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2022-2023学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式 3−x中x的取值范围是( )
A. x≥3 B. x≤3 C. x>3 D. x<3
2. 下列根式是最简二次根式的是( )
A. 0.5 B. 17 C. − 3 D. 8
3. 下面各组数中，是勾股数的是( )
A. 1， 2， 3 B. 32，42，52 C. 1，3，2 D. 5，12，13
4. 下列计算正确的是( )
A. 4=±2 B. 8− 2= 2 C. 419=213 D. (−5)2=−5
5. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BC
B. AB=CD，AD=BC
C. AD//BC，∠ABC=∠ADC
D. AB=CD，∠ABC=∠ADC
6. 如图，为测量池塘的宽度(A、B两点之间的距离)，在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE=20米，那么A、B间的距离是( )
A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米
7. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 若a=b，则 a2= b2
B. 菱形的对角线互相垂直
C. 若a=0，则ab=0
D. 若三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则此三角形为直角三角形
8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是( )
A. 2.2 B. 5 C. 1+ 2 D. 6
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为( )
A. 218
B. 214
C. 2
D. 158
10. 如图，在正方形ABCD中，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM，下列结论：①ME⊥AE，②ME平分∠AMC，③∠DAE=30°，④AM=AD+CM，正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知x，y都是实数，且y= x−3+ 3−x−2，则xy= ______ ．
12. 如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=11，DE平分∠ADC，则BE= ______ ．
13. 把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为 ．
14. 如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连接AE，交BD于点F.若∠CDE=40°，则∠DCF的度数为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1) 48÷ 3−2 15× 30+ 24；
(2)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)．
17. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE=DF．
18. (本小题8.0分)
学过《勾股定理》后，八(1)班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图1)，小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米(如图2)．
(1)设AB长为x米，绳子为______米，AE为______米(用x的代数式表示)；
(2)请你求出旗杆的高度AB．
19. (本小题8.0分)
如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为 72m，宽AB为 32m，现要在空地中划出一块长方形地养鸡(即图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为( 10+1)m，宽为( 10−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
21. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2 3cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t(单位：s)，且0
(2)连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)下列四边形是勾股四边形的有______ .(填序号)
①长方形；②平行四边形；③正方形
(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(0,4)，B(3,0)，请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标______ ．
(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB=30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：3−x≥0，
解得：x≤3，
故选：B．
根据二次根式中的被开方数是非负数可得3−x≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A． 0.5= 22，故不是最简二次根式，不符合题意；
B. 17= 77，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.− 3，是最简二次根式，符合题意；
D. 8=2 2，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2, 3不是整数，不构成勾股数，故本选项不符合题意．
B、(32)2+(42)2≠(52)2，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
C、12+32≠22，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
D、52+122=132，构成勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理即可解答．
本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、 4=2，原式计算错误，不符合题意；
B、 8− 2=2 2− 2= 2，原式计算正确，符合题意；
C、 419= 379= 373，原式计算错误，不符合题意；
D、 (−5)2=5，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的性质和二次根式的减法计算法则求解即可．
本题主要考查了化简二次根式，二次根式的减法，正确计算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB=CD.AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB=CD，∠ABC=∠ADC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
此题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6.【答案】D
【解析】解：连接AB，
∵D、E分别为OA、OB的中点，
∴AB=2DE，
∵DE=20米，
∴AB=40米，
故选：D．
连接AB，根据三角形的中位线性质得出AB=2DE，代入求出即可．
本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出AB=2DE是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：若a=b，则 a2= b2的逆命题是：若 a2= b2，则a=b，
