2022-2023学年度重庆市渝中区巴蜀中学九年级上学期入学数学试题

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2022-2023学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（上）入学
数学试卷
一、选择题（每题4分，共48分）
1. 如图，下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可；
【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解本题的关键．
2. 下列计算中，正确的是（　　）
A. a3+a3＝a6 B. a3•a3＝a6 C. (a3)2＝a5 D. a6÷a3＝a2
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则；同底数幂的除法，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加，计算即可．
【详解】解：A、a3+a3=2a3，故此选项错误，不符合题意；
B、a3•a3＝a6，故此选项正确，符合题意；
C、（a3）2＝a6，故此选项错误，不符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则．
3. 在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A. x≤﹣3 B. x≥﹣3 C. x＜﹣3 D. x＞﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可.
【详解】解:根据题意得:x+3≥0
解得:x≥-3
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查二次根式及不等式知识,解题时只需找出函数有意义必须满足的条件列出不等式即可,对于一些较复杂的函数一定要仔细.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
4. 下列调查中，不适宜采用全面调查方式的是（　　）
A. 疫情期间对进入商场人员的渝康码检查
B. 调查某班学生的校服尺码
C. 调查一批最新型炮弹的杀伤半径
D. 对“神舟十三号”飞船的零部件检查
【答案】C
【解析】
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】解：A、疫情期间对进入商场人员的渝康码检查，适宜采用全面调查，故不符合题意；
B、调查某班学生的校服尺码，适宜采用全面调查，故不符合题意；
C、调查一批最新型炮弹的杀伤半径，不适宜采用全面调查，故符合题意；
D、对“神舟十三号”飞船的零部件检查，适宜采用全面调查，故不符合题意．
故选：C
【点睛】本题主要考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握如何选择调查方法要根据具体情况而定是解本题的关键．
5. 如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（　　）

A. 68° B. 64° C. 58° D. 56°
【答案】D
【解析】
【分析】根据切线性质求出∠PAO＝∠PBO＝90°，圆周角定理求得∠AOB，再根据四边形内角和定理即可求得．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∵∠ACB＝62°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，
∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，
故选：D．
【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，解题的关键熟记同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
6. 估计的值应在（　　）
A. 和之间 B. 和 之间 C. 和之间 D. 和之间
【答案】A
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出的近似值，进而得解．
【详解】


，
∴，
∴，
∴估计的值应在和之间．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键．
7. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　）

A. 7m B. 7.5m C. 8m D. 8.5m
【答案】C
【解析】
【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在中，令y=0得：
，
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
8. 阳光中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，两位同学在跑步中均保持匀速，则下列说法错误的是（　　）

A. 小勇的平均速度为160米/分
B. 到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分
C. 小勇和小汪同时达到终点
D. 小汪和小勇的平均速度相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
A．小勇的平均速度为：（米/分），故说法正确，本选项不合题意；
B．到终点前2分钟，小汪的速度为：（米/分），（米/分），
所以到终点前2分钟，小汪速度比小勇的速度快90米/分，故说法错误，本选项符合题意；
C．小勇和小汪同时达到终点，故说法正确，本选项不合题意；
D．小勇和小汪的用时和距离相等，即两人平均速度相等，故说法正确，本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（　　）
A. B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】令，再根据一元二次方程根的判别式小于0列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴无交点，
∴方程无实根，
∴，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，将函数问题转化成方程问题是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则正方形的边长为（　　）

A. 8 B. 10 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，证明，再根据全等三角形的性质，得出，再根据旋转的性质和等腰三角形的性质，得出，再根据勾股定理，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵将边绕点逆时针旋转至，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长为．

故答案为：D
【点睛】本考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
11. 若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式组和分式方程，得出关于的范围及的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解，得出的范围，进而可得整数，再把整数相加即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解为：，
∴，
解得：；

解得：，
∵分式方程有正整数解，
∴是的约数，且，，，
解得：或或，
又∵，
∴符合条件的所有整数为、，
∴符合条件的所有整数和为：．
故选：C
【点睛】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解本题的关键．
12. 有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；下面4个结论中正确结论的个数为（　　）
①第4项为；
②；
③若第2022项的值为0，则；
④当时，第k项的值为．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得第1项为，第2项为，第3项为，，......根据变化规律解答即可．
【详解】解：根据题意：
第1项为，，，
第2项为，，，
第3项为，，，
.....．
∴第4项为，故①正确；
，故②错误；
若第2022项为0，则，
∴，
∴，即，故③正确；
当时，设（Ⅰ），
∴（Ⅱ），
（Ⅰ）（Ⅱ）得：，
∴，故④错误，
∴正确的有①③两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，数字的变化类规律探索，解题的关键是根据已知得到变化规律．
二、填空题（每题4分，共24分）
13. 计算： ______．
【答案】3
【解析】
【分析】负数的绝对值是它的相反数，任何数的零次方都是1，除零以外，据此求解即可．
【详解】解：
故答案为：3
【点睛】本题考查绝对值以及零次幂，熟记其运算是解题的关键．
14. 在四个完全相同的球上分别标上数字1、2、3、4，从这四个球 中随机取出一个球记所标数字为，放回后再随机取出一个球记所标数字为，则的概率为__________．
【答案】##0.375
【解析】
【分析】根据题意，画出树状图，得出共有种等可能的情况，其中的情况有种，再根据概率公式，计算即可．
【详解】解：画树状图如下：

