(要点归纳+夯实基础练) 第二节 匀变速直线运动规律-2023年高考物理一轮系统复习学思用

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第二节 匀变速直线运动规律
【要点归纳】
一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．图象：v－t图象说明凡图象是倾斜直线的运动一定是匀变速直线运动，反之也成立，即匀变速直线运动的v－t图象一定是一条倾斜的直线．
3．匀变速直线运动包括两种情形：
a与v同向，匀加速直线运动，速度增加；
a与v反向，匀减速直线运动，速度减小．
二、速度与时间的关系式
推导过程：对于匀变速直线运动，其加速度是恒定的，由加速度的定义式a＝可得Δv＝aΔt，从运动开始(t＝0)到时刻t，时间的变化量Δt＝t，速度变化量Δv＝v－v0，故v－v0＝at，得v＝v0＋at．
三、对速度公式v＝v0＋at的理解
1．公式v＝v0＋at的物理意义
对做匀变速直线运动的物体，描述其速度随时间的变化规律，即物体的速度与时间的变化成线性关系．
2．公式中各符号的含义
(1)v0为开始时刻物体的瞬时速度，称为初速度，v为经时间t后物体的瞬时速度，称为末速度．
(2)a为物体的加速度，为恒量，表明速度均匀变化，即相等时间内速度的变化量相等．
3．公式的适用条件
做匀变速直线运动的物体
4．矢量性
(1)公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．对计算结果中的正、负，应根据正方向的规定加以说明，如v＞0，表明末速度与初速度v0同向；若a＜0，表明加速度与v0反向．
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0反向时，物体做匀减速直线运动．
5．特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at，即v∝t(由静止开始的匀加速直线运动)．
(2)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)．
四、匀变速直线运动的位移
1．匀变速直线运动的位移公式x=v0t＋at2
2．推导过程
如图所示，为匀变速直线运动的v－t图象，在时间t内的位移x在数值上等于图线与时间t轴所围面积．

v－t图象中直线下面的梯形OABC的面积S=(OC＋AB)·OA
把面积以及各条线段换成所代表的物理量，得x=(v0＋v)t
由速度公式v=v0＋at代入上式得x=v0t＋at2
五、对位移公式x=v0t＋at2的理解
1．适用条件：匀变速直线运动．
2．矢量性
公式x=v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．
运动情况
取值
若物体做匀加速直线运动
a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动
a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值
说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值
说明位移的方向与规定的正方向相反
3．特殊情况
(1)x=vt(匀速直线运动)
(2)x=at2(由静止开始的匀加速直线运动)
六、匀变速直线运动位移与速度的关系
1．公式推导
我们把速度公式v=v0＋at，变为t=，代入位移公式x=v0t＋at2可得v2－v=2ax
这就是匀变速直线运动位移与速度的关系式．
2．关系式的应用
(1)公式v2－v=2ax是根据匀变速直线运动的两个基本关系式推导出来的，但因为不含时间变量，所以在某些问题中应用很方便．
(2)公式在应用时也必须注意符号法则，公式中的v、v0、a、x也要规定统一的正方向，一般选初速度方向为正方向．
3．三个基本公式的选择
公式v=v0＋at，x=v0t＋at2，v2－v=2ax中包含五个物理量，它们分别为：初速度v0，加速度a，运动时间t，位移x和末速度v，在解题过程中选用公式的基本方法为：
(1)如果题目中无位移x，也不让求位移，一般选用速度公式v=v0＋at；
(2)如果题中无末速度v，也不让求末速度，一般选用位移公式x=v0t＋at2；
(3)如果题中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式v2－v=2ax.　　
由③④得：=v
七、对位移—速度关系式的理解
1．位移与速度的关系式：v2－v=2ax为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向：
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
(2)位移x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反．
2．适用范围：匀变速直线运动．
3．特例
(1)当v0=0时，v2=2ax
物体做初速度为零的匀加速直线运动．
(2)当v=0时，－v=2ax
物体做匀减速直线运动直到静止．
八、匀变速直线运动的推论
1．平均速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即=v=.
