高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.3 正态分布精品课时作业

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知识精讲
知识点01 正态曲线
定义∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”，称为正态曲线（钟形曲线），它对应的函数为，其中μ=E（X），σ=D(x).
2.性质∶
（1）正态曲线关于x=μ对称（即μ决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点；
（2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
（3）σ决定正态曲线的“胖瘦”∶σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.
3.面积∶正态曲线与x轴在区间[μ，μ+σ]内所围的面积约为0.3413，在区间[μ+σ，μ+2σ]内所围的面积约为0.1359，在区间[μ+2σ，μ+3σ]内所围的面积约为0.0215.r如图：
注意：（1）二项分布分布列的直观图的特点∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的性质.
（2）参数u是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.
【即学即练1】（2022·上海·华师大二附中）设X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
【答案】C
【分析】根据正态分布的密度曲线的性质及意义判断即可
【详解】解：由正态密度曲线的性质可知，
X∼N(μ1,σ12)、Y∼N(μ2,σ22)的密度曲线分别关于x=μ1、x=μ2对称，
因此结合所给图像可得μ1<μ2，∴P(Y≥μ2)又X∼N(μ1,σ12)的密度曲线较Y∼N(μ2,σ22)的密度曲线“瘦高”，所以0<σ1<σ2，
∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1)；故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数t，
P(X≤t)≥P(Y≤t)．故C正确，D错误．
故选：C．
【即学即练2】（2022·全国·）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,σ12，Nμ2,σ22，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为f(x)=12π⋅σe−(x−μ)22σ2，x∈R）
A．甲类水果的平均质量μ1=0.4kg
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
【答案】A
【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.
【详解】由题图可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，
所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A正确，C错误；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，σ越小，表示总体的分布越集中），
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即12π⋅σ2=1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．
故选：A．
知识点02 正态分布
1.定义：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ（x）对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X~N（u，σ2），此时φμ，σ（x）称为X的概率密度函数，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差.
正态分布在四个特殊区间内取值的概率若X~N（μ，σ2）则
（1）P（X≤μ）=P（X≥μ）=50%；
（2）P（|X-μ|≤σ）=P（u- σ≤X≤μ+σ）≈68.3%；
（3）P（|X-μ|≤2σ）=P（u- 2σ≤X≤μ+2σ）≈95.4%；
（4）P（|X-μ|≤3σ）=P（u- 3σ≤X≤μ+3σ）≈99.7%.
1.正态分布的3σ原则
由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上面可知在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率为4.6%，在(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%，于是正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
由3σ原则我们可以知道，随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率是非常小的，这种事件我们称为小概率事件．通常情况下，我们认为小概率事件是不可能发生的，一旦发生就认为系统有问题或不正常．
【即学即练3】已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(X>3)=16，则P(X>1)=（ ）
A．16B．13C．23D．56
【答案】D
【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果.
【详解】根据题意可得，PX>3=PX<1=16，
则P(X>1)=1−PX<1=1−16=56.
故选:D
【即学即练4】正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布N2,σ2（单位：m），PX<1.9=0.1，则PX<2.1=（ ）
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【分析】根据正态分布概率的对称性求解.
【详解】因为PX<1.9=PX>2.1=0.1，
所以P1.9所以PX<2.1=P1.9故选:D.
知识点03 标准正态分布
1.定义∶μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布.
2.φ（a）的概念∶如果X~N（0，1），那么对于任意a，通常记φ（a）=P（X3.φ（a）的性质：φ（- a）+φ（a）=1.
【即学即练5】（2020·黑龙江实验中学）如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，下面3个式子中：①12−Φ(−a)；②Φ(1−a)；③Φa−12；等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：Φ(a)=P(X≤a)
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据正态分布N~(0,1)的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是x=0，欲求图中阴影部分面积，只须求12−P(X≤−a)，再结合对称性进行代换即可求得答案.
【详解】∵Φ(−a)=P(X≤−a)
∴图中阴影部分的面积为12−P(X≤−a)=12−Φ(−a)
根据对称性可知阴影部分的面积为P(X≤a)−12=Φ(a)−12
∴①③正确，
故选：C.
