2022-2023学年辽宁省抚顺市抚顺县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省抚顺市抚顺县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. (−2)0=1
C. (ab3)2=ab6D. (x+y)2=x2+y2
3. 下列各式中，是分式的是( )
A. 12B. a+b2C. x−2yπD. 2a+1
4. 若分式xx+2有意义，则x的取值范围是( )
A. x=−2B. x≠−2C. x=0D. x≠0
5. 一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 若分式xx+y中x和y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值( )
A. 扩大到原来的2倍B. 扩大到原来的4倍C. 缩小到原来的12D. 不变
7. 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A. 55°，55°B. 70°，40°或70°，55°
C. 70°，40°D. 55°，55°或70°，40°
8. 若关于x的方程mx−1−2x−1=3无解，则m的值是( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长为16cm，AB=5cm，则线段BC的长度为( )
A. 8cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm
10. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于G，下列结论：①BF=AC；②AE=12BF；③∠A=67.5°；④S四边形ADGE=S四边形GHCE；⑤△DGF是等腰三角形.其中正确的有( )
A. 5个B. 2个C. 4个D. 3个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 世界上最小的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米，用科学记数法表示体长为______ 米.
12. 已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是______ ．
13. 已知x2+kxy+36y2是一个完全平方式，则k的值是______ ．
14. 已知1m−1n=1，则分式2m−mn−2nm+3mn−n的值为______ ．
15. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为______．
16. 如图，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC射线AX上运动使△ABC和△QPA全等，则AP=______．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题16.0分)
计算：
(1)(2x2)3−x2⋅x4；
(2)(x+2)(x−3)+x；
(3)(12m3−6m2+3m)÷3m；
(4)(x+2y)(x−2y)−(x+y)2．
18. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)a3−a；
(2)1−x2+2xy−y2．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(m+2−5m−2)÷m−3m−2，其中m=(12)−2+20．
20. (本小题8.0分)
解方程：2x+2+1x−2=xx2−4．
21. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,4)，B(−5,2)，C(−1,1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
(2)直接写出四边形BB1C1C的面积；
(3)在y轴上找出一点P，使PA+PC最短，并直接写出P点的坐标．
22. (本小题8.0分)
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
(1)求∠BAE的度数；
(2)求∠DAE的度数；
(3)直接写出∠DAE，∠B，∠C三个角之间的数量关系．
23. (本小题8.0分)
如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周长．
24. (本小题8.0分)
某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的1.5倍，用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本．
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买甲乙两种图书共80本，且用于购买图书的总经费不超过900元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书？
25. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边在左侧作等边三角形ADE，连接BE．
(1)如图当点D在边BC上时．
①求证：△ABE≌△ACD；
②直接判断结论BC=BD+BE是否成立(不需写出证明)；
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BD，BC，BE之间的数量关系，并写出证明过程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
2.【答案】B
【解析】解：A.2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B. (−2)0=1，计算正确，故本选项符合题意；
C. (ab3)2=a2b6，故本选项计算错误，不符合题意；
D. (x+y)2=x2+2xy+y2，故本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据合并同类项法则，零指数幂运算法则，积的乘方与幂的乘方运算法则以及完全平方公式解答再进行判断即可．
本题主要考查了合并同类项，零指数幂运算，积的乘方与幂的乘方运算以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键
3.【答案】D
【解析】解：12、a+b2、x−2yπ是整式不是分式，2a+1是分式，故D正确．
故选：D．
根据分式方程的定义进行判断即可．
本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式定义，一般地，如果A、B(B≠0)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．
4.【答案】B
【解析】解：x+2≠0，
∴x≠−2
故选：B．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式，一元一次方程的解法，熟记公式是解题的关键．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列式进行计算即可求解．
【解答】
解：设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，
得x×2x×2+y×2=xx+y，可见新分式与原分式的值不变．
故选：D．
依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
【解答】
解：分情况讨论：
(1)若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角=(180°−70°)÷2=55°；