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由x=v0t＋at2得，① 平均速度==v0＋at ②
由速度公式v=v0＋at，当t′=时v=v0＋a ③
由②③得=v④ 又v=＋a⑤
由③④⑤解得v=⑥所以==.
2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx=xⅡ－xⅠ=aT2
推导：时间T内的位移x1=v0T＋aT2①
在时间2T内的位移x2=v02T＋a(2T)2②则xⅠ=x1，xⅡ=x2－x1③
由①②③得Δx=xⅡ－xⅠ=aT2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．
3．某段位移中点的瞬时速度等于初速度和末速度的平方和的一半的平方根，即v=.
4．初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T为等时间间隔)
(1)1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶……∶vn=1∶2∶3∶……∶n
由速度公式v=at，得v1=aT，v2=2aT，v3=3aT，……，vn=naT
所以v1∶v2∶v3∶……∶vn=1∶2∶3∶……∶n
(2)1T内、2T内、3T内、……nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶……∶xn=12∶22∶32∶……∶n2
由位移公式x=at2得x1=aT2，x2=a(2T)2，x3=a(3T)2，……，xn=a(nT)2
所以x1∶x2∶x3∶……∶xn=12∶22∶32∶……∶n2
(3)第1个T内，第二个T内，第三个T内，……，第n个T内位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn=1∶3∶5∶……∶(2n－1)
由位移公式x=at2得xⅠ=aT2，xⅡ=a(2T)2－aT2=aT2，xⅢ=a(3T)2－a(2T)2=aT2，
……，xn=a(nT)2－a[(n－1)T]2=aT2
所以xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn=1∶3∶5∶……∶(2n－1)
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶……∶tn=1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
由x=at2知t1=
通过第二段相同位移所用时间t2= － = (－1)
同理t3= － = (－)……tn= (－)
则t1∶t2∶t3∶……∶tn=1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
九、自由落体运动
1．定义：物体只在重力作用下从静止开始的下落运动．
2．运动性质：初速度为零的匀加速直线运动．
3．特点
(1)初速度为零．
(2)受力特点：只受重力作用，无空气阻力或空气阻力可以忽略不计．
(3)加速度就是重力加速度，a＝g，大小不变，方向竖直向下．
(4)运动特点：是初速度为零的匀加速直线运动．
十、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，物体做自由落体运动的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度．
2．方向：竖直向下的．
3．大小：在地球上的不同地方，自由落体加速度的大小略有不同．在地球表面上，从赤道到两极，自由落体的加速度逐渐增大，在赤道上最小，为9.780 m/s2；在两极最大，为9.832 m/s2．在地球上同一地方的不同高度上，自由落体加速度的大小也略有不同，随高度的升高，重力加速度逐渐减小，但在高度相差不太大时，不需要考虑重力加速度的微小差异．
十一、自由落体运动的规律
(1)速度公式：v＝gt．
(2)位移公式：x＝gt2．
(3)速度位移关系式：v2＝2gx．
(4)连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT2．
(5)平均速度：＝．
(6)若从开始运动时刻计时，划分为相等的时间间隔T，则有如下比例关系
①T末、2T末、3T末……瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶……
②T内、2T末内、3T内……位移之比x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……
③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶……
(7)若从运动起点(初位置)划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系
①连续相等的位移末的瞬时速度v1∶v2∶v3∶……＝1∶∶∶……
推证：由v2－v＝2ax可直接得到．
