四川省渠县龙凤镇中心学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟测试题（含答案）

这是一份四川省渠县龙凤镇中心学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟测试题（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 四川省渠县龙凤镇中心学校2022-2023学年七年级下学期
期末数学模拟测试题
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a4﹣a4＝a0 C．a6×a4＝a24 D．a0÷a﹣1＝a
3．等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（　　）
A．100° B．40° C．100°或40° D．不能确定
4．下列能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C． D．（x﹣2）（x+1）
5．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
7．赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2等于（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
9．如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是（　　）

A．AF B．AE C．AD D．AC
10．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h
B．乡村公路总长为90km
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
D．该记者在出发后4.5h到达采访地
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出　 　球的可能性最小．
12．如图，已知：AB∥CD，∠1＝120°，则∠C＝　 　 度．

13．一台微波炉的成本是a元，销售价比成本增加22%，因库存积压按销售价的60%出售，则每台实际售价P（元）与成本a（元）之间的关系式是　 　．
14．若m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+2023＝　 　；若（a﹣2）a+1＝1，则a＝　 　．
15．如图．AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，若DE＝5cm，则DF＝　 　．

16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 　 　．

三、解答题：（共72分）
17．（6分）计算：
（1）（2x+a）2﹣（2x﹣a）2；
（2）4x（x﹣1）2+x（2x+5）（5﹣2x）．
18．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
19．（6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝CE．请判断AB与CF是否平行？并说明理由．

20．（6分）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内．
（1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 　 　．
（2）要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．

21．（8分）小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

22．（8分）一位农民带上若干千克自产的土豆进城出售．为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系，如图，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）求出降价前每千克的土豆价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆？

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是　 　．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

24．（10分）探究应用：
（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝　 　．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　 　．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为　 　．
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是　 　
A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）
C、（4﹣x）（16+4x+x2） D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　 　．
25．（12分）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）试说明：△ABC≌△ADE；
（2）试说明CA平分∠BCD；
（3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°．


2022-2023学年四川省达州市渠县龙凤中心学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a4﹣a4＝a0 C．a6×a4＝a24 D．a0÷a﹣1＝a
【分析】A、根据合并同类项的法则：只把系数相加，字母和字母的指数不变，计算后即可作出判断；
根据合并同类项的法则：只把系数相加，字母和字母的指数不变，计算后即可作出判断；
C、根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，计算后即可作出判断；
D、根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，计算后即可作出判断．
【解答】解：A、a5+a5＝（1+1）a5＝2a5，本选项错误；
B、a4﹣a4＝（1﹣1）a4＝0，本选项错误；
C、a6•a4＝a6+4＝a10，本选项错误；
D、a0÷a﹣1＝a0﹣（﹣1）＝a，本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，以及同底数幂的乘法．熟练掌握这些法则是解本题的关键．学生在判断A与B选项时，先根据同类项的定义判断是否为同类项，若是，才能根据合并同类项的法则进行．
3．等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（　　）
A．100° B．40° C．100°或40° D．不能确定
【分析】由等腰三角形的两底角相等可得，内角为100°的角只能是顶角，解答出即可；
【解答】解：根据等腰三角形的性质得，
底角度数为：（180°﹣100°）÷2＝40°；
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的底角必为锐角．
4．下列能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C． D．（x﹣2）（x+1）
【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式；
B、两项都完全相同，不符合平方差公式；
C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；
D、有一项﹣2与1不同，不符合平方差公式．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式的结构．解题的关键是准确认识公式，正确应用公式．
5．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先求出3天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优良的情况，根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时为（86，25，57），3天空气质量均为优；
当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时为（25，57，143），2天空气质量为优；
当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时为（57，143，220），1天空气质量为优；
当4号到达时，停留的日子为4、5、6号，此时为（143，220，160），空气质量为污染；
当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时为（220，160，40），1天空气质量为优；
当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时为（160，40，217），1天空气质量为优；
当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时为（40，217，160），1天空气质量为优；
当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时为（217，160，121），空气质量为污染
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】先利用角平分线的定义可得∠AOM＝∠COM＝35°，再根据垂直定义可得∠MON＝90°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠COM＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠COM＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂直定义是解题的关键．
7．赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】一开始是匀速行进，随着时间的增多，行驶的距离也将由0匀速上升，停下来修车，距离不发生变化，后来加快了车速，距离又匀速上升，由此即可求出答案．
【解答】解：由于先匀速再停止后加速行驶，故其行驶距离先匀速增加再不变后匀速增加．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况进行确定．
8．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2等于（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据平行线的性质，可得∠2＝∠3，又根据互为余角的定义，可得∠1+∠3＝90°，解答出即可．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣35°＝55°，
又∵直尺的两边平行，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝55°．
故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质和余角，熟练掌握两直线平行，同位角相等．
9．如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是（　　）

