_数学丨辽宁省本溪市高级中学2024届高三上学期8月适应性测试（一）数学试卷及答案

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绝密★使用前
本溪高中2023-2024学年度高考适应性测试（一）
高 三 数 学
考生注意：
1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共4页
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1．甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用表示碳原子的位置，用表示四个氢原子的位置，设，则（     ）

A． B． C． D．
2．设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为
A． B． C． D．
3．已知a，b，，且，，，则（    ）
A． B． C． D．
4．如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时，
①点在空间形成的轨迹为圆
②三棱锥的体积最大值为
③的最大值为2
④与平面所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（    ）．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
5．若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，且，则的斜率为
A． B． C． D．
6．函数 在实数范围内的零点个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数 ，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．若平面向量 ，，满足，，，且，则的最小值是（    ）
A．1 B． C． D．
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列结论正确的是（    ）
A．直线在点处“切过”曲线
B．直线在点处“切过曲线
C．直线在点处“切过”曲线
D．直线在点处“切过”曲线
10．在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1A=A1C．E，F分别是线段AC，A1B1上的点．下列结论成立的是（       ）
A．若AA1=AC，则存在唯一直线EF，使得EF⊥A1C
B．若AA1=AC，则存在唯一线段EF，使得四边形ACC1A1的面积为
C．若AB⊥BC，则存在无数条直线EF，使得EF⊥BC
D．若AB⊥BC，则存在线段EF，使得四边形BB1C1C的面积为BC·EF
11．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ）
A． B．事件与互斥
C． D．事件与对立
12．过直线上一点作拋物线的两条切线，设切点分别为，记是线段的中点，则（    ）
A．直线经过该抛物线的焦点
B．直线轴
C．线段的中点在该抛物线上
D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相交
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知，对于任意的实数，在区间上的最大值和最小值分别为和，则的取值范围为 .
14．如图，正方形ABCD的边长为，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且，将线段DE绕点D逆时针旋转至线段DF，若，则的最小值为 .

15．已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ．
16．已知正的边长为1，为该三角形内切圆的直径，在的三边上运动，则的最大值为 .
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．已知数列满足，
(1)令，求，及的通项公式；
(2)求数列的前2n项和.


18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.


19．如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R（R为常数）的扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF和一个三角形的水池FCG.其中,O为圆心,,C,G,F在扇形圆弧上,D,E分别在半径OA,OB上,记OG与CF,DE分别交于M,N,.

（1）求△FCG的面积S关于的关系式,并写出定义域；
（2）若R=10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少？（取）
20．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．
(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．
①若，求P关于k的函数关系式；
②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：．


21．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.


22．已知函数．
(1)当，分析函数的单调性；
(2)当时，若函数与的图象有且只有一条公切线，求的值

本溪高中2023-2024学年度高考适应性测试（一）
数学参考答案
1．B
【分析】根据正四面体的性质，以及正四面体的中心的位置关系，求碳原子和氢原子的距离，再结合余弦定理求，最后根据二倍角公式求
【详解】由题意可知，氢原子构成如图所示的正四面体，碳原子是正四面体的中心，
如图，连结并延长交平面于点，平面,
设两个氢原子距离为，则，，
设，中，，得，
则中，
  
.
故选：B
2．C
【分析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象,根据交点个数列出不等式求出的范围.
【详解】
，
是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示,
在上有且仅有三个零点，
和的图象在上只有三个交点，
结合图象可得
，解得，
即的范围是，故选C.
【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
3．B
【分析】将转化为、转化为，转化为，作出的图像，根据，可得.
【详解】构造函数（），，
函数在上单调递减，，
可转化为，可转化为，
可转化为，
下面比较的大小关系，
显然：，
，
设，由和的图像可知：

当时，，而，所以，
所以，即.
,    
设，和的图像如图所示：

因为，所以，使得，
所以当时，，而，所以，
所以，即，
综上：,
则分别函数与直线的交点横坐标，
如图所示：

由图可知：.
故选：B
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4．D
【分析】建立空间坐标系，运用空间向量知识求解出点的轨迹方程，再运用三棱锥体积、线面角等相关知识进行选项判定.
【详解】建系如图，为等腰直角三角形，