【点睛】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
【即学即练6】(多选)（2022·江苏·滨海县五汛中学）（多选）若随机变量ξ~N0,1，Φx=Pξ≤x，其中x>0，下列等式成立的有（ ）
A．Φ−x=1−ΦxB．Φ2x=2Φx
C．Pξ≤x=2Φx−1D．Pξ>x=2−2Φx
【答案】ACD
【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知Pξ≤−x=Pξ≥x=1−Pξ≤x，
所以，Φ−x=1−Φx，A对；
对于B选项，Φ2x=Pξ≤2x<1<2Pξ≤x=2Φx，B错；
对于C选项，Pξ≤x=P−x≤ξ≤x=Pξ≤x−Pξ≤−x=Φx−Φ−x
=Φx−1−Φx=2Φx−1，C对；
对于D选项，Pξ>x=1−Pξ≤x=1−2Φx−1=2−2Φx，D对.
故选：ACD.
能力拓展
◆考点01 正太曲线及其性质的应用
【典例1】（2022·全国·）已知随机变量ξ~N0,1，令Φx=Pξ≤x，x>0，则下列等式正确的序号是（ ）
①Φx+Φ−x=1 ②Pξ≤x=1−2Φx
③Pξx=21−Φx
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
【答案】A
【分析】根据题意可得正态曲线关于ξ=0对称，再结合正态分布的密度曲线定义逐个分析判断即可.
【详解】因为随机变量ξ~N0,1，所以正态曲线关于ξ=0对称，因为Φx=Pξ≤x，x>0，
所以根据正态曲线的对称性可知Φx+Φ−x=1，Pξx=21−Φx，
所以①③④正确，②错误，
故选：A
【典例2】（2022·全国·）已知随机变量X服从正态分布X~N(8,σ2)，P(x≥10)=m，P(6≤x≤8)=n，则12m+4n的最小值为____________．
【答案】9+42##42+9
【分析】由正态分布的对称性可知m+n=12，从而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】∵随机变量X服从正态分布X~N(8,σ2)，
∴P(X≥8)=12，由P(x≥10)=m，P(6≤x≤8)=P(8≤x≤10)=n，
∴m+n=12，且m>0,n>0,则12m+4n=（12m+4n）（2m+2n)=9+nm+8mn≥9+2nm⋅8mn=9+42，当且仅当nm=8mn，即m=22−114,n=8−2214时等号成立．
12m+4n的最小值为9+42．故答案为：9+42.
【典例3】（2022·全国·）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Mivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从N9,σ2．若PX<10=0.91，则PX≤8=______．
【答案】0.09
【分析】利用正态分布图像的对称性，即可求得结果.
【详解】因为X近似服从N9,σ2，所以X的正态分布曲线关于x=9对称，故PX≤8=PX≥10=1−PX<10=1−0.91=0.09.
故答案为：0.09.
◆考点02 3σ原则
【典例4】（2022·全国·）随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（ ）
附：
A．0.8186B．0.4772C．0.84D．0.9759
【答案】A
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
【详解】由题意可得：P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)=0.9545,P(μ－σ≤X＜μ＋σ)=0.6827
∴P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)=12P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)+12P(μ−σ≤X＜μ＋σ)=0.8186
故选：A.
【典例5】（2022·浙江·宁波市北仑中学）设随机变量ξ~N(μ,1)，函数f(x)=x2+2x−ξ没有零点的概率是0.5，则P(0<ξ≤1)=（ ）
附：若ξ~Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545.
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
【答案】B
【分析】根据函数没有零点得到ξ的范围，然后结合正态曲线的对称性得到μ的值，结合正态曲线即可得到对应概率.
【详解】函数f(x)=x2+2x−ξ没有零点,即方程x2+2x−ξ=0无实根，
∴Δ=4+4ξ<0，即ξ<−1，又∵函数f(x)=x2+2x−ξ没有零点的概率是0.5，
∴ Pξ<−1=0.5，由正态曲线的对称性可知μ=−1，∴ξ~N(−1,1)
即μ=−1，σ=1，∴μ−σ=−2,μ+σ=0,μ−2σ=−3,μ+2σ=1
所以P(0<ξ≤1)=12P−3<ξ≤1−P−2<ξ≤0=0.9545−0.68272=0.1359
故选:B.
◆考点03 正太分布的应用
【典例6】（2022·湖南·安仁县第一中学）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间ξ近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本的平均数，经计算知σ≈2.39．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)与[9,11)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．
【答案】(1)a=0.12
(2)4093
(3)在[7,9)内的教职工平均人数为1，在[9,11)内的教职工平均人数2
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可得答案.
（2）先求得平均数，可得μ值，根据σ值，结合所给公式及数据，代入计算，可得P(7.45<ξ≤14.62)的值，根据总人数，即可得答案.
