2024湖北省部分学校高三上学期8月起点考试数学试题含答案

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D. 

2.已知，则（    ）

A.    B.    C.2    D.-2

3.设是实数，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

4.已知椭圆的离心率为，则（    ）

A.5    B.6    C.7    D.8

5.已知锐角满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.在中，点在线段上，，则（    ）

A.    B.    C.    D.1

8.已知实数满足，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据，的平均数为5，下列说法错误的是（    ）

A.的值不确定

B.乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍

C.两组样本数据的极差可能相同

D.两组样本数据的中位数可能相同

10.早期人们为了安全传输信息，采用如下加密方法：将26个英文字母依次用整数代表.设某个字母用整数代表，则被26除得到的余数代表的字母就是被加密后的字母，下列说法正确的是（    ）

A.原文加密成

B.密文的原文是

C.密文的原文是

D.存在某个字母加密后还是原字母

11.绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化.在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高.球缺的体积（，其中为球的半径，为球缺的高），下列说法正确的是（    ）

A.石墩上､下两部分的高之比为

B.石墩表面上两点间距离的最大值为

C.每个石墩的体积为

D.将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为

12.设函数，若，且，则的值可以是（    ）

A.3    B.4    C.5    D.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知过点作圆的切线，则切线长为__________.

14.函数的部分图象如图所示，则__________.

15.从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有__________种不同的选法.（用数字作答）

16.已知直线与双曲线相切于点，且与的两条渐近线分别交于两点，则__________.（用含的式子表示）.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，角的对边分别为.

（1）求；

（2）若，求的面积.

18.（12分）

已知数列满足，且.

（1）证明：是等差数列.

（2）设，求数列的前项和.

19.（12分）

如图，在四棱锥中，平面.

（1）证明：平面平面.

（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.

20.（12分）

小明玩摸球游戏，袋子里面装有形状和大小相同的红球､白球和绿球若干个，每次都是有放回地摸一个球，若首次摸到的是红球，爸爸就奖励小明2元，并规定：若连续摸到红球，则下次摸到红球的奖励是上次的两倍；若某次摸到其他球，则该次无奖励，且下次奖金重置为2元.已知小明每次摸到红球的概率是，且每次能否摸到红球相互独立.

（1）试问至少要摸几次球，才能使摸到红球的概率不小于？

（2）若小明连续摸球3次，记获得的总奖金为元，求.

21.（12分）

已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与交于两点，当时，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设线段的中垂线与轴交于点，抛物线在两点处的切线相交于点，设两点到直线的距离分别为，求的值.

22.（12分）

已知函数.

（1）当时，求的图象在点处的切线方程；

（2）若，证明：当时，.

高三数学考试参考答案

1.D 因为或，所以.

2.B 因为，所以.

3.A 若，则，若，则，即，当时，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件.

4.B 因为，所以.

5.A 由，得.因为，所以，则.

6.D 设，取的中点，连接，则为异面直线与所成的角或补角.

易求，

所以.

7.C 因为，所以，则.

8.B 由，得，则，所以，即.设，则0，可知在上为增函数，所以，则，即.令，则，所以在上为减函数，在上为增函数，可得.

9.ABC 由题意可知，，故A错误；易知乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的倍，故错误；不妨设，则甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，所以两组样本数据的极差不同，故C错误；设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的中位数可能相同，故D正确.

10.AB 原文对应的数字分别为0，1，每个数乘以3加1后变为数字1，4，除以26得到的余数分别为1，4，所以密文为正确.假设密文对应的数为，则，密文对应的，当时，得，原文是；密文对应的，当时，得，原文是，即密文的原文是正确.密文为，则，所以原文为错误.假设存在某个字母加密后还是原字母，设这个字母对应的整数为，则，整理得，无整数解，错误.

11.ACD 如图，设球缺的球心为，由已知可得半径，

，所以，所以，A正确；，所以石墩表面上两点间距离的最大值为，B错误；由前面的计算可知上部分球缺的高，所以石墩的体积，C正确；设该球的半径为，则，解得，D正确.

12.BC 作出函数的图象，如图所示，设，由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，交点的横坐标分别为，且，当时，令，解得或.由图可知，.由，可得，所以，则有，所以.

令，易知在上为减函数，且，故，且.

13.4 设切点为，圆心为，则.

14. 根据图象可以得到，所以.因为，所以，即.

又，所以.

15.480 由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有种方法；当志愿组有4名男生，1名女生时，有种方法.共有种不同的选法.

16. 设，则，切线，联立方程组解得，同理可得，所以.

17.解：（1）由，得.

又，可知，所以.

由，得，

所以.

（2）由，得，

整理得，

解得.

又，

所以.

18.（1）证明：因为，所以，

所以，即

所以是以-1为公差的等差数列.

（2）解：由（1）知，所以，可得，

所以.

故.

19.（1）证明：因为平面，所以.

在Rt中可求得.

在中，因为，所以，

所以.

又平面，所以.

因为，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）解：因为平面，所以分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

由（1）知平面，

所以为平面的一个法向量.

设平面的法向量为，可得

令，得.

设平面与平面的夹角为，

则.

20.解：（1）设要摸次球，才能使摸到红球的概率不小于.

由题意得，

所以，

所以，即至少要摸4次球，才能使摸到红球的概率不小于.

（2）由题意可知，的可能取值为.

，

，

，

，，

所以的分布列为

.

21.解：（1）当时，直线的方程为，设，

联立方程组消去得，

所以，

所以，

解得，

所以抛物线的方程为.

（2）由（1）知，则，不妨设，线段的中点为，

联立方程组消去得，

所以.

易得，则的中垂线方程为，

令，得，所以，

所以.

切线.

联立方程组解得

由，得，

所以，所以，即，

所以点到直线的距离.

故.

22.（1）解：当时，，

则，

，

，

故所求切线的方程为.

（2）证明：（法一）当时，要证，只需证，

即要证.

令，则，则在上单调递增，所以，即.

令，则，

令，则在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以在上单调递增，所以.

故当时，.

（法二）当时，要证，只需证.

令，则，

易知，易证，所以，

则在上单调递增，所以，从而.