②通过连续相等的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶……＝1∶(－1)∶(－)∶……
【夯实基础练】
1．(2022•四川省南充高级中学高三(上)第一次月考)下列说法，不正确的是(　　)
A．变速直线运动的物体加速度减小，速度可能增大
B．瞬时速度大小叫瞬时速率，平均速度大小就叫平均速率
C．对同一段匀变速直线运动，中间时刻的速度一定小于这段位移中点的速度
D．正在比赛中的体操运动员，在裁判员的眼中不能视为质点
【解析】 A．变速直线运动的物体加速度减小，加速度方向和速度呈锐角，速度增大，A正确；
B．瞬时速度大小叫瞬时速率，平均速度大小不叫平均速率，平均速度等于位移与时间的比值，平均速率等于路程与时间的比值，B错误；
C．对同一段匀变速直线运动，中间时刻的速度一定小于这段位移中点的速度，C正确；
D．正在比赛中的体操运动员，在裁判员的眼中不能忽略运动员的形状、大小，故不能视为质点，D正确。此题选择错误的，故选B。
【答案】 B
2．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时，屏幕显示的动车速度是126km/h动车又前进了3个里程碑时，速度变为54km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度大小和它还要行驶多远才能停下来，下列结果正确的是(　　)
A．加速度大小为m/s2，还要行驶675m才能停下来
B．加速度大小为m/s2，还要行驶450m才能停下来
C．加速度大小为m/s2，还要行驶675m才能停下来
D．加速度大小m/s2，还要行驶450m才能停下来
【解析】 根据题意，由匀变速直线运动规律可得，动车加速度大小为，则还需行驶的距离为，故选A。
【答案】 A
3．(2022•上海市奉贤区高三(上)一模)雨滴由屋檐静止开始竖直下落，则它在相等时间内(　　)
A．若忽略空气阻力，下落高度一定相同
B．若忽略空气阻力，速度变化一定相同
C．若考虑空气阻力，下落高度一定相同
D．若考虑空气阻力，速度变化一定相同
【解析】 AC．若忽略空气阻力，雨滴做自由落体运动，有，易知，在连续相等的时间内下落的高度依次增加，如，所以下落高度不一定相同。同理，若考虑空气阻力，阻力随速度增加而增加，雨滴做变加速直线运动，下落高度一定不相同。故AC错误；
BD．若忽略空气阻力，雨滴做自由落体运动，速度变化为，在相等时间内一定相同，若考虑空气阻力，雨滴的加速度一直变化，速度变化一定不相同。故B正确；D错误。故选B。
【答案】 B
4．(2022·山东济南市高三(下)一模)如图所示，某学习小组利用刻度尺估测反应时间∶甲同学捏住刻度尺上端，使刻度尺保持竖直，刻度尺零刻度线a位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开刻度尺时，立即用手指捏住刻度尺，根据乙手指所在位置的刻度值即可算出反应时间。为简化计算，某同学将刻度尺刻度进行了改进，在刻度尺的反面标记反应时间的刻度线和刻度值(单位：s)，制作了“反应时间测量仪”。下列四幅示意图中刻度线和刻度值标度可能正确的是(　　)

A． B． C． D．
【解析】 自由落体的物体在连续的相等的时间内位移之比是1:3:5，由此刻度尺的反面标记反应时间的刻度线和刻度值应按C项排列，故选C。
【答案】 C
5．(2022•云南省昆明市第一中学第七次仿真模拟)(多选)冰壶(Curling), 又称冰上溜石、掷冰壶,是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被大家喻为冰上的“国际象棋”，为冬奥会比赛项目,它考验参赛者的体能与脑力，展现动静之美、取舍之智慧。在某次比赛中,冰壶投出后做匀减速直线运动，经过20 s停止，已知倒数第3 s内的位移大小为1.0 m，下列说法中正确的是(　　)

A．冰壶的加速度大小为0.3 m/s2 B．冰壶的加速度大小为0．4 m/s2
C．冰壶第1 s末的速度大小为5.7 m/s D．冰壶第1 s内的位移大小为7.8 m
【解析】 AB．整个过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动，倒数第3 s内的位移大小为1.0 m，则，代入数据得a=0.4m/s2，故A错误，B正确；
CD．由速度公式可知初速度为v0=at0=0.4×20m/s=8m/s，所以在1s末的速度为v1=v0-at1=8m/s-0.4×1m/s=7.6m/s，而第1s内的位移，故C错误，D正确。故选BD。
【答案】 BD
6．(2022•四川省南充高级中学高三(上)第三次月考)一辆小汽车在刹车过程中的位置与时间的关系满足x=5+40t-5t2，则(　　)
A．刹车时间需要5s
B．加速度大小为5m·s-2
C．初速度为40m·s-1
D．6s内的位移是65m
【解析】 ABC．根据，可知，初速度v0=40m/s，加速度a=-10m/s2，汽车速度减为零的时间为，故C正确AB错误；
D．因为只刹车4s，所以6s内的位移是，故D错误；故选C。
【答案】 C