（3）根据分层抽样，可得[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，可得X所有取值，进而可得各个取值对应的概率，即可求得期望，进而可得[9,11)内人数的期望值，即可得答案
【详解】（1）由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1，
解得a=0.12．
（2）由题意知样本的平均数为4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+ 14×0.05×2=9.84，所以μ=9.84．
又σ≈2.39，所以P(7.45<ξ≤14.62)=P(μ−σ<ξ≤μ+2σ)= 12P(μ−σ<ξ≤μ+σ)+ 12P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈12×(0.6827+0.9545)=0.8186．则5000×0.8186=4093，
所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093．
（3）[7,9),[9,11)对应的频率比为0.24:0.36，即为2:3，所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C33C53=110，P(X=1)=C21C32C53=35，P(X=2)=C22C31C53=310，
所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65．则这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为1．
设从这5人中抽取的3人中学习时间在[9,11)内的人数为Y，
则Y=3−X，所以E(Y)=3−E(X)=3−65=95．
则这3人中学习时间在[9,11)内的教职工平均人数约为2．
【典例7】（2021·辽宁·沈阳二十中）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布Nμ,150，其中μ近似为样本平均数x
①利用该正态分布，求P187.8≤Z≤212.2．
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值Z位于区间187.8,212.2内的产品件数，利用①的结果，求EX．
附：150≈12.2．若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ【答案】(1)x=200(2)①0.68；②68
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）①由Z∼N200,150，结合3σ原则可求得结果；②根据X∼B100,0.68，由二项分布数学期望公式可求得结果.
【详解】（1）x=170×0.002+180×0.009+190×0.022+200×0.033+210×0.024+220×0.008+230×0.002 ×10=200.
（2）①∵Z∼Nμ,150，∴μ=x=200，σ=150≈12.2，
∴P187.8≤Z≤212.2=Pμ−σ≤Z≤μ+σ≈0.68；
②由题意知：X∼B100,0.68，∴EX=100×0.68=68.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，有下列四个命题：
甲：P(X>m+1)>P(X乙：P(X>m)=0.5；
丙：PX≤m=0.5；
丁：P(m−1如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.
【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，
所以乙､丙一定都正确，则μ=m,P(X>m+1)=P(XP(X故甲正确，
根据正态曲线的对称性可得P(m−1P(m+1故选：D.
2．某班学生的一次数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布N85,σ2，且P(83<ξ≤87)=0.3,P(78<ξ≤83)=0.26，则P(ξ≤78)=（ ）
A．0.03B．0.05C．0.07D．0.09
【答案】D
【分析】先计算P(ξ≤83)=0.35，再结合P(ξ≤78)=P(ξ≤83)−P(78<ξ≤83)计算即可.
【详解】∵83+872=85，∴P(ξ≤83)=1−P(83<ξ≤87)2=0.35，
∴P(ξ≤78)=P(ξ≤83)−P(78<ξ≤83)=0.35−0.26=0.09．
故选：D.
3．若X∼N7,2.25，则PX≤10=（ ）
（参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.682,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ=0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ=0.9973）
A．0.97725B．0.9545C．0.9973D．0.99865
【答案】A
【分析】根据题意得到μ+2σ=10，从而利用正态分布图象对称性求出PX≤10.
【详解】因为μ=7，σ2=2.25，故σ=1.5,μ+2σ=10，
所以PX≤10=PX≤μ+2σ=0.5+0.95452=0.97725.
故选：A
4．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,100)，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973）
A．17B．23C．34D．46
【答案】B
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N300,102，利用正态分布曲线Nμ,σ2关于直线x=μ对称和所给的概率求解即可.
【详解】若随机变量ξ服从正态分布N300,102，
则P300≤ξ≤300+20≈12P300−20≤ξ≤300+20≈0.4773，
Pξ>320≈0.5−P300≤ξ≤300+20=0.0227.
因为这1000户中用电量在320度以上的居民户数估计约为1000×0.0227=22.7，
即在这1000户中，用电量在320度以上的用户数约为23.
故选：B.
5．若随机变量ξ~N0，1,φx=Pξ≤x，其中x>0，则下列等式中成立的是（ ）．
A．φ−x=φxB．φ2x=2φxC．Pξx=2−φx
【答案】C
【分析】根据题意结合正态分布的性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得：μ=0，则Pξ≤x=Pξ≥−x，
对A：φ−x=Pξ≤−x=Pξ>x=1−Pξ≤x=1−φx，A错误；
对B：φ2x=Pξ≤2x,2φx=2Pξ≤x，两者不相等，B错误；
对C：Pξ−x=Pξ≤x+Pξ>−x−1=2φx－1，C正确；
对D：Pξ>x=2Pξ>x=21−Pξ≤x=2−2φx，D错误.
