初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．4 线段的垂直平分线精品练习

19.4线段的垂直平分线

一、单选题

1．下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（    ）

A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥AB

C．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB

2．如图，DE垂直平分AB，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若AC=6cm，BC=4cm，则△BCD的周长为（   ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

3．如图，顶角A为120°的等腰△ABC中，底边BC为，DE垂直平分AB于点D，则AE的长为(      )

A．2 B．2＋ C． D．3

4．有一块三角形草坪，要在草坪上建一座凉亭，使凉亭到三个顶点的距离相等，则凉亭的选址有(    )

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于(       )

A．80° B．70° C．30° D．50°

6．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l与点Q ．”分别作出了下列四个图形．其中做法错误的是（ ）

A． B．C．D．

7．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则(  )

A．BC>PC+AP B．BC<PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP

8．如图，△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD∶∠BAC=1∶3，则∠C的度数为

A．48° B． C．46° D．44°

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

10．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC边长为8 cm，则△ADE的周长为(   )

A．8cm B．16cm C．4cm D．不能确定

二、填空题

11．如图，的两边的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数为_________．

12．如图，垂直平分线段，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．

13．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，且的周长为，则________．

14．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC=________．

15．如图，在中，垂直平分，则__________．

三、解答题

16．已知：如图，在中，，O是内一点，且．

求证：直线垂直平分线段．

17．如图，在中，，点D为的中点，，交于点E，的周长为，．求与的长．

18．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．求的周长．

19．如图，中，的垂直平分线交于点E，D为垂足，连接．

（1）求的度数；

（2）若，求的长．

20．如图，在中，，点为上一点，且满足，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．

（1）求和的度数；

（2）求证：是等腰三角形．

参考答案

1．C

【分析】

根据垂直平分线的概念逐个判断即可．

【解析】

解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意；

B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意；

C、CA=DA，CB=DB，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，符合题意；

D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题考查了垂直平分线的概念，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的概念．

2．C

【分析】

由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，继而可求得△BDC的周长．

【解析】

∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD，

∵AC=6cm，BC=4cm，

∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+4=10(cm).

故选C.

【点睛】

本题考查线段垂直平分线的性质.

3．C

【分析】

根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．

【解析】

∵AB=AC，∠A=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵DE垂直平分AB，

∴BE=AE，

∴∠B=∠BAE=30°，

∴∠EAC=90°，

∴AE=CE，

∴AE+CE=3AE=BC，

∴AE=．

故选C．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．

4．A

【分析】

由于凉亭到草坪三个顶点的距离相等，所以根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知是三角形草坪边的垂直平分线的的交点．由此即可确定凉亭位置．

【解析】

∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等，

∴凉亭选择三角形草坪边的垂直平分线的的交点．

故选A．

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

5．C

【分析】

根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后根据代入数据计算即可得解.

【解析】

，，

，

是垂直平分线，

，

，

.

故选：.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键.

6．A

【分析】

根据作已知线段的垂直平分线对B进行判断；根据圆周角定理对C进行判断；根据对称的性质对D进行判断.

【解析】

解：A.没有任何作法依据，A选项的作法错误；

B.作了线段的垂直平分线，则PQ⊥l，所以C选项的作法正确；

C.作了直径所对的圆周角，则PQ⊥l，所以D选项的作法正确．

D.作了P点关于l的对称点，则PQ⊥l，所以B选项的作法正确；

故选A．

【点睛】

本题考查了基本作图：掌握5个基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．注意D选项要运用圆周角定理判断．

7．C

【分析】

从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．

【解析】

∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB．

∵BC=PC+BP，

∴BC=PC+AP．

故选C．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

8．D

【分析】

设∠BAD=x，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，得到∠DAC=∠C2x，，根据三角形内角和定理可得70°+3x+2x=180°，解方程求得x的值，即可求得∠C的度数．

【解析】

设∠BAD=x，则∠BAC=3x，

∴∠DAC=2x，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∴∠DAC=∠C=2x，

则70°+3x+2x=180°，

解得，x=22°，

则∠C=2x=44°，

故选D．

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

9．D

【解析】

【分析】

根据已知条件易得，，再根据线段垂直平分线的性质求解.