在所在圆上，设，
，
，
则M的轨迹为圆，
是以OA为直径在xoy面上的圆.
又随着M运动，H轨迹是以OC为直径的圆，故①正确
②由图可得，B到面COH的距离为1，，

故②正确；
③设，则，，
，当时等号成立，
即当H运动到点C时，，故③正确；
④由①知H在以OC为直径的圆上，且该圆所在的平面与平面PAB垂直，由对称性，只考虑C在上半圆，
如图，
过H作，过B作，
则BH与平面PAB所成的角为，又，
，
故④错误.
综上所述，正确的序号为①②③
故选：D
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能够建立空间坐标系，用空间向量知识进行求解，具有较强的综合能力.
5．B
【解析】点代入椭圆方程，点到准线距离和，解得，由，得，联立直线与椭圆方程得到，联立消去即可求出
【详解】解：由题意可得，解得，
所以椭圆，
设：,设
因为，所以
由得
则结合，联立消去解得
故选：B.
【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：
①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；
②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.
6．D
【分析】将原函数零点看做函数 与函数 的交点，根据单调性和零点存在定理求解.
【详解】令 ，，其中 是奇函数， 是二次函数，也是偶函数，
令 则 是偶数， 共有3个零点，
当时，  ， ， 时， ；根据对称性当时，， 时， ；
由条件：  ，
，令 ，则有 ，显然 是偶函数，当 时是增函数，
当 时， ， 单调递增，当 时， 单调递减，再根据对称性， 大致图像如下图：

原函数 ，等价于求 与 的交点的个数，
有2个零点： ，当时， ，无交点；
当 时，  ， ，存在一个交点，
当 时， ，
存在一个交点，  
当x趋于 时，由于 ，并且 ， 的增长速度明显大于 ，必然存在一个交点，所以有3个交点；
故选：D.
7．A
【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.
【详解】已知函数，则
有且只有一个负整数解.
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
当时，取得最小值为.
设，则恒过点
在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示

显然，依题意得且即
且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数
与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.
8．B
【分析】由题目条件可先求出，再根据向量模的不等式求出的值域，由即可求出.
【详解】由题意得，
又因为，
所以，
当与同向时，，与反向时，，
又因为，
所以，
故选：B
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以为中间量是解题的关键.
9．ABD
【分析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧， 即可得到结论.
【详解】对于A，由，得，则从而可得曲线在点处的切线为. 当时，，当时，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故A正确.
对于B，由，得，则，从而可得曲线在点处的切线为.
因为，
故当时，，当时，，
则曲线在点附近位于直线的两侧，故B正确.
对于C，由，得，则，从而可得曲线在点的切线为.因为，所以，则曲线在点附近位于直线的同侧，故C错误.
对于D，由得，则，从而可得曲线在点处的切线为.
令，则且，
，故且，
当时，；当时，，
故在为增函数，在上为减函数，
故在上，，在上，
故当且仅当时等号成立，
故当时，，当时，，
故当时，，
当，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.
10．BCD
【分析】A.易知，作，过作的平行线，与交于点F，证得平面，在AB上取一点H，作，得到平面平面，再根据点H有无数个判断； B.　根据是正三角形，设是中点，与重合，则，求得四边形的面积为，再分析不是中点，或不与重合时，线段的长度变化判断；C.根据，设是中点，记中点为，则，再结合B的结论判断； D.设是中点，是中点，记中点为，得到四边形是平行四边形，再结合C的结论判断.
【详解】如图所示：

因为AA1=AC，则平行四边形是菱形，则，作，因为平面平面，所以平面，则，过作的平行线，与交于点G，则，又，则平面，在AB上取一点H，作，分别交线段AC，A1B1上于点E，F，易得平面，平面，又，所以平面平面，则平面HEF，所以，因为点H有无数个，所以有无数条直线EF，使得EF⊥A1C，故A错误．　
如图所示：