故选：C.
6．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布N72,σ，下列结论中不正确的是（ ）
A．σ越大，男生成绩在71.9,72.1的概率越小
B．σ越大，男生成绩大于72的概率为0.5
C．σ越大，男生成绩小于71.99与大于72.01的概率相等
D．σ越大，男生成绩落在71.9,72.3与落在72,72.1的概率相等
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性，μ,σ的几何意义解决即可.
【详解】由题知，X服从正态分布N72,σ，
所以平均值为72，且X>72和X<72概率均为0.5，故B正确；
当σ越大，则成绩越分散，在固定范围71.9,72.1的概率越小，故A正确；
因为71.99−72=72.01−72，
所以成绩小于71.99与大于72.01的概率相等，故C正确；
因为成绩落在71.9,72.3范围包括72,72.1，且范围内概率不为0，
所以P71.9,72.3>P72,72.1故D错误.
故选：D
二、多选题
7．已知随机变量X服从二项分布B4,p，其方差DX=1，随机变量Y服从正态分布Np,4，且PX=2+PYA．p=12B．PX=2=38
C．PY1−a=18
【答案】AB
【分析】根据二项分布的方差公式得到方程求出p，再根据独立重复试验的概率公式求出PX=2，即可判断A、B、C，最后根据正态分布的性质判断D.
【详解】解：因为随机变量X服从二项分布B4,p，且其方差DX=1，
所以DX=4p1−p=1，解得p=12，故A正确；
所以PX=2=C42122⋅1−122=38，又PX=2+PY所以PY所以Y∼N12,4，则正态曲线关于x=12对称，因为a−12=12−1−a，
所以PY>1−a=PY故选：AB
8．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N110,81，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−2σ<ξ<μ+2σ=0.9545（ ）
A．该校学生成绩的期望为110
B．该校学生成绩的标准差为9
C．该校学生成绩的标准差为81
D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】ABD
【分析】利用正态分布的性质以及“3σ原则”进行计算即可.
【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布N110,81，则μ=110，方差为σ2=81，
标准差为σ=9，∵μ−2σ=110−2×9=92，Pξ≥90>Pξ≥92=Pξ≥μ−2σ=12+12Pμ−2σ<ξ<μ+2σ =12+12×0.9545=0.97725>0.95.
所以，该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.
所以，ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD.
9．已知随机变量X∼Nμ,σ2，函数fx=1σ2πe−x−μ22σ2x∈R，则
A．当x=μ时，fx取得最大值1σ2π
B．曲线y=fx关于直线x=μ对称
C．x轴是曲线y=fx的渐近线
D．曲线y=fx与x轴之间的面积小于1
【答案】ABC
【分析】由正态分布曲线的性质逐一判断即可.
【详解】解：因为随机变量X∼Nμ,σ2，函数fx=1σ2πe−x−μ22σ2x∈R，
所以fx的对称轴为x=μ，且当x=μ时，fx取最大值为1σ2πe0=1σ2π，
故A，B正确；
根据正态分布的曲线可得，x轴是渐近线，且曲线y=fx与x轴之间的面积等于1，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
10．已知X∼N1,σ12，Y∼N0,σ22，则下列结论中正确的是（ ）
A．若σ1=σ2，则PX>1>PY>0
B．若σ1=σ2，则PX>1+PY>0=1
C．若σ1>σ2，则P0≤X≤2D．若σ1>σ2，则P0≤X≤1>P0≤Y≤1
【答案】BC
【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB选项；作变换Z=X−1，则Z~N0,σ12，利用正态密度曲线的对称性可判断CD选项.
【详解】对于A选项，若σ1=σ2，则PX>1=PY>0=12，A错；
对于B选项，若σ1=σ2，则PX>1+PY>0=2×12=1，B对；
对于C选项，令Z=X−1，则Z~N0,σ12，
若σ1>σ2，则P0≤X≤2=P−1≤Z≤1对于D选项，令Z=X−1，则Z~N0,σ12，
若σ1>σ2，P0≤X≤1=P−1≤Z≤0=P0≤Z≤1故选：BC.
