2022-2023学年浙江省杭州市余杭区等多区县八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市余杭区等多区县八年级（下）月考数学试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中的最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用配方法解方程，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “求证：的两个锐角，中至少有一个不大于”用反证法证明这个命题时，应先假设(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  两年前，某校七班的学生平均年龄为岁，方差为，若学生没有变动，则今年升为九班的学生年龄中平均年龄和方差分别为(    )

A. 岁，改变 B. 岁，不变 C. 岁，改变 D. 不变，不变

6.  如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程(    )

A.  B.
C.  D.

7.  下列方程中有两个相等实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，中，是边的中点，平分，于，已知，，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形中，点是中点，点在边上，点关于的对称点为，连接，，若的边长为，当四边形是正方形时，(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，的延长线与交于点，的延长线与交于点．

有四个推断：

；

；

若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；

对于任意的，存在无数个四边形是矩形．正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  某班名同学中考体育测试的成绩如表所示：

若成绩的平均数为分，中位数是______ ，众数是______ ．

12.  已知矩形的周长为，面积为，则它的对角线长为______．

13.  如图，在菱形中，对角线与交于点，若，，则菱形的周长等于__________．
 

14.  二次项系数为，两个根分别为和的一元二次方程是______ ．

15.  如图，在中，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的周长是______ ．

16.  如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处 ______ ；若四边形是平行四边形，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简或计算：
；
．

18.  本小题分

解方程：

；                                                             ．

19.  本小题分
一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度和经过的水平距离可用公式来估计．
当球的水平距离达到时球上升的高度是多少？
当球的高度第一次达到时球的水平距离是多少？

20.  本小题分
某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛．知识竞赛满分为分，规定分及以上为“合格”，分及以上为“优秀”现将，两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下：
 

求出成绩统计表中，的值．
小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？
从平均分、合格率、优秀率、队内成绩的整齐性等方面进行综合评价，你认为集体奖应该颁给哪一队？

21.  本小题分
已知一元二次方程．
求证：该方程有两个实数根．
若方程的两根，满足，，求的取值范围．

22.  本小题分

如图，在中，点在边上，平分，点在边上，．

求证：四边形是菱形．

若，，点在线段上运动，请直接回答当点在什么位置时取得最小值，最小值是多少？

23.  本小题分
如图，正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点．
如图，点在线段上．
若，直接写出的大小用含的式子表示；
求与的数量关系，并说明理由．
如图，点在线段的延长线上求线段，和的等量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，解得．
故选：．
二次根式有意义，被开方数为非负数，即，解不等式求的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：求证：的两个锐角，中至少有一个不大于，
用反证法证明这个命题时，应先假设，，
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，，中至少有一个不大于的反面是，．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知七年级班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了岁，
所以今年升为九班的学生的平均年龄增加岁，即岁，
又因为学生的年龄波动幅度没有变化，
所以今年升为九班的学生年龄的方差不变，仍然为，
故选：．
由全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了岁，且学生的年龄波动幅度没有变化可得答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可知：大长方形的面积路的面积种花的面积，然后利用平移即可写出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：、原方程转化为一般式方程为，，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意；
B、原方程转化为一般式方程为，，方程有两个相等的两个实数根，故符合题意；
C、原方程转化为一般式方程为，，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意；
D、原方程转化为一般式方程为，，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意．
故选B．
只需将一元二次方程转化为一般形式，然后运用根的判别式就可解决问题．
本题考查了根的判别式．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长交于，

在和中，
，
≌
，，
，
，，
是的中位线，
，
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，连接，

四边形是正方形，
，平分，
为边的中点，
，
四边形是正方形，
，平分，
点，点，点三点共线，
，
故选：．
连接，连接，由正方形的性质可得，平分，，平分，可证点，点，点三点共线，即可求解．
本题考查了正方形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键．由“”可证≌，可得≌，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故错误，正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断错误，正确，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，与不一定相等，故错误，正确，
若四边形是菱形，
，
点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，
，
不存在四边形是菱形，故错误，
当时，则，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，故正确．  