7．(2022•上海市南洋模范中学高三(下)4月适应练习)伽利略在《关于两门新科学的对话》中写道：“我们将木板的一头抬高，使之略呈倾斜，再让铜球由静止滚下……为了测量时间，我们把一只盛水的大容器置于高处，在容器底部焊上一根口径很细的管子，用小杯子收集每次下降时由细管流出的水，然后用极精密的天平称水的重量……”。若将小球由静止滚下的距离记为L，对应时间内收集的水的质量记为m，则m与L的比例关系为(　　)
A． B． C． D．
【解析】 铜球做初速度为零的匀变速直线运动，由位移公式有，得，由于水是均匀稳定的流出，水的体积和时间成正比，又，所以水的质量与时间成正比，即，所以量筒中收集的水量可以间接的测量时间，即，所以，即有，故选C。
【答案】 C
8．(2022•天津市耀华中学高三(上)第三次月考)高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离．某汽车以21.6km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆．已知司机的反应时间为0.7s，刹车的加速度大小为5m/s2，则该ETC通道的长度约为(　　)

A．4.2m B．6.0m C．7.8m D．9.6m
【解析】 汽车的速度21.6km/h＝6m/s，汽车在前0.3s+0.7s内做匀速直线运动，位移为：x1＝v0(t1+t2)＝6×(0.3+0.7)＝6m，随后汽车做减速运动，位移为：3.6m，所以该ETC通道的长度为：L＝x1+x2＝6+3.6＝9.6m，故ABC错误，D正确
【答案】 D
9．(2022•华南师范大学附属中学一模)某校羽毛球运动员进行了如图所示的原地纵跳摸高训练。已知质量的运动员原地静止站立(不起跳)摸高为2.10m，比赛过程中，该运动员先下蹲，重心下降0.5m，经过充分调整后，发力跳起摸到了2.90m的高度。若运动员起跳过程视为匀加速运动，忽略空气阻力影响，g取10m/s2，则运动员(　　)

A．起跳过程中，位移随时间均匀增加
B．起跳过程的平均速度与离地上升到最高点过程的平均速度等大反向
C．运动员在最高点时处于平衡状态
D．从开始起跳到双脚落地需要1.05s
【解析】 A．起跳过程中，位移随时间的平方均匀增加，故A错误；
B．起跳过程中运动员的速度由零增大到最大速度v，离地上升到最高点的过程中，运动员的速度再由v减小到零，根据匀变速运动的平均速度公式，可知起跳过程的平均速度与离地上升到最高点过程的平均相等，故B错误；
C．运动员在最高点时仅受重力，不处于平衡状态，故C错误；
D．运动员双脚离地后做竖直上抛运动，由题意可知上升高度为，做竖直上抛的时间为，运动员双脚离地时的速度大小为，运动员起跳过程过程中重心向上运动的高度为h=0.5m，则这一过程所用时间为，所以从开始起跳到双脚落地需要，故D正确。故选D。
【答案】 D
10．一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1s、2s、3 s，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是(　　)
A．1∶22∶32,1∶2∶3 B．1∶23∶33,1∶22∶32
C．1∶2∶3,1∶1∶1 D．1∶3∶5,1∶2∶3
【解析】 根据位移公式x＝at2，从开始运动起，连续通过的三段位移分别为x1＝at12＝a、x2＝a(t2＋t1)2－at12＝4a、x3＝a(t3＋t2＋t1)2－a(t1＋t2)2＝a，再根据平均速度公式可得选项B正确．
【答案】 B
11．一个质点正在做匀加速直线运动，用固定的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s．分析照片得到的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2 m；在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8 m，由此不可求得(　　)
A．第1次闪光时质点的速度 B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移 D．质点运动的初速度
【解析】 如图所示，x3－x1＝2aT 2，可求得a 而v1＝－a·可求．

x2＝x1＋aT2＝x1＋＝
也可求，因不知第一次闪光时已运动的时间和位移，故初速度v0不可求．
【答案】 D
12．有一列火车正在做匀加速直线运动．从某时刻开始计时，第1分钟内，发现火车前进了180 m．第6分钟内，发现火车前进了360 m．则火车的加速度为(　　)
A．0.01 m/s2 B．0.05 m/s2 C．36 m/s2 D．180 m/s2
【解析】 由逐差法得x6－x1＝5aT2，所以a＝＝0．01 m/s2，A对．
【答案】 A
13．一个小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点，不计空气阻力．已知它经过b点时的速度为v，经过c点时的速度为3v，则ab段与ac段位移之比为(　　)
A．1∶3　　　　　　 B．1∶5 C．1∶8 D．1∶9
【解析】 经过b点时的位移为xab＝，经过c点时的位移为xac＝，
所以xab∶xac＝1∶9，故选D.
