【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第26讲 导数与不等式取值范围问题 讲义

第26讲导数与不等式取值范围问题

◆考点01 直接法

【典例1】（2022春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)当时，讨论函数的单调性；

(3)当时，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)在上单调递减，在上单调递增.

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可；

（2）代入，对进行求导，利用导数的性质，得到的单调性；

（3）等价于，设函数，通过对求导，利用导数的性质，求出的最大值，进而求出的范围.

【详解】（1）， ，，切点为，

，

切线方程为：，化简得，，

切线与两坐标轴的交点为：和，

故可设切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，

（2）时，，，

易得在定义域上单调递增，且，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

（3）等价于，

设函数，

则 .

①若，即，则当时，.

所以，在单调递增，而，故当时，，不合题意.

②若，即，则当时，；

当时，.

所以，在和上单调递减，在单调递增，由于，所以，当且仅当，即，

所以当时，.

③若，即，则.由于，

故由②可得，故当时，.

综上，的取值范围是

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

【典例2】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知

(1)若，讨论的单调性；

(2)若对任意恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)在上单调递增

(2)

【分析】（1）求导可得，再求导分析的最小值，进而可得的单调性；

（2）将题意转化为对任意恒成立，再构造函数，求导分析单调性，结合求解即可.

【详解】（1），令，则，易得为增函数，令有，故当时，单调递减；当时，单调递增.

故.又，故，即，在上单调递增.

（2）即，对任意恒成立.

设，则.

，令，则，故为增函数.

又，且，故若要恒成立，则，即.

此时对任意恒成立.

【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数解决恒成立问题，需要根据题意将所证明不等式移到不等号的同一侧，再构造函数求导分析单调性，结合特殊点处的函数值进行证明.属于难题.

【典例3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求得，结合的单调区间求得的极值.

（2）将不等式进行转换，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，由此来求得的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

则，

令，得，

当变化时，的变化情况如下：

因此，当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.

（2）因为等价于，

令，

则，

（i）若，对于函数，有，

所以恒成立，

故当时，不等式恒成立；

（ii）若，

当时，，

所以，

故不等式恒成立；

现探究当时的情况：

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，

要使不等式成立，

只需，

解得，

故当时，不等式恒成立；

（iii）若，

当时，，

所以，

故不等式恒成立；

现探究当时的情况：

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，

要使不等式成立，只需，

即.

设，则化为，

因为，所以在上为增函数，

于是，由及，得，

故当时，不等式恒成立.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】研究含参数的不等式恒成立问题，导数是工具的作用.化归与转化的数学思想方法是重要的解题思想方法，将不等式恒成立问题，转化为求函数的单调性、极值、最值等问题来进行研究.对参数分类讨论时，要注意做到不重不漏.

◆考点02 直接法--隐零点 

【典例4】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)求证：.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出导函数，利用导数判断单调性；（2）利用分析法证明：先分类讨论，当时，直接证明；当时，转化为只需证.构造函数，，利用导数判断单调性，求出最值，即可证明.

【详解】（1），.

令得，且当时，，当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）原不等式化为：.

当时，，，显然成立；

当时，因为，

所以只需证.

令，，

则，.

且当，，所以存在唯一使，

且时，，时，，

即在上单调递增，在上单调递减，

又，，

所以，即.

所以当时，，

综上所述：.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；

（4）利用导数证明不等式．

【典例5】已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．

（1）求，，的值；

（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．

【答案】（1），，；（2）3.

【分析】（1）解方程组即得解；

（2）等价于在上恒成立，利用导数求出即得解.