而若 a2= b2，则，则原命题的逆命题是假命题，故A不符合题意；
菱形的对角线互相垂直的逆命题是：对角线互相垂直的四边形是菱形，
而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，则原命题的逆命题是假命题，故B不符合题意；
若a=0，则ab=0的逆命题是：若ab=0，则a=0，
而若ab=0，则a=0或b=0，则原命题的逆命题为假命题，故C不符合题意；
三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则此三角形为直角三角形的逆命题是：
直角三角形的三边分别为a，b，c(c为斜边)，则a2+b2=c2，逆命题为真命题，
故D符合题意；
故选：D．
先逐个的写出原命题的逆命题，再利用算术平方根的性质可判断A的逆命题，利用平行四边形的判定可判断B的逆命题，由两数之积为0则至少有一个为0，可判断C的逆命题，由勾股定理的含义可判断D的逆命题，从而可得答案．
本题考查的是逆命题的含义，真假命题的判断，同时考查了算术平方根的含义，菱形的性质，勾股定理及逆定理的含义，两数之积为0则至少有一个为0，掌握以上基础知识是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，
∴OB= OA2+AB2= 22+12= 5．
∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为 5．
故选：B．
根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数．
本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度，注意以点O为圆心以 5为半径画弧与数轴由两个交点即 5和 5，题目要求与数轴正半轴交点，故需要舍去− 5．
9.【答案】A
【解析】解：连接EC，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC=AE．
设DE=x，则AE=12−x．
∴EC=12−x，
在Rt△ECD中，
∵EC2=DE2+DC2，
∴(12−x)2=x2+92．
解得：x=218．
∴DE=218．
故选：A．
连接CE，利用垂直平分线的性质可得EC=AE，设DE=x，利用勾股定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，延长AE交BC的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC．
∴∠DAE=∠CNE．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠CNE=∠MAE．
∴AM=MN．
∵E是CD边的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△NCE中，
∠DAE=∠CNE∠AED=∠NECDE=CE，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD=NC，AE=EN，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC，故④正确，
∵AM=MN，AE=EN，
∴AE⊥EM，ME平分∠AMC，故①②正确，
若∠DAE=30°，则∠MAE=30°，
∴∠BAM=30°，
∵∠B=∠AEM=90°，AM=AM，
∴△ABM≌△AEM，
∴AB=AE，与AE>AD=AB互相矛盾；故③错误．
故选：C．
由“AAS”可证△ADE≌△NCE，可得AD=NC，AE=EN，可得AM=MN=NC+MC=AD+MC，故④正确，由等腰三角形的性质可得AE⊥EM，ME平分∠AMC，故①②正确，由∠DAE=30°可得△ABM≌△AEM，则AB=AE，与AE>AD=AB互相矛盾；故③错误；即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：∵y= x−3+ 3−x−2，
∴x−3≥0，3−x≤0，
∴x=3，
∴y= 3−3+ 3−3−2=−2，
∴xy=3×(−2)=−6．
故答案为：−6．
利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
在▱ABCD中，AB=8，AD=11，
∴CD=AB=8，BC=AD=11，
∴BE=BC−CE=11−8=3．
故答案为：3
先证明∠ADE=∠CDE，∠ADE=∠CED，可得∠CDE=∠CED，则CE=CD，从而可得答案．
本题考查的是等腰三角形的判定，平行四边形的性质，证明CE=CD是解本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：因为菱形的一条对角线长为16，
所以它的一半是8，
因为菱形的边长为10，且菱形对角线互相垂直，
根据勾股定理得另一条对角线长的一半为 102−82=6，
所以图2所示的阴影的正方形边长为8−6=2，
所以图2中的阴影的面积为4．
故答案为4．
根据菱形的性质对角线互相垂直，利用勾股定理可得另一条对角线长的一半为6，所以图2所示的阴影的正方形边长为8−6=2，进而可得结论．
本题考查正方形的性质，菱形的性质，以及勾股定理．
14.【答案】25°
【解析】解：在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDE=40°，
∴∠ADE=90°+40°=130°，
∵ED=CD，
∴AD=ED，
∴∠DAE=(180°−130°)÷2=25°，
在△ADF和△CDF中，
AD=CD∠ADB=∠CDBDF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAF=25°，
故答案为：25°．
根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，再根据已知条件可知AD=ED，可得∠DAE，再证明△ADF≌△CDF(SAS)，根据全等三角形的性质即可求出∠DCF．
本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
15.【答案】245
【解析】解：∵∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，
∴BC= BA2+AC2=10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=12AB×AC=12BC×AD，
∴AD=AB⋅ACBC=245，
∴MN的最小值为245；
故答案为：245．
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1) 48÷ 3−2 15× 30+ 24
= 48÷3−2 15×30+2 6
16−2 6+2 6
=4；
(2)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)
=12−4 3+1+3−4
=12−4 3．
【解析】(1)先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
(2)利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
17.【答案】证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．根据平行四边形的性质：对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF．
18.【答案】(x+1) (x−1)
【解析】解：(1)设AB长为x米，则绳子长为(x+1)米，AE的长度为(x−1)米．
故答案是：(x+1)；(x−1)；
(2)在Rt△ACE中，AC=(x+1)米，
AE=(x−1)米，CE=8米，
由勾股定理可得，(x−1)2+82=(x+1)2，
解得：x=16．
答：旗杆的高度为16米．
根据图形标出的长度，可以知道AB和AC的长度差值是1，以及CD=1，CE=8，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)长方形ABCD的周长=2×( 72+ 32)=2×(6 2+4 2)=20 2(m)．
答：长方形ABCD的周长是20 2m；
(2)蔬菜地的面积= 72× 32−( 10+1)×( 10−1)
=48−(10−1)=39(m2).