【答案】 D
14．(多选)从足够高处释放一石子甲，经0.5s，从同一位置再释放另一石子乙，不计空气阻力，则在两石子落地前，下列说法中正确的是(　　)
A．它们间的距离与乙石子运动的时间成正比
B．甲石子落地后，经0.5 s乙石子还在空中运动
C．它们在空中运动的时间相同
D．它们在空中运动的时间与其质量无关
【解析】 两石子做自由落体运动，设t时刻甲下落的高度为h1＝gt2，则乙下落的高度为h1＝g(t－0.5)2，它们之间的距离h1－h2＝g(t－0.25)＝g[(t－0.5)＋0.25]与乙石子运动的时间(t－0.5)不成正比，A错误；由于两石子下落的高度相同，因此下落的时间相同，甲石子落地后，经0.5 s乙石子刚好落地，B错误，C正确；由于不计空气阻力，由t＝ 可知，两石子在空中运动的时间与质量无关，D正确．
【答案】 CD
15．做匀加速沿直线运动的质点在第一个3 s内的平均速度比它在第一个5 s内的平均速度小3 m/s，则质点的加速度大小为（ ）
A．1 m/s2       B．2 m/s2         C．3 m/s2          D．4 m/s2
【解析】 根据结论“做匀变速直线运动的物体的平均速度等于中间时刻的瞬时速度”可知，，选项C正确。
【答案】 C
16．(2022•辽宁省沈阳市第二中学高三(下)四模)一名外墙清洁员乘坐吊篮从地面开始以2m/s的速度匀速上升，中途一个小物体从吊篮上掉落，随后2s清洁员听到物体落地的声音，忽略空气阻力对物体运动的影响，此时吊篮离地面的高度约为(　　)
A．15m B．20m C．24m D．30m
【解析】 设物体掉落时吊篮离地面的距离为h1，物体掉落后做竖直上抛运动，初速度大小为，忽略声音在空中传播经历的时间，则物体在空中运动的时间为。规定竖直向下的方向为正方向，由运动学公式可得，解得，吊篮匀速上升，故物体在空中运动的过程吊篮上升的距离为，故此时吊篮离地面的高度约为，故选B。
【答案】 B
17．(2022•四川外国语学校一模)要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段长为L＝115m的平直道路，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道，有关数据见表格。求：
(1)若摩托车由静止加速到最大速度v1然后再减速到v2，位移为多大？
(2)为保证安全，摩托车在直道上行驶的最短时间为多少？
启动加速度a1
5m/s2
制动加速度a2
10 m/s2
直道最大速度v1
40 m/s
弯道最大速度v2
20 m/s
【解析】 (1)根据 则摩托车由静止加速到最大速度v1然后再减速到v2，
位移为
(2)因为L＝115m＜220m，所以摩托车不能达到v1＝40m/s
设最大速度为vm，先加速再减速用时最短，解得vm＝30m/s
所以最短时间为
【答案】 (1)220m；(2)7s
18．以36km/h的速度行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车在刹车后第2s内的位移是6.25 m，则刹车后5 s内的位移是多少？
【解析】　设汽车的运动方向为正方向，初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，据位移公式x＝v0t＋at2得第2 s内的位移x＝v0t2＋at22－v0t1－at12＝v0(t2－t1)＋a(t22－t12)即6.25＝10×(2－1)＋a(4－1)，解得a＝－2.5 m/s2.设刹车后经过t s停止运动，则t＝＝ s＝4s.可见，刹车后5 s的时间内有1 s是静止的，故刹车后5 s内的位移为x′＝v0t＋at2＝[10×4＋×(－2.5)×16]m＝20 m.