【详解】

解：（1）由已知得，

且函数的图象过点，，

则

解得，，．

（2）由（1）得．

若在上恒成立，

则在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，所以，从而可得在上恒成立．

令，则，

令，则恒成立，在上为增函数．

又，，

所以存在，使得，得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．则．

又，所以，代入上式，得．

又，所以．

因为，且，所以，故的最大值为3．

【点睛】

方法点睛：“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；

第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；

第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）

◆考点03 分离参数法

【典例6】（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)若,求的单调区间;

(2)若对,恒成立,求a的取值范围．

【答案】(1)减区间为,增区间为

(2)

【分析】(1)将代入中,求导判断正负即可求出单调性;

(2)将代入不等式中,进行全分离,设新函数求导求单调性求最值,即可求得a的取值范围.

【详解】（1）解:由题知当时,

,,

,

,,

时,,单调递减;

当时,,单调递增,

的减区间为,增区间为;

（2）由题 ,

即 ,

,

原不等式可化为: ,

令 ,

则 ,

令,

,

所以在上单调递增．

因为,

,

所以在内存在唯一,

使得,即,

所以当时,

,即,单调递减,

当时,

,即,单调递增,

故,

因为,

所以,且,

所以,

所以,

所以,

即实数a的取值范围为．

【点睛】思路点睛:该题是导数的综合应用题,属于中难题,应用了全分离及隐零点,关于此类的思路有:

(1)将不等式进行全分离,把参数放置不等式左边;

(2)令右边的函数为一个新函数,对新函数求导,写成几个因式的乘积;

(3)将无法直接判断正负的式子设为一个新的函数;

(4)对新的函数进行求导求单调性,

(5)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值为异号停止,

(6)根据新函数的单调性即可判断在函数值为异号的区间内有零点,设为,判断左右两侧新的函数值正负,即可判断原函数的单调性,求出最值,

(7)再将关于的式子代入最值中进行化简即可.

【典例7】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知函数.

(1)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

(2)当时，关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）由导数判断单调性后求解，

（2）参变分离后转化为最值问题，构造函数证明不等式与后求解，

【详解】（1），，

当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

若在上有两个零点，则

解得，故的取值范围是

（2），即，在时恒成立，

令，，

当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

故，即，当且仅当时等号成立，

令，，

当时，，当时，，

则在单调递增，在上单调递减，

，即，当且仅当时等号成立，

而时，，故

，

当时，不等式为，而时满足题意，

故整数的最小值为

◆考点04 函数同构法

【典例8】已知函数

（1）若在上是减函数，求实数m的取值范围；

（2）当时，若对任意的，恒成立，求实数n的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由题意可得对于恒成立，分离转化为最值即可求解；

（2）由题意可得恒成立，即，构造函数，利用导数判断其单调性可得与的关系，分离即可求解.

【详解】

（1）因为，所以，

由题意可得对于恒成立，即，

可得，所以

所以实数的取值范围是．

（2）对任意的，恒成立，

即恒成立，即恒成立．

因为，所以，易知在上单调递增，且在上，所以，即对任意的恒成立．

令，则，

当时，；当时，．

则在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，显然，

故实数n的取值范围是．

【点睛】

方法点睛：求不等式恒成立问题的方法

（1）分离参数法

若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.

（2）数形结合法

结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.

（3）主参换位法

把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.

题组  能力提升练

1.（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若时，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增.

(2)

【分析】(1)对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性即可；

(2)求恒成立时参数的取值范围，构造新的函数，求导，利用分类讨论的思想即可求解.

【详解】（1）若，则函数，所以，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）由题意可知：在上恒成立．

①若，则函数，所以，

由（1）知：函数在上单调递减，在上单调递增.

所以 ，即不成立；∴不成立．

②∵，所以在上恒成立，

不妨设，，

则，

令，解得：，

若时，则，

当时，，此时函数为增函数，则（不合题意）；

若时，当时，，此时函数为增函数，则（不合题意）；

若时，当，，此时函数为减函数，（符合题意）．

综上所述：若时，恒成立，则．

【点睛】（1）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决；

（2）求恒成立，求参数a的取值范围，设，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．

2.已知函数f(x)=2ex+aln(x+1)-2.