11.【答案】   

【解析】解：平均数为，
，
，
即：，
，
，，
中位数，众数是．
故答案为：，．
首先根据平均数求得、的值，然后利用中位数及众数的定义求得和的值，从而求得的值即可．
本题考查了众数及中位数的定义，求得、的值是解答本题的关键，难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：设矩形的一边长为，则另一边长，
依题意有，
解得：，，
则或，
则它的对角线长为．
故答案为：．
设矩形的一边长为，则另一边长，利用面积为建立方程求解，再根据勾股定理进一步解答即可．
此题考查一元二次方程的实际运用，掌握矩形的性质，利用勾股定理，矩形的周长和面积计算公式解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的周长等于，
故答案为：．
依据菱形的性质求出的长，只要证明是等边三角形即可得到菱形的周长．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这个方程为，
一元二次方程的两个根分别为和，
，
，
解得，．
故所求方程为．
故答案为：．
先设方程为是常数，再根据两根之和或两根之积公式求出、的值，代入数值即可得到方程．
本题考查了根与系数的关系，已知方程的两个根求方程是考查根与系数的关系的一种常见题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，，
，
是的中点，，
，
在中，，
的周长，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：由折叠的性质可得：，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；．
根据折叠的性质证得，根据平行线的性质即可求解；根据折叠的性质和平行四边形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，翻折变换的性质．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】利用分母有理化进行计算，即可解答；
利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，即，
，
，；

，
，
或，
，． 

【解析】方程整理后，利用配方法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
 

19.【答案】解：球上升的高度是；
依题意有，
解得，舍去．
故球的水平距离是． 

【解析】把，直接代入计算即可求解；
把代入可得关于的方程，解方程即可求解．
  考查了一元二次方程的应用，是基础题型，代入法即可求解．
 

20.【答案】解：队成绩的平均分分，中位数分．
队的中位数为分高于平均分分，队的中位数分低于平均数分，
小明应该属于队；
应该颁给队，理由如下：
组的平均数和中位数高于队，优秀率也高于队，说明队的总体平均水平高于队；
队的中位数高于队，说明队高分段学生较多；
虽然队合格率高于队，但队方差低于队，即队的成绩比队的成绩整齐，
所以集体奖应该颁给队． 

【解析】结合条形图中的数据，根据平均数和中位数的概念求解即可；
由队的中位数为分高于平均分分，队的中位数分低于平均数分可得答案；
从平均分、合格率、优秀率及方差的意义求解即可．
此题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：一元二次方程，
，
该方程有两个实数根；
解：将代入方程，得
，
方程的两根，满足，
，
当时，上面的不等式无解；
当时，可得，
故的取值范围是． 

【解析】根据的值，可以判断该方程根的情况，故只要计算的值即可；
将代入方程，然后根据根与系数的关系和，即可求得的取值范围．
本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式和根与系数的关系解答．
 

22.【答案】证明：在▱中，，
即，
，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
点与点关于对称，
当点在点的位置时，取得最小值，最小值． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，，根据角平分线的定义得到，求得，于是得到四边形是菱形；
根据菱形的性质得到点与点关于对称，于是得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
；
．
理由如下：
如图，连接，

四边形是正方形，是对角线，
，，
又，
≌，
，，
，，
，
，
，
与的数量关系是：；
．
理由如下：
如图，过点作，交于，

又，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
≌，
，
又，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】根据正方形的性质和已知条件推出四边形中，与互补，从而得到与互补即可解决问题；
连接，判定≌，得到，然后根据全等三角形的性质和补角的定义推出，得到，即可推出与的数量关系；
过点作，交于，判定是等腰直角三角形，推出判定≌的条件，判定全等后推出，再根据等量代换和等腰直角三角形的斜边与直角边的数量关系即可推出线段，和的等量关系．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四边形的内角和等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．