【答案】　20 m
19．质点做匀减速直线运动，在第1s内位移为6 m，停止运动前的最后1s内位移为2m，求：(1)在整个减速运动过程中质点的位移大小．(2)整个减速过程共用多少时间．
【解析】 (1)设质点做匀减速运动的加速度大小为a，初速度为v0.由于质点停止运动前的最后1 s内位移为2 m，则x2＝at22，所以a＝＝ m/s2＝4 m/s2.
质点在第1 s内位移为6 m，x1＝v0t1－at12，所以v0＝＝ m/s＝8 m/s.
在整个减速运动过程中质点的位移大小为：x＝＝ m＝8 m.
(2)对整个过程逆向考虑x＝at2，所以t＝ ＝ s＝2 s.
【答案】　(1)8 m　(2)2 s
20．一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点．跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)．从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是多少？(计算时可以把运动员看做全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2)
【解析】 由向上跃起的高度h1＝0.45 m
可求得向上跃起的时间为t1＝＝ s＝0.3 s①
设运动员从手到脚全长2l，双手向上立在跳台上时，重心位置O离跳台为l，手接触水面时重心位置O离水面也为l.运动员从最高点到将入水时，重心下降的高度h2＝H＋l＋h1－l＝H＋h1＝10.45 m②
下降过程的时间t2＝＝ s＝1.45 s③
所以运动员完成空中动作的时间为t＝t1＋t2＝0.3 s＋1.45 s＝1.75 s.
【答案】　1.75 s
21．一质点以一定初速度自一光滑斜面底端a点上滑，最高可到达b点，c是ab的中点，如右图所示，已知质点从a至c需要的时间为t0，问它从c经b再回到c，需要多少时间？

【解析】　可将质点看做由b点开始下滑的匀加速直线运动，已知通过第二段相等位移ca的时间，求经过位移bc所需时间的2倍．则由v0＝0的匀加速直线运动在通过连续相等位移的时间比公式：tbc∶tca＝1∶(－1)得：tbc＝＝(＋1)t0，2tbc＝2(＋1)t0.
【答案】 2(＋1)t0
22．一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则相邻小球开始下落的时间间隔为多少？这时第3个小球和第5个小球相距多远？(g取10 m/s2)
【解析】　设相邻小球开始下落的时间间隔为T，则第1个小球从井口落至井底的时间t＝10T
由题意知h＝gt2＝g(10T)2
T＝ ＝ s＝0.5 s.
要求此时第3个小球和第5个小球的间距，可采用下面的方法．
解法一　由第3个小球下落时间t3＝8T，第5个小球下落时间t5＝6T，h＝gt2，得h3＝gt，h5＝gt
Δh＝h3－h5＝gt－gt＝g(t－t)＝×10×28×0.52 m＝35 m.
解法二　由第3个小球和第5个小球的下落时间t3＝8T，t5＝6T知此时两球的瞬时速度分别为
v3＝gt3＝10×8×0.5 m/s＝40 m/s
v5＝gt5＝10×6×0.5 m/s＝30 m/s
根据匀变速直线运动公式v－v＝2ax得Δh＝＝ m＝35 m.
解法三　由第4个小球下落时间t4＝7T，得到此时第4个小球的瞬时速度v4＝gt4＝g·7T＝10×7×0.5 m/s＝35 m/s
因为做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，所以此时第3个小球至第5个小球这段时间内的平均速度＝v4＝35 m/s
这段时间内两球间距离Δh＝·2T＝35×2×0.5 m＝35 m.
解法四　利用初速度为零的匀加速直线运动的规律．
从时间t＝0开始，在连续相等的时间内位移之比等于以1开始的连续奇数比．从第11个小球下落开始计时，经T,2T，……9T,10T后它将依次到达第10个、第9个、……、第2个、第1个小球的位置，各个位置之间的位移之比为1∶3∶5∶……∶17∶19，所以这时第3个小球和第5个小球间距离．Δh＝h＝×125 m＝35 m.
【答案】　0.5 s　35 m