初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版

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  定    义示例剖析直线：能够向两端无限延伸的线.① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如图⑴直线AB，也可以写作直线BA．② 用一个小写字母来表示，如直线，如图⑵．射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点.① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA，如图⑶，但不能写作射线AO．② 用一个小写字母来表示，如射线，如图⑷．线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB，如图⑸，也可以写作线段BA．② 也可以用一个小写字母来表示：如线段，如图⑹．公理：① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．    ② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．如图⑺．点O是线段AB的中点记为：注意：①点的表示方法：通常用一个大写的英文字母来表示点：，，，，……；②在线段的表示前面必须加上“线段”二字；③点与直线的关系：点在直线上；点在直线外；④两点间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离．直线、射线、线段的主要区别：类型端点延长线及反向延长线用两个大写字母表示直线个无无顺序射线个有反向延长线第一个表示端点线段个两者都有无顺序 【例1】         ⑴ 下面说法中错误的是（     ）A．直线和直线是同一条直线B．射线和射线是同一条射线C．线段和线段是同一条线段D．把线段向两端无限延伸便得到直线⑵ 下列叙述正确的是（     ）A．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线 B．笔直的公路是一条直线C．点一定在直线上 D．过点、可以画两条不同的直线，分别为直线和直线⑶ 根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（     ）  【解析】       ⑴ B； ⑵C； ⑶B【例2】         ⑴ 下列说法中，正确的是（     ）A．两点之间的连线中，直线最短        B．若点是线段的中点，则C．若，则点是线段的中点  D．两点之间的线段叫做这两点的距离⑵ 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（     ）A．两点之间，射线最短         B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短        D．两点之间，直线最短                                                             （海淀区期末）⑶ 手枪上瞄准系统设计的数学道理是                          ．⑷ 如图所示，填写空格：，，．        ⑸ 补全下面解题过程. 已知：如图，、是线段上两点，是的中点，，，求线段 的长.．∵，，（已知）∴.∵是的中点，（已知）∴    ，（线段中点的定义）      .∴               . ⑹ 延长线段到，使，反向延长线段到，使，若，求．【解析】       ⑴ B； ⑵ C； ⑶ 两点确定一条直线；⑷ ，．⑸  2，4，，6⑹ 此题培养学生根据题意画图解题的能力，易得． 【例3】         如图，，，，为4个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由．            【解析】       该建在，的交点上，如图所示．首先我们使购物中心到和的距离之和最小，那么购物中心就应该建在线段的某点处．这是因为如果点不在上，根据两点之间，线段最短，可以知道．同时我们也能看出，购物中心建在线段上的任意一点，都可以保证购物中心到，距离之和最小．同理，购物中心若到，之和距离最小，也必须建在线段上，这样购物中心就必须建在，的交点上． 【例4】         在右图中，按要求画图并填空：如图，已知三角形及点，⑴ 做直线；⑵ 延长到，使得，连接；⑶ 做射线.                      （朝阳区期末） 【解析】⑴⑵⑶ 如图.        【例5】         ⑴ 如图，已知是线段上的两点，是的中点，是的中点，若，，求线段的长.⑵ 如图，已知是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，为 的中点，为的中点，求的值.【解析】⑴ ，；⑵ 设，，则，，故 【附加】如图，已知线段上依次有三个点,,把线段分成四个部分，,,,分别是,,,的中点，若，求的长度.【解析】根据题意可设 【例6】         ⑴ 判断：已知，，三点在同一条直线上，，那么是的中点．⑵ 点A、B、C是同一直线上的三个点，若，，则AC的长度为          .⑶ 已知A、B、C三点在同一条直线上，若，点平分线段，，求的长.【解析】⑴ 错误，几何中的题目如果无图，要特别注意读准题意，适时分类求解．如下图⑴，⑵，均满足题意．⑵ 11cm或5cm.⑶ 情况1：如图⑴，；情况2：如图⑵，设 【附加】已知：，，，四点共线，若，，，画出图形，求长.【解析】根据，，，四点共线，，，(先取前两个重要条件画图分析)可得下面两种情况(画图)：情况1               情况2再参看条件，对于第一种情况可以得到下面两种可能：                             ⑴                           ⑵对于第二种情况可以得到下面两种可能：                       ⑶                                 ⑷所以共有四种可能：如图⑴；  如图⑵；如图⑶； 如图⑷.  角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．