若，则是正三角形，设是中点，与重合，则，且四边形的面积为．∵平面平面，∴平面，∴平面．∵平面，∴当不是中点，或不与重合时，线段的长度将增加，四边形的面积不再等于．故B正确．
如图所示：

若，设是中点，记中点为，则．由结论B知，∴平面．由于，，即，∴直线与确定的平面就是平面．∴为线段上任意一点，都有，故C正确．
如图所示：

设是中点，是中点，记中点为，则，．又，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，．根据结论C，，∴，∴平行四边形的面积为，即四边形的面积为．所以D正确．
故选：BCD
11．BC
【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.
【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：

共36种，
若，此时取或
所以，故A错误；
若，则恒成立，
所以与互斥，故B正确；
，故C正确；
当时，，此时事件与均未发生，
所以事件与不对立，故D错误.
故选：BC
12．BC
【分析】首先证明过抛物线上一点的切线方程结论，利用结论即可得到切点弦所在直线方程，即可判断A，求出点的坐标，从而得到即可判断B，求出的中点，代入抛物线方程即可判断C，对D举反例即可.
【详解】首先推导抛物线的切线方程，
设过抛物线上一点的切线的斜率为,则，
由点斜式得切线方程为：，
联合抛物线方程，有：消去，得
，
相切,，即,
整理得:，，
点是抛物线上的点,，
，，代入得:,整理,得
即:，
当不存在时，此时，切线方程为，适合上式切线方程，
所以，过抛物线上一点的切线的方程为: .
故对于本题来说，设
对A，则过点的切线方程为，代入坐标有
过点的切线方程为，代入坐标有
故切点弦方程为，当时，，故过定点，
而抛物线焦点坐标为，故A错误；
对B，由切于的切线方程,
切于的切线方程，，解得，
而，则，故B正确；
对C，，故，
故的中点为，代入抛物线方程有，
故的中点在抛物线上，故C正确；
对D，取，此时切点弦所在直线方程为：，即，
此时中点即圆心的坐标为，当时，，，
故圆的半径为，而圆心到准线的距离为，故此时直线与圆相离，故D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：（1）抛物线上一点的切线的方程为: .
（2）过椭圆上一点的切线的方程为；
（3）过双曲线上一点的切线的方程为；
13．
【分析】题目等价于在区间上的取值范围，分类，
，三种情况，分别计算得到答案.
【详解】表示向左平移个单位，向上平移个单位.
不影响的取值范围，等价于在区间上的取值范围.
画出函数图像：

当时：；
当时：；
当时：.
综上所述：
故答案为
【点睛】本题考查了函数的最大值最小值，等价转化和分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.
14．
【分析】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,设,写出相关点的坐标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题.
【详解】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,,.设,则.又,,所以
,所以,所以.
又,所以,从而.因为点E是正方形ABCD内一动点,所以,所以当时,取最小值,为.

故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示,考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力. 试题以正方形为载体,结合旋转考查向量知识,通过建立恰当的平面直角坐标系,将向量知识迁移到几何情境中考查,重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
15．
【分析】求出函数在上的最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答.
【详解】依题意，函数在上单调递增，则当时，，
因对任意，总存在，使得，则存在， 成立，
则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，，
因此，在上的最大值只能在上取得
而当时，，在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，在上单调递增，，
由解得，于是得，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，
而，此时不存在使得成立，
综上得，即，
所以a的最大值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则.
16．
【分析】变换得到，则点为的顶点时取最大值，计算得到答案.
【详解】正的边长为1，则高为，内切圆半径为
如图所示，，
当点为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.