A．AF B．AE C．AD D．AC
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案．
【解答】解：根据垂线段最短可得AD最短，
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
10．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h
B．乡村公路总长为90km
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
D．该记者在出发后4.5h到达采访地
【分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案．
【解答】解：A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2＝90（km/h），故本选项错误；
B、乡村公路总长为360﹣180＝180（km），故本选项错误；
C、汽车在乡村公路上的行驶速度为（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝90÷1.5＝60（km/h），故本选项正确；
D、2+（360﹣180）÷[（270﹣180）÷1.5]＝2+3＝5h，故该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出　黄　球的可能性最小．
【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性最小．
【解答】解：因为袋子中有4个红球、3个黄球和5个蓝球，从中任意摸出一个球，
①为红球的概率是 ＝；
②为黄球的概率是 ＝；
③为蓝球的概率是 ．
可见摸出黄球的概率最小．
故答案为黄．
【点评】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目，难度适中．
12．如图，已知：AB∥CD，∠1＝120°，则∠C＝　60　 度．

【分析】根据邻补角的定义求出∠2，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠2＝60°．
故答案为：60．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．一台微波炉的成本是a元，销售价比成本增加22%，因库存积压按销售价的60%出售，则每台实际售价P（元）与成本a（元）之间的关系式是　P＝0.732a　．
【分析】根据每台实际售价＝销售价×60%即可解决问题．
【解答】解：销售价为a（1+22%），
实际售价为P＝a（1+22%）•60%＝0.732a．
故答案为p＝0.732a．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意销售价比成本价增加22%后，再按销售价的60%出售．
14．若m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+2023＝　2024　；若（a﹣2）a+1＝1，则a＝　3或﹣1　．
【分析】首先根据m2+m﹣1＝0得m2+m＝1，然后将m3+2m2+2023转化为m（m2+m）+m2+2023，再将m2+m＝1整体代入计算即可得出答案；首先判定a﹣2≠0，然后分两种情况讨论如下：①当a﹣2＝1时则（a﹣2）a+1＝1，由此解出a即可；②当a﹣2≠1时根据零次幂的运算法则得a+1＝0，由此解出a即可．
【解答】解：∵m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m3+2m2+2023
＝m3+m2+m2+2023
＝m（m2+m）+m2+2023
＝m+m2+2023
＝1+2023
＝2024；
∵（a﹣2）a+1＝1，
显然a﹣2≠0，
分两种情况讨论如下：
①当a﹣2＝1时则（a﹣2）a+1＝1，
解得：a＝3，
②当a﹣2≠1时则a+1＝0，
解得：a＝﹣1，
∴a的值为3或﹣1．
故答案为：2024，3或﹣1．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，零次幂的运算法则，熟练掌握提取公因式法进行因式分解；理解任何不等于0的数的零次幂等于1是解答此题的关键，难点是整体思想和分类讨论思想在解题中应用．
15．如图．AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，若DE＝5cm，则DF＝　5cm　．

【分析】角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 　4　．

【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD＝∠CBD，由角平分线性质即可得AD＝DP，由AD的长可得DP的长．
【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，

∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，
∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，DP⊥BC，
∴AD＝DP，又AD＝4，
∴DP＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．
三、解答题：（共72分）
17．（6分）计算：
（1）（2x+a）2﹣（2x﹣a）2；
（2）4x（x﹣1）2+x（2x+5）（5﹣2x）．
【分析】（1）先利用完全平方公式计算平方，再去括号合并同类项即可；
（2）先利用完全平方公式与平方差公式计算，再利用单项式乘多项式的法则计算，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）（2x+a）2﹣（2x﹣a）2
＝4x2+4ax+a2﹣（4x2﹣4ax+a2）
＝4x2+4ax+a2﹣4x2+4ax﹣a2
＝8ax；
（2）4x（x﹣1）2+x（2x+5）（5﹣2x）
＝4x（x2﹣2x+1）+x（25﹣4x2）
＝4x3﹣8x2+4x+25x﹣4x3
＝﹣8x2+29x．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【分析】将原式被除数中括号中的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多项式的法则计算，去括号合并后，再利用多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果，将x与y的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【解答】解：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x）
＝（x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2）÷（2x）
＝（﹣2x2﹣6xy）÷（2x）
＝﹣x﹣3y，
当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣（﹣2）﹣3＝2﹣3＝﹣1．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式的法则，以及多项式除以单项式的法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝CE．请判断AB与CF是否平行？并说明理由．