三、填空题
11．设随机变量ξ服从正态分布N1,δ2(δ>0)，若P(−1≤ξ≤1)=0.35，则P(ξ>3)=____________．
【答案】0.15
【分析】由正态曲线的对称性计算概率．
【详解】∵随机变量ξ服从正态分布N1,δ2
∴正态曲线的对称轴是x=1
∴P(−1≤ξ≤1)=0.35
∴∴P(1≤∴P(ξ>3)=12(1−0.35×2)=0.15
故答案为：0.15
12．已知随机变量X~N（1，σ2），且PX≤32=2PX>32，则P1≤X<32=__________.
【答案】16
【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可.
【详解】由题意可知PX>32+PX≤32=3PX>32=1，
所以PX>32=13，
所以P1≤X<32=12−13=16.
故答案为：16.
13．已知随机变量X~B(6,p)，Y~Nμ,σ2，且P(Y≥4)=12，E(X)=E(Y)，则p=_________.
【答案】23
【分析】由题意可得出EX=6p，EY=μ=4，由E(X)=E(Y)，可求出p的值.
【详解】因为随机变量X~B(6,p)，所以EX=6p，
Y~Nμ,σ2，且P(Y≥4)=12，所以EY=μ=4，
所以6p=4，解得：p=23.
故答案为：23
四、解答题
14．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ．
(1)求μ和σ；
(2)已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布Nμ,σ2，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则：
Pμ−σPμ−3σ【答案】(1)μ=200，σ=6
(2)这台设备是否需要进一步调试，理由见解析
【分析】（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；
（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在μ−3σ,μ+3σ的概率约为0.01485，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，根据3σ原则，得到结论.
【详解】（1）μ=110192+192+193+197+200+202+203+204+208+209=200,
σ2=11082+82+72+32+02+22+32+42+82+92=36，
故σ=36=6；
（2）由题意得：X∼N200,36，
P200−18所以五个零件的内径中恰有1个不在μ−3σ,μ+3σ的概率为C510.9974×1−0.997≈0.01485，
又试产的5个零件中内径出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，
所以小概率事件出现了，根据3σ原则，这台设备是否需要进一步调试.
15．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N90,100，航天员在此项指标中的要求为ξ≥110．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为14，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：Pμ−σ【答案】(1)分布列见解析，8564
(2)23128
【分析】(1)由题意得出所有X的取值及其对应的概率，从而得知X的分布列及数学期望.
(2)利用正态分布，结合二项分布得出符合该项指标的学生人数，结合二项分布即可求解数学期望.
【详解】（1）（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，
PX=1=34，PX=2=14×34=316，PX=3=14×14×34=364，PX=4=14×14×14=164
∴X的分布列如下：
EX=34+38+964+116=8564．
（2）Pξ≥110=Pξ≥μ+2σ=1−0.95452=0.02275．
∴符合该项指标的学生人数为：2000×0.02275=45.5≈46人
每个学生通过选拔的概率对14×14×14×14=1256，
∴最终通过学校选拔人数Y~46,1256，
∴EY=46256=23128．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（0A．0.2B．0.3C．0.6D．0.8
【答案】A
【分析】100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)，
f(p)=C10080p80(1−p)20(0【详解】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)，则f(p)=C10080p80(1−p)20(00，所以f(p)在(0,0.8)上单调递增；当p∈(0.8,1)时，f′(p)<0，所以f(p)在(0.8,1)上单调递减.所以f(p)在p=0.8处取得最大值.所以P(X≥600)=P(X≤500)=1−P(X≥500)=1−0.8=0.2.
故选：A
2．设随机变量X∼Nμ,σ2，且PX≥a=0.5,P(XA．0.25B．0.3C．0.5D．0.75
【答案】A
【分析】由题知a=μ，PX≥b=14，进而根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】解：因为随机变量X∼Nμ,σ2，
所以，P(X因为PX≥a=0.5,P(X所以a=μ，PX≥b=14
所以，根据正态分布的对称性，PX≤2a−b=PX≥b=0.25.
故选：A
3．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件2X+Y=2，且Y服从标准正态分布．设函数Fx=P(X−2x>1)，则Fx的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】计算F1−x，可判断函数的对称性，再计算F12，即可排除选项.