∵共有种等可能的情况，其中的情况有种，
∴的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在找出所有等可能情况．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，以菱形的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，点C恰好在在上，点E是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为 _____（结果保留π）．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质得出，根据题意得出，求出是等边三角形，求出，求出高，再分别求出扇形的面积即可．
【详解】解：连接，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵以菱形的顶点A为圆心，的长为半径作圆，点C恰好在在上，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与x轴重合，顶点 A、D在抛物线上．若抛物线的顶点到x轴的距离比长4，则c的值为 _____．

【答案】6
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标为，再根据四边形为正方形，抛物线的顶点到x轴的距离比长4，可得点D坐标，然后代入解析式即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离比长4，
∴点A，D的纵坐标为，
∵四边形为正方形，
∴点D坐标为
将代入得
解得或（舍）．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质等知识点，掌握二次函数图像与系数的关系是解答本题的关键．
17. 如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】延长，交的延长线于M，延长，交的延长线于N．根据勾股定理可求，从而可求出．又易证，即可求得，结合勾股定理可求得的长．又易证，即可求得的长．再根据即可求得答案．
【详解】解：如图，延长，交的延长线于M，延长，交的延长线于N．

∵在中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵在中，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．
18. 江津花椒以“鲜香麻”闻名，深受重庆人民的喜爱． 其中甲品种最麻， 乙品种次之，丙 品种最后．去年，江津某县种植的甲、乙、丙三种品种的面积之比为 2：3： 5．今年 因需求量的增加，该县决定将其种植面积扩大．计划将扩大部分的 用于种植丙品种，则丙品种的种植面积将达到这三种花椒种植总面积的 ；扩大部分的剩余面积全部用 于种植甲品种和乙品种，为了使甲品种的种植面积与乙品种的种植面积之比达到 ，则该县种扩大种植甲品种的面积与该县种植这三种花椒的总面积之比是_______．
【答案】
【解析】
【分析】设原来三种花椒的种植面积为x，后来扩种的花椒的种植面积为y，根据题意得出x和y的关系式，再用含有x和y的关系式表示出甲品种的扩种面积及该县种植这三种花椒的总面积，然后整理计算即可．
【详解】解：设原来三种花椒的种植面积为y，后来扩种的花椒的种植面积为x，
由题意知，，
解得，
∵该县扩大种植甲品种的面积为，
该县种植这三种花椒的总面积为
∴该县扩大种植甲品种的面积与该县种植这三种花椒的总面积之比是
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程得出原来三种花椒的种植面积和后来扩种的花椒的种植面积之间的关系是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可；
（2）先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【小问1详解】



【小问2详解】




【点睛】本题主要考查分式混合运算，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E．

（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=∠BAD，②___________，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE与△CDF中

∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得，，根据平行四边形的性质得，即∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF．
【小问1详解】
解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求．
【小问2详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
故答案：，，，．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
21. 12月4日为国家宪法日，我校在当天开展了宪法知识竞赛活动，满分为100分，将学生的竞赛成绩分为四个等级（单位：分），分别是：
A：，B：；C：；D：
现从八年级和九年级参赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析．其中，八年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级的学生成绩为：88，81，86，82，87，83，89；
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有600名学生参赛，九年级有400名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人?
【答案】（1）；；
（2）九年级的成绩更好，理由见解析
（3）估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于分）的学生共有人
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义，可得和的值，用分别减去其它三个等级所占百分比，即可得出的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数做出判断即可；
（3）用样本估计总体，计算即可．
【小问1详解】
解：∵九年级等级的学生人数为（人），
等级的学生人数为（人），
∴九年级名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故中位数；
∵八年级名同学的成绩出现次数最多的是，
∴众数；
∵由题意，可得：，
∴，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：九年级的成绩更好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级，
∴九年级的成绩更好；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于分）的学生共有人．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解本题的关键．
22. 某小区为了改善绿化环境，计划购买、两种树苗共棵，其中 树苗每棵 元， 树苗每棵元． 经测算购买两种树苗一共需要元．
（1）计划购买 两种树苗各多少棵?
（2）在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降元（），且每降低 元，小区就多购买树苗棵，树苗棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了元，则该小区实际购买 树苗共多少棵?
【答案】（1）计划购买 树苗棵，树苗棵
（2）该小区实际购买 树苗共棵
【解析】
【分析】（1）设购买树苗棵，树苗棵，利用单价、数量与总价的关系，结合题意即可得到关于，的二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）利用单价、数量与总价的关系即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其符合题意的值代入中即可求出结论．
【小问1详解】
设购买树苗棵，树苗棵，根据题意得，