(2)若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°−70°−70°=40°．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：mx−1−2x−1=3，
去分母得：m−2=3(x−1)，
去括号得：m−2=3x−3，
解得x=m+13，
∵关于x的方程mx−1−2x−1=3无解，
∴x=m+13=1，
∴m=2，
故选：B．
先解分式方程得到x=m+13，再根据分式方程无解，即分式方程有增根即可得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
本题主要考查了分式方程无解的问题，掌握一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根是解题关键．
9.【答案】D
【解析】[分析]
根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，得出△ABD的周长=AB+BC即可．
本题考查了线段垂直平分线性质.关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答．
[详解]
解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC，
∵△ABD的周长为16cm，AB=5cm，
∴BC=11cm，
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：①∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDF=90°，∠DBF+∠DFB=180°−∠BDF=90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEA=90°，
∴∠DBF+∠DAC=180°−∠BEA=90°，
∴∠DAC=∠DFB，
又∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=180°−∠ABC−∠BDF=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
在△ACD和△FBD中，
∠DAC=∠DFB∠CDA=∠BDFCD=BD，
∴△ACD≌△FBD(AAS)，
∴AC=BF.故①正确；
②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BEA=∠BEC=90°，
在△ABE和△CBE中，
∠ABE=∠CBEBE=BE∠BEA=∠BEC，
∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE=CE，
∴AC=AE+CE=2CE，
又∵AC=BF，
∴BF=2CE，
即：AE=12BF，故②正确；
③∵∠ABC=45°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=22.5°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠A=67.5°，故③正确；
④如图所示，过G作GM⊥BD于点M，

∵H为等腰直角△BCD斜边BC的中点，
∴DH⊥BC，即∠GHB=90°，
又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，
∴GM=GH，
又∵BD>BH，
∴S△BDG>S△BGH，
又∵△ABE≌△CBE，
∴S△ABE=S△CBE，
∴S四边形ADGE=S△ABE−S△BDG，S四边形GHCE=S△CBE−S△BGH，
∴S四边形ADGE⑤∠HBG+∠BGH=180°−∠GHB=90°，∠DBF+∠DFG=180°−∠BDF=90°，∠HBG=∠DBF，
∴∠BGH=∠DFG，
又∵∠BGH=∠DGF，
∴∠DGF=∠DFG，
∴△DGF为等腰三角形，故⑤正确．
∴正确的为①②③⑤，共计4个，
故选：C．
只要证明△BDF≌CDA、△ABE≌△CBE(ASA)，即可判断①②正确，根据角平分线的定义利用Rt△ABE即可判断③；过G作GM⊥BD于点M，根据角平分线定理GM=GH，结合BD>BH，可得S△BDG>S△BGH，又△ABE≌△CBE可得S△ABE=S△CBE，即可判断④错误，证明∠DGF=∠DFG可判断⑤正确．
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第四个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．
11.【答案】2.1×10−4
【解析】解：0.00021=2.1×10−4．
故答案为：2.1×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】4【解析】解：根据三角形的三边关系，得
7−3即：4故答案为：4已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．
考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
13.【答案】±12
【解析】解：∵x2+kxy+36y2是一个完全平方式，
∴k=±2×6，即k=±12．
故答案为：±12．
根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值．
本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是关键．
14.【答案】−32．
【解析】解：∵1m−1n=1，
∴n−mmn=1，
∴n−m=mn，
∴m−n=−mn，
∴2m−mn−2nm+3mn−n=2(m−n)−mn(m−n)+3mn=−2mn−mn−mn+3mn=−3mn2mn=−32，
故答案为：−32．
将1m−1n=1变形为m−n=−mn，再将原式变形为2(m−n)−mn(m−n)+3mn，整体代入计算即可．
本题考查了分式的值，将1m−1n=1变形为m−n=−mn，将2m−mn−2nm+3mn−n变形为2(m−n)−mn(m−n)+3mn是正确解答的关键．
15.【答案】9
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，AD=ADDF=DH，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL)，
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，DE=DGDF=DH，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF=64−SRt△DGH，
∴SRt△DEF=9．
故答案为：9．
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
16.【答案】6cm或12cm
【解析】解：①当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
即AP=BC=6；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
即AP=AC=12，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP=6cm或12cm．
故答案为：6cm或12cm．
本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12，P、C重合．
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
17.【答案】解：(1)(2x2)3−x2⋅x4
=8x6−x6
=7x6；
(2)(x+2)(x−3)+x
=x2+2x−3x−6+x
=x2−6；
(3)(12m3−6m2+3m)÷3m=4m2−2m+1；