故答案为：
【点睛】本题考查了向量的最值计算，变换得到是解题的关键.
17．(1)，，
(2)

【分析】（1）利用题给条件即可求得，的值；先由递推关系判定数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；
（2）分别求得数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，利用分组求和的方法即可求得数列的前2n项和.
【详解】（1）由题意得，，，，，
，，，
当时，，
又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以
.
18．(1)证明见解析
(2)靠近B的三等分点

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；
（2）根据（1）的结果，作出平面与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点到平面的距离，再根据比例关系，确定点的位置.
【详解】（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，
  
则，，所以，且
所以,所以，
因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内，
所以平面；
（2）  
在上取点，使，连结，在上取点，使，
在上取点，使，连结，则，且，则，
即，且，
则四边形是平行四边形，所以，且，即，
则，所以四点四点共面，连结，


，因为，所以点三点共线，
所以五点共面，即与平面交于点，
由（1）可知，平面，平面，
所以，且，，且平面，
所以平面，平面，所以，
且是等腰直角三角形，点为的中点，
所以，且，平面，
所以平面，
,
所以，
，，，
所以，即，
因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
即，所以，
因为点是的中点，所以点到平面的距离也是，
若点到平面的距离为，则,
所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点.
19．(1) . (2)17320元
【分析】（1）利用圆的几何性质证得，利用表示出，由此求得三角形面积的表达式，并求得的取值范围.
（2）求得，由此求得矩形面积的表达式，利用辅助角公式，结合三角函数求最值的方法，求得矩形面积的最大值，从而求得最高造价.
【详解】（1）连接OF,因为,所以,易得,所以.     
因为,所以,所以,,
所以.

（2）因为,
所以,
所以
  
.
因为,所以当时,最大.
故矩形花坛的最高造价是元.
【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查扇形中的三角形、矩形面积计算，考查三角函数辅助角公式以及三角函数最值的求法，属于中档题.
20．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；
（2）①由已知得，的所有可能取值为1，，求出相应的概率，再由可求得P关于k的函数关系式；②由得（且），构造函数，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.
【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件，
事件分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，
所以，
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为，
（2）①由已知得，的所有可能取值为1，，
所以， ，
所以，
若，则，
所以，，
所以，得，
所以P关于k的函数关系式（且）
②由①知，，
若，则，所以，得，
所以（且）
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
，
所以不等式的解是且，
所以且时，，采用方案二混合检验方式好，
且时，，采用方案一逐份检验方式好，
【点睛】关键点点睛：此题考查概率的综合应用，考查随机变量的数学期望，考查导数的应用，解题的关键是根据题意求出两随机变量的期望，再由化简，再构造函数利用导数可求出的范围，考查数学计算能力，属于难题.
21．(1)
(2)直线恒过定点，定点坐标为

【分析】（1）设椭圆的右焦点为，连接，，然后在由条件可得，，，然后利用余弦定理求解即可；
（2）首先求出椭圆的方程，然后由可推出，然后设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程消元表示出 、，然后由求出的值可得答案.
【详解】（1）
设椭圆的右焦点为，连接，
根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.
又，所以
而，所以，
在四边形中，，
所以，
在中，根据余弦定理得

即
化简得.
所以椭圆的离心率；
（2）
因为椭圆的上顶点为，所以，所以，
又由（1）知，解得，
所以椭圆的标准方程为.
在中，，，
所以，从而，
又为线段的中点，即，所以，
因此，从而，
根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，
联立消去得①，
，
根据韦达定理可得，，
所以

所以，
整理得，解得或.
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，
该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，
所以直线恒过定点，定点坐标为.
22．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）先求解导函数，再根据导函数分析函数的单调性即可；
（2）先将题中问题转化为函数的零点问题，再根据相应函数的最值求解参数的值.
【详解】（1）由已知，，，
．
当为奇数时，，，
在区间上单调递增，
当为偶数时，，，
当时，，当时，，
在区间上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当为奇数时，在区间上单调递增，
当为偶数时，在区间上单调递减，在上单调递增.
（2），．
设与上各有一点，，，．
则在以为切点的切线方程为，
在以为切点的切线方程为．
由两条切线重合，得，
由题意，方程组有唯一解，
消去，整理得：．
令，．
可知在区间上单调递减，在，上单调递增．
又当时，，
有唯一解，则有，即．
即．
令，．
可知在区间上单调递减，在区间，上单调递增．
又，只有唯一一实根．
当时，函数与的图象有且只有一条公切线
故满足条件的m的值为.