答：计划购买 树苗棵，树苗棵；
【小问2详解】
根据题意得，

整理得，

，(不符合题意，舍去)
，
答：该小区实际购买 树苗共棵．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出相应的二元一次方程组和一元二次方程是解本题的关键．
23. 如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（2）若点 ，连接 ，求 的面积；
（3）根据图像，直接写出当 时，自变量 的取值范围．
【答案】（1），，图象见解析
（2）27 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法可得解析式，描点连线即可画出图象；
（2）根据求得即可；
（3）根据图象可得答案．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象过点，
即，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
∵点在上，
∴，
∴，
∴，
又∵一次函数过A、B两点，
，
解得，
∴一次函数为；
在平面直角坐标系中画出一次函数的图象：
【小问2详解】
当时，，
∴一次函数与y轴的交点为，
∵，
∴；
小问3详解】
观察图象，当时，自变量的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，解题的关键是确定一次函数和反比例函数的解析式．
24. 对于任意一个四位数 ，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个 位数字的和，则称这个四位数 为 “天平数”，记 为 的各个数位上的数字之和．例如： 是“天平数”， ， 不是“天平数”．
（1）判断，是否为“天平数”，并说明理由；如果是“天平数”，求出 的值；
（2）已知 均为 “天平数”，其中 ，（， 是整数），，（, 是整数），若 ，求出满足条件的所有的 的值．
【答案】（1）是“天平数”， 不是“天平数”，理由见解析；
（2）或或
【解析】
【分析】（1）根据“天平数”的定义进行判断，根据的定义进行计算便可求得的值；
（2）由新定义与已知条件列出方程，再求出符合条件的的值便可．
【小问1详解】
是“天平数”， 不是“天平数”，理由如下：
∵，
∴是“天平数”，
∵，
∴5346不是“天平数”，
∴；
【小问2详解】
∵M，N是“天平数”，
∵,（是整数），
，
∴
∴，
∴
∵（是整数），
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
①，
可得，，b为奇数且，
∴或3或5，
∵，
∴，
由的范围知，，
∵，
∴
∵，
∴此时M的值不存在；
②，
可得，，b为偶数且，
∴或2或4或6，
∵，
∴，
即，
∴或6或4或2，
∵，
∴或2或1或0，
∵，
∴或2或1，此时，
即或2或4，或6或4，
∴或或，
∴M的值为4729或6529或8329．
【点睛】本题考查了新定义，不定方程的解，关键是正确理解新定义，根据题意列出方程．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其对称轴直线与x轴交于点 D．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积的最大值和此时点的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）的最大值为17，此时点P的坐标为
（3）点M的坐标为或或或，过程见解析
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点P作轴交于，如图1，设，则，得出，再运用二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据平移的性质可得，新抛物线的对称轴为直线，设，可得，又，由以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，画出图形，根据菱形的性质建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，其对称轴为直线，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：点与点关于对称轴直线对称，
，
，其对称轴直线与x轴交于点 D．
，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点H，如图，

设，则，
，
，
，
，，
当时，的最大值为17，此时点P的坐标为．
【小问3详解】
解：将该抛物线向左平移得到抛物线，且抛物线经过原点，
抛物线向左平移6个单位长度得到抛物线，
抛物线过点，
设抛物线的解析式为，
，解得，
，对称轴为直线，
抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，
，
设，
以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，
当时，

，
，
，
或，
点M的坐标为或，
当时，

，
，
，
点M的坐标为或，
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象上点坐标的特征，平移的性质，菱形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
26. 已知在中，，，点 为线段 上一点，连接．

（1）如图 1 所示，在右侧作等腰，其中，．当 ， 时，求的长；
（2）如图 2 所示，在右侧作等边，连接，点为 中点，连接 交 点 ．猜想线段 与之间存在的数量关系， 并证明你的猜想；
（3）如图 3， 点为中点，将沿翻折得到，连接，点 为的中点，连接．当的值最小时，连接、，直接写出的值．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图1中，过点作与点，证明推出，，解直角三角形求出，，可得结论；
（2）结论：，理由如下：如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，利用全等三角形的性质证明，，可得结论；
（3）如图3中，连接，取的中点，连接，，由，推出当点落在上，的值最小，如图4中，设，则，，，利用三角形的中线的性质求出的面积和四边形的面积，可得结论．
【小问1详解】
如图1中，过点作与点，

，
，
，
，
，，
，
在和中

，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
【小问2详解】
结论：，理由如下：
如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，

是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图3中，连接，取的中点，连接，

，，
定值，
是定值，
，
当点落在上，的值最小，如图4中，

设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题是解本题的关键．