(4)(x+2y)(x−2y)−(x+y)2
=x2−4y2−(x2+2xy+y2)
=x2−4y2−x2−2xy−y2
=−5y2−2xy．
【解析】(1)根据幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项即可求解；
(2)根据多项式乘多项式，然后合并同类项即可求解；
(3)根据多项式除以单项式进行计算即可求解；
(4)根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式与完全平方公式，掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)a3−a
=a(a2−1)
=a(a+1)(a−1)；
(2)1−x2+2xy−y2
=1−(x2−2xy+y2)
=1−(x−y)2
=(1+x−y)(1−x+y)．
【解析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可；
(2)分组，利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19.【答案】解：(m+2−5m−2)÷m−3m−2
=(m+2)(m−2)−5m−2⋅m−2m−3
=m2−9m−3
=m+3，
当m=(12)−2+20=4+1=5时，原式=5+3=8．
【解析】先将被除式括号里面的进行通分，同时将除法转化为乘法，再把被除式的分子分解因式，再进行约分即可．
本题主要考查了分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式和整式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：将方程的两边同时乘(x+2)(x−2)，得：2x−4+x+2=x，
解得：x=1，
检验：把x=1代入(x+2)(x−2)得：(x+2)(x−2)=(1+2)×(1−2)=−3≠0，
∴原分式方程的解是：x=1．
【解析】方程两边同乘(x+2)(x−2)变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
21.【答案】解：(1)作出点A、B、C关于x轴的对称点A1，B1，C1，顺次连接，则△A1B1C1为所求作的三角形，如图所示：

A1(−2,−4)，B1(−5,−2)，C1(−1,−1)；
(2)S四边形BB1C1C=12×(2+4)×4=12．
(3)作出点A关于y轴的对称点D，连接CD，交y轴于点P，连接PA，

∵PA=PD，
∴PA+PC=PD+PC，
∴当C、P、D在同一直线上时，PC+PD最小，即PA+PC最小，此时点P的坐标为(0,2)．
【解析】(1)先作出点A、B、C关于x轴的对称点A1，B1，C1，然后顺次连接即可，根据图形写出点A1，B1，C1的坐标即可；
(2)根据梯形面积公式求出四边形BB1C1C的面积即可；
(3)作出点A关于y轴的对称点D，连接CD，交y轴于点P，连接PA，再求值即可．
本题主要考查了轴对称作图，求四边形的面积，解题的关键是作出点A、B、C关于x轴的对称点．
22.【答案】解：(1)在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°．
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°；
(2)∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−70°=20°．
∵∠BAE=40°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°；
(3)∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠B−∠C=40°，
∵∠DAE=20°，
∴2∠DAE=∠B−∠C．
【解析】(1)根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再由AE平分∠BAC，即可求解；
(2)根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD=20°，即可求解；
(3)根据∠DAE，∠B，∠C三个角的度数，即可求解．
本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDE与△CDF中，
∵∠DEB=∠DFC∠B=∠CBD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)；
(2)解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形的等边三角形)，
∴AB=BC=CA，∠B=60°；
又∵DE⊥AB(已知)，
∴∠EDB=30°，
在直角△BED中，BD=2BE=2(30°角所对的直角边是斜边的一半)，
∴BC=2BD=4，
∴△ABC的周长=3BC=12．
【解析】(1)利用等腰三角形的两个底角相等、全等三角形的判定定理ASA证得△BED≌△CFD；
(2)首先证得△ABC为等边三角形，然后由等边三角形的性质、直角△BED中“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得BD=2BE，则△ABC的周长=3BC．
本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答(2)题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件“等边△ABC的三个内角都是60°，三条边都相等”．
24.【答案】解：(1)设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是1.5x元，
由题意可得：9001.5x=900x−30，
解得：x=10，
经检验得：x=10是原方程的根，
则1.5x=15，
答：乙图书每本价格为10元，甲图书每本价格是15元；
(2)设图书馆可以购买y本甲图书，
由题意可得：15x+10(80−x)≤900，
解得：x≤20，
答：图书馆最多可以购买20本甲图书．
【解析】(1)利用用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本，列出方程可求解；
(2)根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
25.【答案】(1)①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC−∠BAD=∠DAE−∠BAD，
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAD=AE，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
②解：∵△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE=CD，
∴BC=BD+CD=BD+BE；
(2)解：BC=BD−CE，
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC−∠EAC=∠DAE−∠EAC，
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAD=AE，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
∴BE=CD．
∵BD=BC+CD，
∴BC=BD−BE．
【解析】(1)①根据等边三角形的性质，证明△ABE≌△ACD(SAS)即可；
②根据①的结论得出，BE=CD，进而即可求解；
(2)根据(1)的方法证明△ABE≌△ACD(SAS)，根据全等三角形的性质，即可得证．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．