【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 4.4.2 二面角（练习）

4.4.2二面角

同步练习

1．从一条直线出发的两个___________所组成的空间图形叫做二面角．

【答案】半平面

2．在正方体中，二面角的大小是___________.

【答案】##

【分析】根据二面角的定义判断二面角的大小.

【详解】画出图象如下图所示，

由于，

所以是二面角的平面角，

根据正方体的性质可知.

故答案为：

3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(    )

A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补

【答案】D

【分析】作出图像数形结合即可判断.

【详解】如图，

A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD，

则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°，

∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角，

∵∠A＋∠BDC＝180°，

∴当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等，

当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补.

故选：D.

4．以下说法正确的是（    ）

A．空间异面直线的夹角取值范围是

B．直线与平面的夹角的取值范围是

C．二面角的取值范围是

D．向量与向量夹角的取值范围是

【答案】C

【分析】空间异面直线的夹角取值范围是，所以选项错误；直线与平面的夹角的取值范围是，所以选项错误；二面角的取值范围是，所以选项正确；向量与向量夹角的取值范围是，所以选项错误.

【详解】选项：空间异面直线的夹角取值范围是，所以选项错误；

选项：直线与平面的夹角的取值范围是，所以选项错误；

选项：二面角的取值范围是，所以选项正确；

选项：向量与向量夹角的取值范围是，所以选项错误.

故选：C

5．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为____.

【答案】100°####

【分析】根据∠APB与二面角大小互补进行求解

【详解】设二面角的大小为，

因为PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.，

所以，所以.

故答案为：100°

6．已知二面角的大小为130°，两条异面直线a，b满足，，且，，则a，b所成角的大小为___________.

【答案】50°

【分析】利用a，b所成角与二面角的平面角的关系求解.

【详解】解：由题意知a，b所成角与二面角的平面角互补，

又二面角的大小为130°，

所以a，b所成角的大小为50°.

故答案为：50°

1．二面角的定义

从一条直线出发的两个______所组成的图形叫做二面角．这条______叫做二面角的棱，这两个______叫做二面角的面．

[问题]二面角的范围是什么？_____

【答案】     半平面     直线     半平面     ．

【分析】根据二面角的定义填空.

【详解】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，

故答案为：半平面，直线，半平面，

2．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（   ）

A．相等 B．互补

C．相等或互补 D．不确定

【答案】C

【分析】根据二面角的性质进行求解即可.

【详解】若方向相同则相等，若方向相反则互补，

故选：C.

3．如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______．

【答案】##

【分析】根据与二面角大小互补进行求解.

【详解】设二面角的大小为，

因为，，垂足为、，

所以，又，所以.

故答案为：

4．在正方体中，二面角的大小是________.

【答案】

【分析】在正方体中，，则是二面角的平面角，即可得出答案.

【详解】在正方体中，平面.

所以

所以是二面角的平面角.

在直角中，，所以

故答案为：

5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是(　　)

A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定

【答案】D

【分析】根据题意作出相应图形如图，找到二面角的平面角以及两垂线的夹角即可得到答案.

【详解】

如图，过二面角内的一点作，设BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，

则平面，从而

所以∠BDC为二面角α－l－β的平面角．

又∠ABD＝∠ACD＝90°，

所以∠A＋∠BDC＝180°．

当时，为两垂线的夹角，此时两垂线的夹角与二面角的平面角互补；

当时，两垂线的夹角等于，此时两垂线的夹角与二面角的平面角相等；

即两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是相等或互补．

故选：D．

1．二面角及其相关概念：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一个部分都叫做__________．一条直线和由这条直线出发的__________所组成的图形叫做__________，这条直线叫做__________，每个半平面叫做__________．

二面角的表示方法：______________________________．

二面角的平面角的概念：以二面角的棱上__________为端点，在两个面内分别作__________，这两条射线所成的角叫做__________．

二面角的取值范围是____________________．

平面角是直角的二面角叫做____________________

【答案】     半平面     两个半平面     二面角     二面角的棱     二面角的面     二面角，二面角     任意一点     垂直于棱的射线     二面角的平面角          直二面角

【分析】根据二面角及其相关概念填空即可.

【详解】二面角的概念: 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一个部分都叫作半平面．一条直线和由这条直线出发的所组成的两个半平面图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．

二面角的表示方法: 二面角，二面角

二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线, 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

二面角的取值范围是:

平面角是直角的二面角叫作: 直二面角

故答案为: 半平面，两个半平面，二面角，二面角的棱，二面角的面

，二面角，二面角，任意一点，垂直于棱的射线

，二面角的平面角，，直二面角

2．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．

【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.

故选：B.

3．下列命题错误的是（    ）

A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线

B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行

C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角

【答案】B

【分析】利用线面垂直的定义可判断A，利用线面的位置关系可判断B，利用面面平行判定定理可判断C，利用二面角的定义可判断D.

【详解】A，一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故A正确；

B，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故B错误；

C，如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故C正确；

D，一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线都垂直，故它们形成的角就是二面角的一个平面角，故D正确.

故选：B.

4．二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据二面角的定义和线面垂直的性质可得选项.

【详解】解：因为二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为，

故选：B.

5．在60°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10cm，则该点到二面角的棱的距离是______．

【答案】##

【分析】画出空间图形，说明为二面角的平面角，且，再结合三角函数求解.

【详解】解：如图所示，两平面相交于，，，，

，，．

则为二面角的平面角，且，

所以所以.

即点到二面角的棱的距离为．

故答案为：．