【详解】Fx=P(X−2x>1)=P(X>2x+1或X<2x−1)，因为X=1−Y2，
所以Fx=P(1−Y2>2x+1或1−Y2<2x−1)，即Fx=P(Y<−4x或Y>4−4x)，
F1−x=P[Y<−41−x或Y>4−41−x] =P(Y<−4+4x或Y>4x)
因为Y服从标准正态分布，所以根据对称性可知Fx=F1−x，所以函数Fx关于x=12对称，故排除AC；
当x=12时，F12=PX−1>1，X=1−Y2，所以F12=PX−1>1=PY2>1=P(Y>2或Y<−2),因为Y∼N0,1，其中μ=0,σ=1，−2=μ−2σ，2=μ+2σ，根据3σ原则可知，F12=1−0.9545=0.0455，所以排除B；
故选：D
4．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布N184,2.52．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若X~Nμ,σ2，PX−μ<σ=0.683，PX−μ<2σ=0.954，PX−μ<3σ=0.997）
A．0.8185B．0.84C．0.954D．0.9755
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性，以及μ=184,σ=2.5即可求得净重在179g与186.5g之间的概率.
【详解】由题意可知，μ=184,σ=2.5，可得179=μ−2σ，186.5=μ+σ
净重在179g与186.5g之间的概率为P(179由正态分布的对称性可知，P(μ−2σ=0.683+12(0.954−0.683)=0.8185；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为P(179故选：A.
5．已知函数fx=lg2x,x≥1,x+ξ,x<1,在R上单调递增的概率为12，且随机变量ξ~Nu,1．则P0<ξ≤1等于（ ）
[附：若ξ~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤x≤μ+σ=0.6827，
Pμ−2σ≤x≤μ+2σ=0.9545．]
A．0.1359B．0.1587C．0.2718D．0.3413
【答案】A
【分析】根据已知条件可求出u=−1，则ξ~N−1,12.根据正态分布的对称性，即可求得.
【详解】使fx在R上单调递增的充要条件是ξ+1≤lg21=0，即ξ≤−1，故P(ξ≤−1)=12.
由于随机变量ξ~Nu,1，则u=−1，即ξ~N−1,12，即μ=−1，σ=1.
故P−2≤ξ≤0=Pμ−σ≤ξ≤μ+σ=0.6827，
P−3≤ξ≤1=Pμ−2σ≤ξ≤μ+2σ=0.9545，
所以P0<ξ≤1=P−1<ξ≤1−P−1<ξ≤0 =12×P−3≤ξ≤1−P−2≤ξ≤0
=12×0.9545−0.6827 =0.1359．
故选：A．
6．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N100,225，则下列说法正确的有（ ）
（参考数据：①P(μ−σA．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．P(115D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为23
【答案】B
【分析】由正态分布的性质则PX>100=12，求出人数判断A，由正态分布的对称性求出相应概率判断BC，利用独立事件的概率公式和互斥事件概率公式计算后判断D．
【详解】由题意可知，对于选项A，μ=100，σ=15，则PX>100=12，则成绩超过100分的约有1200×12=600人，所以选项A错误；
对于选项B，PX>70=P70100= 12P100−2×1570=1−0.97725=0.02275，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200=27.3 ，即约为27人，所以选项B正确；
对于选项C，PX<115=PX<100+12P100−15对于选项D，因为PX>100=12，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为C32122⋅12=38；②3人均超过100分时的概率为123=18，则至少有2人的分数超过100分的概率为38+18=12，所以选项D错误；
故选：B．
二、多选题
7．已知某批零件的质量指标ξ(单位：毫米)服从正态分布N(25.40,σ2)，且P(ξ≥25.45)=0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)的产品件数，则（ ）
A．P(25.35<ξ<25.45)=0.8B．E(X)=2.4
C．D(X)=0.48D．P(X≥1)=0.488
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案.
【详解】由正态分布的性质得P(25.35<ξ<25.45)= 1-2 P(ξ≥24.45)=1-2×0.1=0.8，故A正确；
则1件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35，25.45)的概率为P=0.2，
所以X~B(3，0.2)，故E(X)=3×0.2=0.6，故B错误；
D(X)=3×0.2×0.8=0.48，故C正确；
PX≥1=1−PX=0=1−0.83=0.488，故D正确．
故选：ACD.
8．已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布N90,σ2(σ>0)，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①P(μ−σA．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C．若σ=15，则这次考试分数高于120分的约有46人
D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为12
【答案】BD
【分析】根据正态分布中μ,σ的意义判断AB选项，根据σ=15计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90分的概率判断D.
【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误；
对B，根据N90,σ2(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确；
对于C，σ=15时，P(X>120)=12[1−P(60故这次考试分数高于120分的约有20000×0.02275=455人，故C错误；
对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N90,σ2(σ>0)知P(X>90)=12，
由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为C32(12)2(12)+C33(12)3=38+18=12，故D正确.
