【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-期末专项复习4 八下新定义问题专项训练

期末专项复习4  八下新定义类问题专项训练

1．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．

【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；

【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；

【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．

2．（2022春•嵊州市期末）定义：在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，且点M，N在同一象限，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为点G，F，若|y1|＞|y2|，则过点M作y轴的垂线，交直线NF于点E，如图1．我们称矩形MEFG为过点M，N的伴随矩形．

已知：如图2，点A（1，3），点B是反比例函数图象上的两点．

（1）求k的值．

（2）若过点A，B的伴随矩形是正方形，求点B的坐标．

（3）若过点A，B的伴随矩形的面积是3，求点B的坐标．

3．（2022春•浙江期末）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求k的值．

（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．

①求这个“Z函数”的表达式；

②补画x＜0时“Z函数”的图象；

③并写出这个函数的性质（两条即可）．

4．（2022春•浙江期末）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：

（1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是 　       　，这个函数值y的取值范围是 　       　．

（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝﹣2的图象，画出函数y＝|﹣2|的图象；

（3）结合函数y＝|﹣2|的图象解答下列问题：

①求出方程|﹣2|＝0的根；

②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围．

5．（2022春•义乌市期末）在学习反比例函数的图象时，李老师提出：由反比例函数的表达式y＝，可以描述函数图象的一些特征吗？

学生甲：x与y都不能取0，所以这个函数图象与x轴、y轴都没有交点．

学生乙：x，y所取值的符号相同，所以这个函数图象经过第一、三象限．

学生丙：当x＞0时，x越大y越小，当x＜0时，x越小y越大．

李老师引导学生列表、描点画图象，验证三位同学的描述．

根据以上情境，我们探究函数y＝的图象：

（1）当x＝0时，y＝　   　，由x，y的取值范围，可判断该函数图象经过第 　   　象限．

（2）尝试取4个不同的x值，求相应y的值．试问：随着x的增大，y值怎样变化？

（3）由（1）（2）的结论，在平面直角坐标系xOy中，尝试画函数y＝的图象．

（4）请结合函数图象，求当直线y＝x+a（a为常数）与y＝的图象有两个交点时，a的取值范围．

6．（2022春•浙江期末）阅读理解：

【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”．

【材料二】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有．

问题解决：

（1）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；

（2）若M1（t，y1），M2（t﹣1，y2），M3（t+1，y3）三点均在函数（k为常数且k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“友好数”，求实数t的值；

（3）设三个实数x1，x2，x3是“友好数”且满足0＜x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0（n≠0）的两个根，x3是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点的横坐标．

①a+b+c的值等于 　   　；

②设，求y关于x的函数关系式．

7．（2022春•宁波期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．

（1）请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．

（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．

（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CD＝1，求AB的长．

8．（2022春•江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．

概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 　   　．

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：

　            　；　            　．

问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；

拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，

（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．

（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．

9．（2022春•余姚市期末）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形．

（1）如图1，在10×10的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形ABCD，点D也在格点上．

（2）如图2，以菱形ABCD的一边CD为边向外作正方形CDEF，M、N分别是菱形和正方形的对角线交点，连结MN．

①求证：四边形DMCN是等补四边形．

②若MN＝，求四边形DMCN的面积．

（3）如图3，在四边形ABFE中，AE∥BF，∠A＝90°，AE＝AB，点D在边AE上，DE＝BF，点C在边EF上，四边形ABCD为等补四边形，求AD与DE的比．

10．（2022春•北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．

（1）我们学过的对美四边形有 　     　、　       　．（写出两个）

（2）如图1，D为等腰△ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CF∥AB，以B为顶点作∠CBE＝∠ACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．

（3）如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD，DC∥AB．

①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四边形ABCD的面积．

②若AB⋅CD＝6，设AD＝x，BD＝y，试求出y与x的关系式．

11．（2022春•浙江期末）如图，如果一个矩形ABCD绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形AB'C′D'，O为对角线BD中点，若边B'C'与边BD恰好交于点O，我们称这样的旋转为有效旋转．此时边B'C'与边AD交于点E．

（1）如图1，如果矩形ABCD经过有效旋转后，点B'与O恰好重合，求的值．

（2）如图2，如果矩形ABCD经过有效旋转后，点B'与O不重合．

①判断是否为定值，并说明理由；

②若∠ABD＝α，AB＝2，求AE的长．