【解析】

已知，，，

是直角三角形，，

，

，

，

，

又垂直平分，故根据等腰三角形的性质可得，

，，，故，.

为等边三角形，

，

、、、、都为.

故选：.

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）及等腰三角形的判定与性质，求得是正确解答本题的关键.

10．A

【解析】

∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，

∴AD=BD，AE=CE，

∵边BC长为8cm，

∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8cm．

故选A．

11．

【分析】

根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE=150°，即 180°-∠BAC+2∠DAE=150°，再与∠BAC+∠DAE=150°联立解方程组即可．

【解析】

解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，

∴DA=DB，EA=EC，

∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．

∵∠BAC+∠DAE=150°，①

∴∠B+∠C+2∠DAE=150°．

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°，

即∠BAC-2∠DAE=30°．②

由①②组成的方程组，

解得∠BAC=110°．

故答案为：110°．

【点睛】

此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系．

12．3

【分析】

由CD垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线商店的点到线段两端点的距离相等，可得，，，从而求得答案．

【解析】

∵垂直平分线段，

∴．

∴图中一定相等的线段有3对．

故答案为：3．

【点睛】

此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握其性质并能灵活运用是解题关键．

13．7

【分析】

根据是的垂直平分线可得，结合的周长为可得结论．

【解析】

∵是的垂直平分线，

∴，

∵的周长为，

∴，

又∵，

∴．

故答案为：7．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点到两端点的距离相等是解题的关键．

14．8

【分析】

根据垂直平分线的性质可得AF=BF=6，然后根据已知条件即可求出结论．

【解析】

解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，

∴AF=BF=6

∵CF＝2，

∴AC=AF＋CF=8．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质找到相等线段是解决此题的关键．

15．

【分析】

先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，即可得出结论．

【解析】

解析：∵垂直平分，

∴

∵，∴，

即是等腰直角三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴

故答案为：22.5°．

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

16．证明见解析

【分析】

根据已知条件证明进而可得，即可证明是的垂直平分线．

【解析】

证明：，，

,

是的垂直平分线．

即直线垂直平分线段．

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的判定，三角形全等的性质与判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．

17．4cm、6cm

【分析】

由点D为AC中点，DE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得BE＝CE，又由△ABE的周长为10cm，可得AB＋AC＝10cm，AC−AB＝2cm，即可求得答案．

【解析】

解：∵点D为的中点，，

∴垂直平分，

∴，

∵的周长为，

∴①，

又∵②，联立①②，

解得，，，

∴．

【点睛】

此题考查了线段垂直平分线的性质和解二元一次方程组，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

18．10

【分析】

根据线段垂直平分线的性质可得，据此即可求解．

【解析】

解：∵是的垂直平分线，

∴，

∵是的垂直平分线，

∴，

∴的周长．

【点睛】

此题主要考查了线段垂直平分线的性质等几何知识，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

19．（1）72°；（2）5

【分析】

（1）是的垂直平分线，可得；， 已知，可求,再根据三角形外角的性质即可求解；

（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，求出，推出，由得出．

【解析】

解：（1）∵垂直平分，∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，∴，∴，

∵，∴．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

20．（1）∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；（2）证明见详解．

【分析】

（1）设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠BAC＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；

（2）依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．

【解析】

解：（1）设∠BAC＝x°，

∵AD＝BD，

∴∠BAC＝∠ABD＝x°，

∴∠BDC＝2x°，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，

由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，

解得：x＝36，

∴∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；

（2）∵E是AB的中点，AD＝BD，

∴DE⊥AB，即FE⊥AB；

∴AF＝BF，

∴∠BAF＝∠ABF，

又∵∠ABD＝∠BAD，

∴∠FAD＝∠FBD＝36°，

又∵∠ACB＝72°，

∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，

∴∠CAF＝∠AFC＝36°，

∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质是决问题的关键．