故选：BD
9．通过长期调查知，人类汗液中A指标的值X服从正态分布N10,2.52.则（ ）
参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827；Pμ−2σ≤X≤μ+2σ=0.9545.
A．估计100人中汗液A指标的值超过10的人数约为50
B．估计100人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为16
C．估计100人中汗液A指标的值不超过15的人数约为95
D．随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过10的概率为516
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的性质，进行ABC选项的判断；结合正态分布的性质以及二项分布的概率计算公式即可判断选项D.
【详解】由μ=10，可得汗液A指标的值超过10的
概率为PX≥10=12.所以100人中汗液A指标的值
超过10的人数约为100×12=50，故A对；
同理，D选项中，随机抽检5人中汗液A指标的值恰有
2人超过10的概率为：C52⋅122123=516，故D对；
由μ+σ=10+2.5=12.5，所以100人中汗液A指标的值
超过12.5的人数约为100×PX≥12.5
=100×1−Pμ−σ≤X≤μ+σ2=100×1−0.68272≈16，B对；
由μ+2σ=10+2.5×2=15，100人中汗液A指标的值
不超过15的人数约为
100×1−Pμ−2σ≤X≤μ+2σ2+Pμ−2σ≤X≤μ+2σ
=100×1−0.95452+0.9545 ≈98，故C错.
故选：ABD
10．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X，Y）均服从正态分布，X∼Nμ1,σ12，Y∼Nμ2,σ22，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）
参考数据: 若 Z~Nμ,σ2, 则
P(μ−σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，
P(μ−2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545
A．Pμ1−2σ1≤X≤μ1+σ1≈0.8186
B．对于任意的正数t，有PX≤t>PY≤t
C．PY≥μ1D．PX≤σ1【答案】ABD
【分析】根据正态分布密度曲线关于x=μ对称，且μ越小图像越靠y轴，σ越小图像越瘦长，以及3σ原则即可逐一分析四个选项得出结论.
【详解】对于 A, Pμ1−2σ1≤X≤μ1+σ1≈(0.6827+0.9545)×12=0.8186，故A选项正确;
对于 B, 对于任意的正数 t, 由图象知 P(X≤t) 表示正态密度曲线与x轴围成的面积始终大于P(Y≤t) 表示正态密度曲线与x轴围成的面积, 所以 P(X≤t)> P(Y≤t); 故B选项正确;
对于 C, 由正态分布密度曲线,可知 μ1<μ2,由图象知 PY≥μ1 表示的面积始终大于PY≥μ2表示的面积,所以 PY≥μ2对于 D, 由正态分布密度曲线,可知 σ1<σ2,由图象知 PX≤σ2 表示的面积始终大于PX≤σ1表示的面积,所以 PX≤σ2>PX≤σ1,选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布N90,σ2，且P(X<70)=0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．
【答案】2.1
【分析】由P(X<70)=0.2,利用正态分布的对称性求得P(90则X~B(10,0.3),利用二项分布的方差公式可得结果.
【详解】∵X~N90,σ2,且P(X<70)=0.2，110+702=90，
∴P(X>110)=0.2,
∴P(90≤X≤110)=0.5−0.2=0.3,
由题意可得X~B(10,0.3),
所以X的方差为10×0.3×(1−0.3)=2.1，
故答案为:2.1
12．已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且PX2−4X+3≤0=0.6827，则P(X<−1)=___________.（附：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973）
【答案】0.00135
【分析】利用已知条件，求解σ，然后利用正态分布的性质求解即可.
【详解】又X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827，
随机变量X服从正态分布N2,σ2，且PX2−4X+3≤0=0.6827，
即P(1≤X≤3)=0.6827，所以2−σ=1，即σ=1，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973，即P(−1≤X≤5)=0.9973，
所以P(−1≤X≤2)=0.49865，所以P(X<−1)=0.5−0.49865=0.00135.
故答案为：0.00135.
13．某批零件的尺寸X服从正态分布N10,σ2，且满足P(X<9)=16，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．
【答案】5
【分析】求出取出的零件为合格品的概率，再利用二项分布的概率公式列出不等式，借助单调性求解作答.
