专题22.27 二次函数与一元二次方程（直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

这是一份专题22.27 二次函数与一元二次方程（直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版），共20页。
专题22.27 二次函数与一元二次方程（直通中考）（基础练）
【要点回顾】
1. 二次函数与一元二次方程
二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
2.二次函数与不等式
（1）抛物线在x轴上方图像上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.

一、单选题
1．（2023·河北·统考中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（   ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（   ）
  
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
3．（2022·湖北荆门·统考中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（   ）
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
4．（2022·山东潍坊·中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（   ）
A． B． C． D．4
5．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（   ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为
6．（2021·四川泸州·统考中考真题）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（   ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
7．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
8．（2020·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（   ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
9．（2021·四川甘孜·统考中考真题）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（   ）

A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
10．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
12．（2020·山东青岛·中考真题）抛物线（为常数）与轴交点的个数是 ．
13．（2022·江苏无锡·统考中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
14．（2018·湖北孝感·统考中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（−2，4（，B（1，1（，则关于x的方程的解为 ．

15．（2017·山东青岛·中考真题）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是 °
16．（2013·湖北荆门·中考真题）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．
17．（2015·四川广元·统考中考真题）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数和关于x的一元二次方程中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是 ．
18．（2018·贵州黔东南·统考中考真题）已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是 ．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
三、解答题
19．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．





20．（2020·浙江温州·统考中考真题）已知抛物线经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值；
（2）若（5，），（m，）是抛物线上不同的两点，且，求m的值．








21．（2015·福建宁德·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．









22．（2011·广东东莞·中考真题）已知抛物线与x轴没有交点．
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．







23．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，与x轴的另一个交点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线与该抛物线交于A，D两点，直接写出四边形的面积．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．





24．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，其顶点纵坐标为．
（1）求的值；
（2）求，两点的坐标；
（3）以，为一组邻边作，则点关于轴的对称点是否在该抛物线上？请说明理由．






参考答案
1．A
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
解：令，则和，
解得或或或，
不妨设，
∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
  
∴与原点关于点对称，
∴，
∴或（舍去），
∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．D
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为或0；
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
4．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
5．C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
解：由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
6．D
【分析】由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可．
解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，
∴，
∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，
∴，
，
∴，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴，
∴0＜a＜4．
故选择D．
【点拨】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．
7．C
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观察图象即可得出结论．
解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．

【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
8．B
【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．
解：二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移．
9．D
【分析】根据抛物线开口向下可知a＜0，再根据其对称轴为直线，即可求出b＞0，可判断A；根据二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断B；根据二次函数的对称性和其对称轴为，可得出抛物线与x轴的另一个交点，再结合二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断C；根据抛物线与x轴的两个交点，即可利用图象法解不等式，由此可判断D．
解：由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0．对称轴为直线，所以b＞0，故A正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以，故B正确；
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点（5，0）和（-1，0），所以方程的解是 ，故C正确；
由C选项结合图象可知，不等式的解集是，故D错误．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图象法确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
10．D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
11．9
【分析】根据抛物线与轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．
解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴
解得c=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式；抛物线与x轴有一个交点，则判别式；抛物线与x轴没有交点，则判别式．
12．2
【分析】求出∆的值，根据∆的值判断即可．
解：∵∆=4（k-1）2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
解：∵y=x2+4x+m=（x+2）2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
14．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程，即，则抛物线与直线交点的横坐标即为方程的解．
解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（−2，4（，B（1，1（，由，可得的解为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，理解函数图象交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
15．m＞9
解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴∆＜0，即，
解得.
故答案为m＞9．
16．9
解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线对称．
∴A（，n），B（，n）．
将A点坐标代入抛物线解析式，得：．
故答案为9
17．．
解：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴，∴，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，
将m=0代入中得，，△=﹣4＜0，无实数根；
将代入中得，，，有实数根，但不是一元二次方程；
将代入中得，，△=4+4=8＞0，有实数根．
故m=．
故答案为．
【点拨】本题考查根的判别式；一次函数图象与系数的关系．
18．（3，0）．
【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，得出对称轴方程为x=1，再利用二次函数图像的对称性解答即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图像与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数图像的对称性．
19．（1）m=1；（2）二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见分析．
【分析】（1）把P（2，4）代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P（2，4） ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；
（2）将（5，），（m，）代入解析式，联立即可求得m的值.
解：（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），
∴，解得，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵（5，），（m，）是抛物线上不同的两点，
∴，解得或（舍去）
∴m的值为-1.
【点拨】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键.
21．（1）；（2），45°；（3）P（，）．
试题分析：（1）把A，C两点的坐标代入抛物线解析式求出即可；
（2）先求出B点坐标，求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；
（3）利用∠ACB=∠PAB，得到△ABP∽△CBA，由相似三角形的性质求出BP的长，进而得出P点坐标．
解：（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，
解得：，
故抛物线解析式为：；
（2） 由（1）得：，
解得：x=﹣1或x=3，故B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：，
则：，解得：，
故直线BC的解析式为：，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BO=OC=3，
∴∠ABC=45°；
（3） 过点P作PD⊥x轴于点D，
∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴，
∵BO=OC=3，
∴BC=，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴，解得：BP=，由题意可得：PD∥OC，
∴DB=DP=，
∴OD==，则P（，）．

考点：1．二次函数综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题；4．压轴题．
22．（1）c＞
（2）顺次经过三、二、一象限．因为：k＞0，b=1＞0
解：（1）因为抛物线与x轴没有交点，所以即，解得（2）因为所以直线y=x+1随x的增大而增大，因为b=1所以直线y=x+1经过第一、二、三象限
23．（1）；（2）四边形的面积为42．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得，联立解方程，求得D点坐标，利用三角形面积公式求解即可．
（1）解：将点，代入得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令，则，
解得或，
，
∴，
解方程，
整理得，
解得或，
当时，，
∴四边形的面积为．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数图象的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24．（1）；（2）的坐标 ，的坐标 ；（3）在抛物线上，理由见分析
【分析】（1）根据抛物线的顶点纵坐标为，运用待定系数法求解；
（2）由（1）得抛物线的解析式，因为，的坐标在轴上，所以纵坐标为，代入抛物线的解析式，解一元二次方程可求得，的坐标；
（3）由平行四边形知，关于对角线交点对称，求得的坐标，进而根据点，点关于轴的对称得出的坐标，进而即可得出结论．
（1）解：∵抛物线其顶点纵坐标为
∴抛物线，
∴顶点坐标为：，
∴
∴；
∴
（2）解：由（1）知，抛物线表达式为，
令，得．
解得：．
∴的坐标 ，的坐标 ；
（3）解：由，令，解得：，
∴
如图所示，连接交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，

∵的坐标 ，的坐标 ；
∴对角线交点的坐标为），抛物线的对称轴为直线，
∴点，关于对角线交点）对称，
∵，则
又∵点 是点关于轴的对称点，
∴
当时，，
∴在抛物线上．
【点拨】此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出点的坐标是解决问题的关键．