39×8×15=4680(元)．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【解析】(1)利用长方形的周长公式即可求解；
(2)先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)BD=DC，
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠ECD，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE=∠ECD∠AEF=∠DECAE=ED，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=DC．
(2)当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：∵AF=BD，AF//BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD=BD=DC，
∴四边形AFBD是菱形．
【解析】(1)由△AEF≌△DEC得出AF=DC，再根据已知条件即可证明．
(2)当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明AD=BD即可．
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH//FG，
由题意知BF=2t cm，EH=t cm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴FG=12BF=t，
∴EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠FGH=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
(2)△BFC与△DCE能够全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2 3cm，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=BC=2 3cm，AB//CD，
∴∠CBD=∠CDB=30°，∠DCH=∠ABC=60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD=90°，
∴∠CDH=90°−60°=30°=∠CBF，
在Rt△CDH中，cos∠CDH=DHCD，
∴DH=2 3× 32=3，
∵BF=2t cm，
∴EH=t cm，
∴DE=(3−t)cm，
∴当BF=DE时，在△BFC和△DEC中BF=DE∠CDE=∠CBFBC=DC
△BFC≌△DEC(SAS)，
∴2t=3−t，
∴t=1．
【解析】(1)根据平行线的判定定理得到EH//FG，由题意知BF=2t cm，EH=t cm，推出四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到四边形EFGH是矩形；
(2)根据菱形的性质得到∠ABC=60°，AB=2 3cm，求得∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=2 3cm，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】①③ (3,4)或(4,3)
【解析】解：(1)∵长方形和正方形的四个角都是直角，相邻两边的平方和等于对角线的平方，
∴长方形和正方形是勾股四边形；
故答案为：①③；
(2)如图1所示：
故答案为：(3,4)或(4,3)；
(3)如图2，连接CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
(1)直接利用勾股四边形的定义得出答案；
(2)OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；
(3)连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；
本题属于四边形的综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．
2022-2023学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式 3−x中x的取值范围是( )
A. x≥3 B. x≤3 C. x>3 D. x<3
2. 下列根式是最简二次根式的是( )
A. 0.5 B. 17 C. − 3 D. 8
3. 下面各组数中，是勾股数的是( )
A. 1， 2， 3 B. 32，42，52 C. 1，3，2 D. 5，12，13
4. 下列计算正确的是( )
A. 4=±2 B. 8− 2= 2 C. 419=213 D. (−5)2=−5
5. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BC
B. AB=CD，AD=BC
C. AD//BC，∠ABC=∠ADC
D. AB=CD，∠ABC=∠ADC
6. 如图，为测量池塘的宽度(A、B两点之间的距离)，在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE=20米，那么A、B间的距离是( )
A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米
7. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 若a=b，则 a2= b2
B. 菱形的对角线互相垂直
C. 若a=0，则ab=0
D. 若三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则此三角形为直角三角形
8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是( )
A. 2.2 B. 5 C. 1+ 2 D. 6
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为( )
A. 218
B. 214
C. 2
D. 158
10. 如图，在正方形ABCD中，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM，下列结论：①ME⊥AE，②ME平分∠AMC，③∠DAE=30°，④AM=AD+CM，正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知x，y都是实数，且y= x−3+ 3−x−2，则xy= ______ ．
12. 如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=11，DE平分∠ADC，则BE= ______ ．
13. 把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为 ．
14. 如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连接AE，交BD于点F.若∠CDE=40°，则∠DCF的度数为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1) 48÷ 3−2 15× 30+ 24；