（1）当a=-2时，讨论f(x)的单调性；

（2）当x∈[0，π]时，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）函数在(-1，0)单调递减，在单调递增；（2）.

【分析】

（1）将代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.

（2）令，等价于恒成立，求出，讨论或，判断函数的单调性，其中时，可得，讨论或，证明函数的单调性即可证明.

【详解】

（1）当时.

在单调递增，且

当时，；当时.

所以函数在(-1，0)单调递减，在单调递增.

（2）令

当时，恒成立等价于恒成立.

由于，

所以（i）当时，函数在单调递增，

所以，在区间恒成立，符合题意.

（ii）当时，在单调递增，.

①当即时，

函数在单调递增，所以在恒成立，符合题意.

②当即时，

若，即时在恒小于

则在单调递减，，不符合题意.

若即时，存在使得

所以当时，则在单调递减，

不符合题意.

综上所述，的取值范围是

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是构造函数，不等式等价转化为恒成立，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想.

3.已知函数，．定义新函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若新函数的值域为，求的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【分析】

（1）计算，然后根据，，，，讨论函数单调性.

（2）利用等价转化即在上有解，构造函数，并利用导数研究函数单调性，根据隐零点得到函数，最后计算可得结果.

【详解】

（1），

当即时，，

令得，令得，

在上单调递减，上单调递增，

当时，

①当，即时，

令得，令得，

或，在和上单调递减，

在上单调递增．

②当，即时，，

在上单调递减．

③当时，令得，

令得或．

所以在和上单调递减，上单调递增．

综上所述：时，在上单调递减，上单调递增．

时，在和上单调递减，在上单调递增，

时，在上单调递减，

时，在和上单调递减，上单调递增．

（2）因为，

所以有解，

即在上有解，

令，则，

令，则，

显然在上单调递增，

又，，

，使，

当时，，即，单调递减，

当时，，即，单调递增．

故，且，，

由，得，

即，（同构）

令，，

所以在上单调递增，

又，，故，即，

所以，，

即，∴．

【点睛】

关键点点睛：第（1）问利用导数判断函数单调性，关键在于对参数的分类讨论；第（2）问使用等价转化的思想并结合导数判断原函数单调性，本题关键在于利用隐零点.

4.（2022春·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知函数，，．

(1)若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值．

【答案】(1)或

(2)1

【分析】（1）由导数的几何意义求出在点处的切线，联立，令即可求解a的值；

（2）采用参变分离法得，设，利用导数求出的正负区间，进而确定最值范围，即可求解.

【详解】（1），则，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

令，，则，

则，解得或；

（2）不等式恒成立，即恒成立，

由于，则．

设，则，，

即．设，则，

所以在上单调递减，又，，

所以存在，使，即．

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以．

又，则，

由于恒成立，，所以实数a的最小整数值为1．

【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程、由直线与曲线相切求参数范围、由不等式恒成立求参数范围，整体难度不大.

由不等式恒成立求解参数范围，采用参变分离的前提是：分离参数后，构造的函数容易由导数求解最值；在参变分离不易求解时，常常需要对参数进行分类讨论.

5．已知函数．

（1）求证：；

（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）令，利用导数求得的最小值，从而可证得不等式成立；

（2）原不等式变形为，即. ，由的单调性得，，利用（1）的结论得右边的最大值，从而可得的范围．

【详解】

解：（1）证明：令，

则.

当时，

当时，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以当时，函数有最小值，.

所以，即.

（2）因为，

所以.

所以.

令，则恒成立.

因为恒成立，

所以在R上单调递增，

所以恒成立，

即，即恒成立.

由（1）知，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

【点睛】

关键点点睛：本题考查有导数证明不等式，用导数研究不等式恒成立，用导数证明不等式一般是不等式变形后引入新函数，证明新函数的最小值大于或等于0即证．本题解决不等式恒成立的关键是不等式变形化，利用新函数的单调性化简不等式，并利用(1)中结论得出参数范围．