【详解】因X服从正态分布N10,σ2，且P(X<9)=16，则P(9≤X≤11)=2P(9≤X≤10)=2×12−16=23，即每个零件合格的概率为23，
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为Cn0(13)n+Cn1⋅23⋅(13)n−1，
依题意，Cn0(13)n+Cn1⋅23⋅(13)n−1≤0.1，即(2n+1)⋅(13)n≤0.1，
令f(n)=(2n+1)⋅(13)nn∈N∗，则有f(n+1)f(n)=2n+36n+3<1，即f(n)单调递减，
而f(5)<0.1，f(4)>0.1，因此不等式(2n+1)⋅(13)n<0.1的解集为nn≥5,n∈N∗，
所以n的最小值为5．
故答案为：5
四、解答题
14．为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布Nμ,σ2（用样本平均数x和标准差s分别作为μ，σ的近似值），已知样本标准差s≈8.65，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？
(3)从80,100的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测i1≤i≤6份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的i份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ【答案】(1)80.5
(2)72分
(3)4135
【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数的公式，即可求解；
（2）首先确定X∼N80.5,8.652，再根据参考公式，即可求解；
（3）根据全概率公式，和条件概率，列式求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
平均分=65×0.01+75×0.04+85×0.035+95×0.015×10=80.5；
（2）由（1）可知，X∼N80.5,8.652,
设学校期望的平均分约为m，则PX≥m=0.84，
因为P(μ−σ所以P(X>μ−σ)≈0.84135，即P(X>71.85)≈0.84，
所以学校的平均分约为72分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在80,90和90,100的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在80,90，应抽取10×+0.15=7人，
分数在90,100应抽取10×+0.15=3人，
记事件Ai：抽测i份试卷i=1,2,3，事件B:取出的试卷都不低于90分，
则PAi=16,PBAi=C3iC10i，
PB=i=13PAiPBAi=16×C31C101+C32C102+C33C103=38，
则PA2B=PA2BPB=16×C32C10238=4135.
15．第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯（FIFA Wrld Cup Qatar．2022）足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
(1)求这100份试卷成绩的平均数；
(2)假设此次知识竞赛成绩X服从正态分布Nμ,σ2．其中，μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．已知s的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有84.135%的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(3)知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为310，选择两个选项的概率为12，选择三个选项的概率为15．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：若X~Nμ,σ2，则：P(μ−σ【答案】(1)76.5；
(2)71；
(3)分布列见解析，1.2.
【分析】（1）根据平均数的运算公式进行计算即可；
（2）根据正态分布的对称性进行求解即可；
（3）根据概率的乘法和加法公式，结合数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）依题意，设这100份试卷成绩的平均数为x，
则x=2100×45+5100×55+15100×65+40100×75+30100×85+8100×95 =76.5（分）；
（2）由P(X>μ−σ)=0.5+P(μ−σ又μ=76.5,σ=s≈5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是76.5−5.5=71（分）；
（3）设事件Ai表示“小明选择了i个选项”(i=1,2,3)，事件B表示“选择的选项是正确的”．由题知，ξ可取5，2，0．
因为P(ξ=5)=PA3B=15×1C43=120，
P(ξ=2)=PA1B+PA2B=310×C31C41+12×C32C42=940+14=1940，
P(ξ=0)=PA1B+PA2B+PA3B=310×1C41+12×C31C42+15×C32C43=340+14+320=1940，
所以随机变量ξ的分布列为：
于是，E(ξ)=5×120+2×1940+0×1940=1.2．
题组C 培优拔尖练
网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.
（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；
②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）①；②万元；（2）.
【分析】
（1）①先由频率分布表求出样本平均数，得到，求出，再由题意，得到，根据二项分布的期望公式，即可得出结果；
②根据分层抽样，分别得出订单数在区间和的城市数，计算出不开展营销活动所得利润，以及开展营销活动所得利润，即可得出结果；
（2）根据题意，由正态分布，先求出随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，得到抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，为使其最大，列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
（1）①由频率分布表可得，样本平均数为
，
所以，
因此
，
由题意，可得，所以的数学期望为；
②由分层抽样知，这100个城市中每月订单数在区间内的有个，
则每月订单数在区间内的有个，
若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
因此M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利万元；
（2）因为
，
即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，
则从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，
为使若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，
只需，
即，即，解得，
则，
又为整数，所以.课程标准
重难点
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.
2.通过具体实例，借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 3.了解正态分布的均值、标准差、方差及其含义.
重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；
难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义.
概率
P(μ－σ≤X＜μ＋σ)
P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)
P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)
近似值
0.6827
0.9545
0.9973
X
1
2
3
4
P
34
316
364
164
成绩（分）
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
频数
2
5
15
40
30
8
ξ
5
2
0
P
120
1940
1940
订单：（单位：万件）

频率
0.04
0.06
0.10
0.10
订单：（单位：万件）
频率
0.30
0.20
0.10
0.08
0.02