高考数学三轮冲刺考前20天终极冲刺攻略： 圆锥曲线 含答案解析

这是一份高考数学三轮冲刺考前20天终极冲刺攻略： 圆锥曲线 含答案解析，共14页。试卷主要包含了已知F为抛物线C，中恰有三点在椭圆C上.等内容，欢迎下载使用。

1．（2017高考新课标I，理10）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
2．（2017高考新课标I，理15）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .
3．（2017高考新课标I，理20）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
4.(2016高考新课标I，理5)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
5.(2016高考新课标III，理11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A．B．C．D．
6.(2016高考新课标II，理11)已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为
A． B． C． D．2
7.(2016高考新课标I，理10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
A．2 B．4 C．6 D．8
8. (2015高考新课标I，理5)已知M()是双曲线C：上的一点，是C的两个焦点，若，则的取值范围是
A.(，) B.(，)
C.(，) D.(，)
9.(2016高考新课标III，理20) 已知抛物线：的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
10.（2016高考新课标I，理20）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
1．椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为
A． B．
C．或 D．或
2．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，且斜率为2的直线与 SKIPIF 1 < 0 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________．
3．已知抛物线的焦点为.
(1)若斜率为的直线过点与抛物线交于两点,求的值;
(2)过点作直线与抛物线交于两点,且,求的取值范围.
1．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为_______________．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线截椭圆形成的弦长为，且椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，且，则当取得最小值时，求直线的方程.
真题回顾：
1.A【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，同理直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点满足 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义可知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）时，取等号.
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
2. SKIPIF 1 < 0 【解析】如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的渐近线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，代入计算得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是 SKIPIF 1 < 0 ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是 SKIPIF 1 < 0 .
3.（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得.
由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而.由题设，故.即.解得.
当且仅当时，，于是l：，即，所以l过定点（2，）.
4.A【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是．
5.A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得，.设OE的中点为N，则，则，即，整理，得，所以椭圆C的离心率．
【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．
6.A【解析】因为垂直于轴，所以，因为，所以，化简得，故双曲线的离心率.
7.B【解析】如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4.
8.A【解析】由题知，，所以= =，解得.
【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将表示为关于点M坐标的函数，利用点M在双曲线上，消去x0，根据题意化为关于的不等式，即可解出的范围，是基础题，将表示为的函数是解本题的关键.
9.由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.
（I）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则
.所以.
（II）设与轴的交点为，则.
由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.
10.（I）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（II）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
名校预测
1．【答案】C【解析】由题意知，得，不妨设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，联立两式解得，代入椭圆方程解得，，由此可得椭圆的方程为或.故选C．
2．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
3．【解析】(1)依题意,.设,则直线.联立,消去y得,则,则.由抛物线的定义可知,.
(2)设直线的方程为与曲线的交点为,∴.将的方程代入抛物线的方程,化简得,.∵,
∴.
又∵,∴恒成立,∴恒成立.∵,∴只需即可,解得.∴所求的取值范围为.
专家押题
1．【答案】D【解析】如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交准线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，分别过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则上式是关于 SKIPIF 1 < 0 的减函数，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
2． SKIPIF 1 < 0 【解析】如图，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题可知 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入①式，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
3. 【解析】（1）联立解得，故. 又，，解得，，
故椭圆的标准方程为.
（2）设，，故.当直线垂直于轴时，
，，且，此时.
当直线不垂直于轴时，设直线，联立
整理得，所以，，
故
.综上所述，的最小值为，此时直线的方程为.
椭圆（II）
双曲线（I）
抛物线（II）
直线与圆锥曲线（II）
1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.
2.从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.
3.从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.
1.椭圆
(1)椭圆的定义：平面上到两定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记做 SKIPIF 1 < 0 .
定义式： SKIPIF 1 < 0 .
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
(2)椭圆的标准方程：
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ；
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 .
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道 SKIPIF 1 < 0 之间的大小关系和等量关系： SKIPIF 1 < 0 .
(3)椭圆的图形及其简单几何性质
i)图形
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上

ii)
]
标准方程
几何性质
范围
顶点
焦点
对称性
离心率
椭圆
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
对称轴： SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，对称中心：
原点
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用 SKIPIF 1 < 0 计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于 SKIPIF 1 < 0 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.
2.双曲线
(1)定义：平面内，到两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之差的绝对值等于常数（小于 SKIPIF 1 < 0 ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双曲线的焦距，记做 SKIPIF 1 < 0 .
定义式： SKIPIF 1 < 0 .
要注意，常数小于两定点之间的距离.
(2)双曲线的标准方程：
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ；
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 .
说明：要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程，知道 SKIPIF 1 < 0 之间的大小关系和等量关系： SKIPIF 1 < 0 .
(3)双曲线的图形及其简单几何性质
i)图形
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上

ii)
标准方程
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
范围
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
顶点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
焦点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
渐近线
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
对称性
对称轴： SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴；对称中心：原点
离心率
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
注意：求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程.
求双曲线的离心率主要的方法有：根据条件分别求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用 SKIPIF 1 < 0 计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于 SKIPIF 1 < 0 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.
渐近线是双曲线特有的特征，双曲线的渐近线方程可以根据双曲线的标准方程求解，令双曲线标准方程中的 SKIPIF 1 < 0 ，得到渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
3.抛物线
(1)定义：平面内与一个定点 SKIPIF 1 < 0 和一条定直线 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 SKIPIF 1 < 0 叫做抛物线的焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 叫做抛物线的准线.
定义式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为动点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离.
(2)抛物线的标准方程
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上： SKIPIF 1 < 0 ；
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上： SKIPIF 1 < 0 ；
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上： SKIPIF 1 < 0 ；
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上： SKIPIF 1 < 0 .
(3)抛物线的图形及其简单几何性质
标准
方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
焦点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
准线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
范围
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
对称轴
SKIPIF 1 < 0 轴
SKIPIF 1 < 0 轴
顶点
SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0
焦半径
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，抛物线的通径长为 SKIPIF 1 < 0 ；抛物线焦点弦的常用结论：设 SKIPIF 1 < 0 是过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的弦，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，弦长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等.
4.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离.位置关系的判定方式：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，通过判别式 SKIPIF 1 < 0 进行判别.要注意，若直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点；若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则直线与抛物线相交，且只有一个交点.
(2)直线与圆锥曲线相交的弦长问题：弦长公式： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(3)已知直线与圆锥曲线相交所得弦的中点，则该弦所在直线方程的表示方式：
i)利用点斜式设出直线方程，联立方程，消元后根据根与系数的关系及中点坐标公式建立关于直线斜率的方程，求解方程即可.
ii)利用点差法，设弦的端点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，代入曲线方程，然后作差，利用两点坐标求斜率公式，得到斜率，再利用点斜式写出直线方程.
(4)圆锥曲线中有关定点、定值的问题：一般可以根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件建立方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点的坐标；也可以先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.
(5)圆锥曲线中的最值、范围问题：一是根据题中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中 SKIPIF 1 < 0 的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量，如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值.