云南师范大学附属中学2020届高三适应性月考（八）数学（理）试题（PDF版）
展开云南师大附中2020届高考适应性月考卷（八）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | C | B | A | D | B | C | A | D | A | C | C |
【解析】
1．解不等式，得，所以因此
，故选B．
2．因为所以，故选C．
3．细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为，则，，故选B．
4．，故选A．
5．，故选D．
6．
，故选B．
7．由可知为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A， B；令可知，可知图象与轴只有一个交点，故选C．
8．由三视图还原原几何体如图1，由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为2的球的四分之一，下半部分是棱长为4的正方体，则该几何体的体积为，故选A．
9．的图象向左平移个单位后得到
，由于为偶函数，所以，由于，所以，所以．当时，，所以，通过图象可知方程有两个不同的实根时，，故选D．
10． 如图2，因为，所以取为的中点，则，又因为，在中，有，所以，故选A．
11．通过观察，平面平面，所以平面，①正确；设棱长为，用向量法，则，②错误（传统解法：取的四等分靠近的点，连接因为，所以是与所成的角.设棱长为2，则由余弦定理得，所以②错误）；因为故四点共面，③正确；体对角线平面，垂足三等分体对角线，④正确；所有正确的是①③④，故选C．
12．如图3，由的函数图象：令，得，即有或，要使有个零点，则应有一个方程有个解，一个方程有个 解，由图象应有，中有一个为，有一个小于，故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 | 或 | 或 |
【解析】
13．由题设得，因为，所以，解得
14．易知的斜率存在，设直线的方程为，如图4，过圆心作，易得当位于的延长线上时距离最大，即，所以，由点到直线的距离公式可得，所以，直线的方程为或
15．由得，，所以，由余弦定理得，所以
16．如图5，，为的中点，，即
，直线的倾斜角为或
图5
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）茎叶图如图6所示．
……………………………………（4分）
（其中左右两边各2分，如有一边对一部分给1分）
城市中学的平均分高于县城中学平均分，………………………………………………（5分）
城市中学学生成绩比较集中，县城中学学生成绩比较分散．…………………………（6分）
（2）分以上的学生共有名，分以上的学生共有名，
由题可知，………………………………………………………………（7分）
…………………………………………………………（9分）
的分布列为
………………………………………………………………………………………（10分）
．……………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（1）证明：如图7，连接，
为的中点，故且，
故为平行四边形，………………………（2分）
，易知为等边三角形，为的中点，
故，即．……………………………………………………………（4分）
又，且，
故
又，故面面 ……………………………………（6分）
（2）解：取的中点，连接，
，
，
，易证为等边三角形，
故
如图8，以为坐标原点，为轴，为轴，
为轴建立空间直角坐标系．…………………………………（8分）
，，
，
设平面的法向量为
故解得．…………………（10分）
设平面的法向量为则，
为锐二面角，故二面角的余弦值为
………………………………………………………………………………………（12分）
另解：
如图9，取的中点，连接，
，，，
，
过点作交的延长线于点，连接
故，故
为二面角的平面角，
，，
故，故
即二面角的余弦值为 ………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）当时，有解得……………………………………（1分）
当时，由得……………………………………（2分）
所以即……………………………………（3分）
故……………………………………………………………（4分）
（2）由（1）得
即
又……………………………………………………………………………（5分）
数列是以1为首项，为公差的等差数列， …………………………………（6分）
故又…………………………………………………………（7分）
所以……………………………………………（8分）
…………………………………………（9分）
…………………………（10分）
………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）
令，得或．………………………………………………………（1分）
若，则当时，；
当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；…………………………………………………………（3分）
若，则当时，；
当时，，
故在， 上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；…………………………………………………………（5分）
若，在上单调递增，无极值．…………………………………（6分）
（2）设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率，
所以切线方程为，
因此，整理得，……………………（7分）
构造函数，
则“若过点存在条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，，与的关系如下表：…………………………（8分）
+ | 0 | − | 0 | + | |
极大值 | 极小值 |
……………………………………………………………………………………（10分）
所以的极大值为，极小值为，要使有三个解，
即且，解得．…………………………………………（11分）
因此，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是．
……………………………………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）设过点的直线为，
直线代入椭圆得，
，
过点与椭圆相切的直线方程为 ……………………………（5分）
（2）焦点设直线
直线与椭圆联立消去得
点到直线的距离为，
以为直径的圆过点，得
，
令，，
求导
在上递增， …………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）由题意得曲线的普通方程为
………………………………………………………………………………………（1分）
由伸缩变换得……………………………………………………（2分）
代入得………………………………………………………（3分）
的普通方程为…………………………………………………………（4分）
（2）直线的极坐标方程为
直线的普通方程为 ……………………………………………（5分）
设点的坐标为 ……………………………………………………（6分）
则点到直线的距离
………………………………………………………………………………………（7分）
………………………………………………………………（8分）
当时，…………………………………………………（9分）
所以点到直线距离的最大值为
………………………………………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）当时， ……………………………………（1分）
等价于解得……………………………………………………（2分）
或解得 …………………………………………………（3分）
或解得 …………………………………………………………………（4分）
的解集为…………………………………………………………（5分）
（2）若对恒成立，
有………………………………………………………………（6分）
…………………………………………………（7分）
………………………………………………………（8分）
…………………………………………………………………………（9分）
……………………………………………………………………（10分）
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