022·江苏苏州·七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午2点整到下午4点整，钟面角为90°的情况有（ ）
A．有一种B．有二种C．有三种D．有四种
【变式9-1】（2022·全国·七年级单元测试）根据所学知识完成题目：
（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角．
（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？
【变式9-2】（2022·全国·七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？
【变式9-3】（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：
观察与思考：
（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．
（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）
操作与探究：
（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）
（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？
拓展延伸：
一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）
【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】
【例10】（2022·陕西西安·七年级期中）已知∠AOB和三条射线OE、OC、OF在同一个平面内，其中OE平分角∠BOC,OF平分角∠AOC，
(1)如图，若∠BOC=70°,∠AOC=50°，求∠EOF的度数；
(2)如图，若∠BOC=α,∠AOC=β，直接用α、β表示∠EOF；
(3)若∠BOC、∠AOC在同一平面内，且∠BOC=α,∠AOC=β，OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC，直接写出用α、β表示∠EOF．
【变式10-1】（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【变式10-2】（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB,OA关于OM对称．
(1)【理解题意】如图1，射线OB,OA关于OM对称且∠AOB=45∘，则∠AOM=_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若∠AOB=45∘,OP在∠AOB内部，OP,OP1关于OB对称， OP,OP2关于OA对称， 求∠P1OP2的度数；
(3)如图3, 若∠AOB=45∘,OP在∠AOB外部，且0∘<∠AOP<45∘,OP,OP1关于OB对称，OP,OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若∠AOB=45∘,OP,OP1关于∠AOB的OB边对称， ∠AOP1=4∠BOP1，求∠AOP ．（直接写出答案）
【变式10-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．
(1)如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数；
(2)将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．
①如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数；
②当AE旋转至∠BAC的外部时，直接写出∠MAN的度数．
【考点11 线段、角的规律问题】
【例11】（2022·重庆忠县·七年级期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为( )
A．60°B．67°C．77°D．87°
【变式11-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【变式11-2】（2022·全国·七年级）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【变式11-3】（2022·云南昆明·七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（ ）
A．4−122020B．6−122019C．8−122019D．6−122020
【考点12 角度的翻折问题】
【例12】（2022·山东德州·七年级期末）如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数=_____．
【变式12-1】（2022·广西·上思县教育科学研究所七年级期末）下图所示的图形，长方形纸片沿AE折叠后，点与重合，且已知∠CED′=50º.则∠AED的是( )
A．60ºB．50ºC．75ºD．65º
【变式12-2】（2022·福建省福州第一中学七年级期末）在福州一中初中部第十二届手工大赛中，初一年段的小红同学用长方形纸带折叠出逼真的动物造型．其中有三个步骤如下：如图①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带EF折叠成图案②，再沿BF折叠成图案③，则③中的∠CFE的度数是( )
A．20°B．120°C．90°D．150°
【变式12-3】（2022·江西南昌·七年级期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点N在边AD上，将∠NAE沿EN翻折到∠NA'E，射线EA'与CD交于点F.点M在边BC上，将∠MBE沿EM翻折到∠MB'E，射线EB'与CD交于点G.
（1）如图1，若点F与点G重合，直接写出以E为顶点的两对相等的角，并求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠AEN=∠FEG+10∘，∠BEM=∠FEG+20∘，求∠FEG与∠MEN的度数；
（3）若点G在点F的左侧，且∠FEG=a，求∠MEN的度数（用含a的代数式表示）.
【考点13 两块三角板旋转问题】
【例13】（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD=∠ECB=90°．
①若∠ECD=35°，则∠ACB=_________；若∠ACB=140°，则∠ECD=______；
②猜想∠ACB与∠ECD的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶，点A重合在一起，∠ACD=∠AFG=90°，则∠GAC与∠DAF的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系：________．
【变式13-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊的角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°，⑥15°，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是______；（填序号）
（2）在图①中，写出一组互为补角的两角为______；
（3）如图①，先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角∠AOB的顶点与60°角∠COD的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图①），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（如图②），当OB平分∠EOD时，求旋转角度α．
【变式13-2】（2022·河南南阳·七年级期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝ ．
②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）已知∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．
【变式13-3】（2022·湖北随州·七年级期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD=∠AOB=90°．
(1)将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC=35°，则∠BOD=______；当∠AOC＜90°时猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由．
(2)将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒时OD所在的直线平分∠AOB？
【考点14 射线旋转与角度的关系】
【例14】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
【变式14-1】（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．
【变式14-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答案）．
【变式4-3】（2022·湖南岳阳·七年级期末）(1) 特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．
① 若AM＝16cm，则CD＝ cm；
② 线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
(2) 知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
① 若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．
② 请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
(3) 类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k，用含有k的式子表示∠COD的度数． (直接写出计算结果)
【考点15 余角、补角、对顶角的性质】
【例15】（2022·山东·昌乐北大公学学校七年级阶段练习）已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得OC⊥OE．
（1）如图，OD平分∠AOC．若∠BOC=40°，求∠DOE的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴∠AOC+∠BOC=180°．
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=140°．
∵OD平分∠AOC．
∴∠COD=12∠AOC（ ）．
∴∠COD= °．
∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°（ ）．
∵∠DOE=∠ +∠ ，
∴∠DOE= °．
（2）在平面内有一点D，满足∠AOC=2∠AOD．探究：当∠BOC=α(0°<α<180°)时，是否存在α的值，使得∠COD=∠BOE．若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．
【变式15-1】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)∠AOC的对顶角为 ，与∠AOC的相邻的补角为 ；
(2)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．
【变式15-2】（2022·湖南·株洲县教学研究室七年级期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【变式15-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处．
(1)将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB止，如图1所示，则∠COE的度数为_______________________，其补角的度数为________________________；
(2)将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由；
(4)将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数．
【考点16 平行、垂直】
【例16】（2022·山东淄博·期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD（点A，B，C，D在直线l上）4条线段，其中PC⊥l于点C．这4条线段中，长度最短的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【变式16-1】（2022·山东烟台·期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是( )
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与AB平行
【变式16-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P．
(1)过点P画直线PM∥AB；
(2)在直线AB上找一点N，使得PN最小．
【变式16-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；
(3)线段PH的长度是点P到直线______的距离，线段______的长度是点C到直线OB的距离；
(4)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______．（用“＜”号连接）