【分析】由△AED≌△CEF，推出∠A＝∠ECF，推出AB∥CF．
【解答】解：结论：AB∥CF．
理由：在△AED和△△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF．
∴∠A＝∠ECF，
∴AB∥CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（6分）向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内．
（1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 　　．
（2）要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．

【分析】（1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答；
（2）利用（1）中求法得出答案即可．
【解答】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是＝，
所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．
故答案为：．

（2）如图所示：
要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，
还要涂黑2个小正三角形（答案不唯一）．

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
21．（8分）小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可．
【解答】解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝54°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝36米，PB＝10米，
∴AB＝36﹣10＝26（米），
答：楼高AB是26米．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
22．（8分）一位农民带上若干千克自产的土豆进城出售．为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系，如图，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）求出降价前每千克的土豆价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆？

【分析】（1）由图象可知，当x＝0时，y＝5，所以农民自带的零钱是5元．
（2）可设降价前每千克土豆价格为k元，则可列出农民手中钱y与所售土豆千克数x之间的函数关系式，由图象知，当x＝30时，y的值，从而求出这个函数式．
（3）可设降价后农民手中钱y与所售土豆千克数x之间的函数关系式，因为当x＝a时，y＝26，当x＝30时，y＝20，依此列出方程求解．
【解答】解：（1）由图象可知，当x＝0时，y＝5．
答：农民自带的零钱是5元．

（2）设降价前每千克土豆价格为k元，
则农民手中钱y与所售土豆千克数x之间的函数关系式为：y＝kx+5，
∵当x＝30时，y＝20，
∴20＝30k+5，
解得k＝0.5．
答：降价前每千克土豆价格为0.5元．

（3）设降价后农民手中钱y与所售土豆千克数x之间的函数关系式为y＝0.4x+b．
∵当x＝30时，y＝20，
∴b＝8，
当x＝a时，y＝26，即0.4a+8＝26，
解得：a＝45．
答：农民一共带了45千克土豆．
【点评】此类题目的解决需仔细分析函数图象，从中找寻信息，利用待定系数法求出函数解析式，从而解决问题．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是　50°　．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝70°，求得∠A＝40°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN＝BN，进而得出∠ABN＝∠A＝40°，根据三角形内角和定理就可得出∠ANB＝100°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA＝50°；
（2）①根据△NBC的周长＝BN+CN+BC＝AN+NC+BC＝AC+BC就可求得．
②根据轴对称的性质，即可判定P就是N点，所以△PBC的周长最小值就是△NBC的周长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠ABN＝∠A＝40°，
∴∠ANB＝100°，
∴∠MNA＝50°；
故答案为50°．
（2）①∵AN＝BN，
∴BN+CN＝AN+CN＝AC，
∵AB＝AC＝8cm，
∴BN+CN＝8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC＝14﹣8＝6cm．
②∵A、B关于直线MN对称，
∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，
即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，
∴△PBC的周长最小值为14cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
24．（10分）探究应用：
（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝　a3﹣8　．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　8x3﹣y3　．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为　（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3　．
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是　C　
A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）
C、（4﹣x）（16+4x+x2） D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　27x3﹣8y3　．
【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则计算以后，合并同类项即可；
（2）根据上面两题得出公式即可；
（3）根据归纳的公式的特点进行判断即可；
（4）利用公式直接计算即可．
【解答】解：（1）（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3+2a2+4a﹣2a2﹣4a﹣8＝a3﹣8；
（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；

（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；

（3）能用我发现的乘法公式计算的是C；

（4）（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝（3x）3﹣（2y）3＝27x3﹣8y3．
故答案为a3﹣8；8x3﹣y3；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；C；27x3﹣8y3．
【点评】本题考查了多项式与多项式相乘以及学生的理解、归纳、应用能力，难度适中，运用多项式乘多项式的法则正确求出（1）中的两个式子是解题的关键．
25．（12分）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）试说明：△ABC≌△ADE；
（2）试说明CA平分∠BCD；
（3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°．

【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得；
（2）通过三角形全等得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得；
（3）通过三角形全等得AC＝AE，∠CAE＝90°，即△ACE是等腰直角三角形，根据三线合一可得△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，进而得出结论．
【解答】解：（1）证明：如图，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；

（2）证明：如图，∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，且∠BCA＝∠E
∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠ACD，即CA平分∠BCD；

（3）由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∵DA⊥AB，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE+∠CAD＝90°，∠CAE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AM⊥CE，
∴△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．