注意点：角的两条边是射线，是无限延伸的．角的表示方法①用三个大写字母来表示，顶点一定要写在中间，如图⑴．可记为，但不能写成或．② 用一个大写字母来表示，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．如图⑵．③ 用数字来表示角，如图⑶．④ 用希腊字母来表示角，如图⑷．             角的相关计算度分（）  分秒（）    周角    平角    直角    周角平角          平角直角余角与补角 互为补角定义：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角．简称互补.如图⑸：直线AB，，所以与互补           ⑸反之，因为与互补，所以． 互为余角定义：如果两个锐角的和是，那么这两个角互为余角.简称互余．如图⑹：，所以与互余．反之，因为与互余，所以．            ⑹角平分线：从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线．如图⑺：射线OC是的角平分线．则.       ⑺  【例7】         ⑴ 把换算成度、分、秒的结果；⑵   ；  ⑶ ；⑷ ；  ⑸ ；⑹ ；   ⑺ ．【解析】       ⑴ 首先在第一个空上填上，然后计算，，⑵ ⑶ 这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，，，，．⑷ ；⑸ .⑹ ；⑺ .  【巩固】计算：. （海淀区期末）【解析】       .  【例8】         ⑴ 在左下图中，角的表示方法正确的是（    ）A．       B．       C．    D．               ⑵ 如右上图，将一副三角板的直角顶点重合，可得，理由是等角（或同角）的                 ；若=，则=           º. ⑶ 如图，是直线上的一点，，，平分，则图中彼此互补的角共有__________对；          第⑶题                          第⑷题⑷ 如图，于，，平分，则图中与互余的角有_________个；互补的角有_________对．【解析】       ⑴ B； ⑵ 余角相等，130； ⑶ 根据题意可得：，，互补的角只满足和为这个数量关系即可，与位置无关．所以共有6对：与，与，与，与，与，与．⑷ 由题意可知，所以与互余的角必与相等。由题中条件可知=，所以余角有3个；的补角为所以与互补的角必与相等。【例9】         ⑴ 一个角的补角比它的余角的4倍少15°，则这个角的度数为        °．⑵       如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．【解析】⑴ 55；⑵ 设这个角为，则它的补角和余角分别为和，，所以，所以这个角的余角的度数为 【附加】已知的余角是的补角的，并且，试求的度数．【解析】       根据题意可得：，，且，．  【例10】     如图，点B为射线OA上一点. ① 在OA的上方，画，画；② 画出的平分线OE，交射线BD于点P．测量点O、P之间的距离（精确到1cm）．（西城区期末）【解析】       画，；画的平分线OE，交射线BD于点P；量得． 【例11】     ⑴ 如图所示，，是内部的任意一条射线，若平分，平分，试求的度数．⑵ 如图，平分，平分，若，，求的小．⑶ 如图，是直角，，且分别是、的平分线，求的大小.            【解析】⑴ 因为是的平分线，所以，同理可得；所以；⑵ ；⑶ ；             【例12】     、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求的值．【解析】根据题意可知：所以是正确答案，  【附加】平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?【解析】       如图⑴，第一种情况，当四点在同一条直线上的时候，显然只能画一条直线．如图⑵，第二种情况，当三点在同一条直线上的时候，而另一点却不在这条直线上，则可以画四条直线．如图⑶，第三种情况，当任何三点不共线的时候，可以画六条直线．    
 知识模块一  线  课后演练【演练1】   ⑴ 如图，下列说法中不正确的是(     )A．直线经过点B．射线与直线有公共点C．点在直线上D．直线与线段相交于点⑵ 下列叙述正确的是(     )A．可以画一条长的直线 B．一根拉紧的线是一条直线C．直线AB经过C点D．直线AB与直线BA是不同的直线⑶ 下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是(     )        【解析】⑴C； ⑵C； ⑶C 【演练2】   ⑴ 如图，在一条直线上顺序排列着、，三个点，并且量得，，已知、分别是线段、的中点，那么线段的长度是（    ）A.         B.         C.      D.                                                      （东城区期末）⑵ 若线段，点C是线段AB的中点，点D是直线AB上的一点，且，则线段CD的长是          ．【解析】       ⑴ C； ⑵ 或 【演练3】   如图，已知，在直线的两侧，在上找一点，使最小．         【解析】       如图，连接，与的交点即为所求的点，利用“两点之间线段最短”，不妨在其他处取一点，显然． 知识模块二  角 课后演练 【演练4】   ⑴ 如果两个等角互余，那么其中一个角的度数为（    ）A．     B．     C．     D．不确定（海淀区期末）⑵ ⑶ 【解析】       ⑴ B； ⑵ ； ⑶  【演练5】   ⑴ 一个角与角之和的等于角的余角，求．⑵ 一个角的余角的倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数．【解析】⑴ ，．⑵ 设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，由题意，得：，解得：． 【演练6】   ⑴ 如图：是直角的角平分线，是的角平分线，若，求的度数．        ⑵ 如图，直线，相交于点，作，平分，若，求．【解析】       ⑴ ．⑵ ，．