(2)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)．
17. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE=DF．
18. (本小题8.0分)
学过《勾股定理》后，八(1)班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图1)，小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米(如图2)．
(1)设AB长为x米，绳子为______米，AE为______米(用x的代数式表示)；
(2)请你求出旗杆的高度AB．
19. (本小题8.0分)
如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为 72m，宽AB为 32m，现要在空地中划出一块长方形地养鸡(即图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为( 10+1)m，宽为( 10−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
21. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2 3cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t(单位：s)，且0
(2)连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)下列四边形是勾股四边形的有______ .(填序号)
①长方形；②平行四边形；③正方形
(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(0,4)，B(3,0)，请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标______ ．
(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB=30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：3−x≥0，
解得：x≤3，
故选：B．
根据二次根式中的被开方数是非负数可得3−x≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A． 0.5= 22，故不是最简二次根式，不符合题意；
B. 17= 77，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.− 3，是最简二次根式，符合题意；
D. 8=2 2，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2, 3不是整数，不构成勾股数，故本选项不符合题意．
B、(32)2+(42)2≠(52)2，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
C、12+32≠22，则不构成勾股数，故本选项不符合题意．
D、52+122=132，构成勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理即可解答．
本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、 4=2，原式计算错误，不符合题意；
B、 8− 2=2 2− 2= 2，原式计算正确，符合题意；
C、 419= 379= 373，原式计算错误，不符合题意；
D、 (−5)2=5，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的性质和二次根式的减法计算法则求解即可．
本题主要考查了化简二次根式，二次根式的减法，正确计算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB=CD.AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB=CD，∠ABC=∠ADC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
此题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6.【答案】D
【解析】解：连接AB，
∵D、E分别为OA、OB的中点，
∴AB=2DE，
∵DE=20米，
∴AB=40米，
故选：D．
连接AB，根据三角形的中位线性质得出AB=2DE，代入求出即可．
本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出AB=2DE是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：若a=b，则 a2= b2的逆命题是：若 a2= b2，则a=b，
而若 a2= b2，则，则原命题的逆命题是假命题，故A不符合题意；
菱形的对角线互相垂直的逆命题是：对角线互相垂直的四边形是菱形，
而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，则原命题的逆命题是假命题，故B不符合题意；
若a=0，则ab=0的逆命题是：若ab=0，则a=0，
而若ab=0，则a=0或b=0，则原命题的逆命题为假命题，故C不符合题意；
三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则此三角形为直角三角形的逆命题是：
直角三角形的三边分别为a，b，c(c为斜边)，则a2+b2=c2，逆命题为真命题，
故D符合题意；
故选：D．
先逐个的写出原命题的逆命题，再利用算术平方根的性质可判断A的逆命题，利用平行四边形的判定可判断B的逆命题，由两数之积为0则至少有一个为0，可判断C的逆命题，由勾股定理的含义可判断D的逆命题，从而可得答案．
本题考查的是逆命题的含义，真假命题的判断，同时考查了算术平方根的含义，菱形的性质，勾股定理及逆定理的含义，两数之积为0则至少有一个为0，掌握以上基础知识是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，
∴OB= OA2+AB2= 22+12= 5．
∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为 5．
故选：B．
根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数．
本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度，注意以点O为圆心以 5为半径画弧与数轴由两个交点即 5和 5，题目要求与数轴正半轴交点，故需要舍去− 5．
9.【答案】A
【解析】解：连接EC，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC=AE．
设DE=x，则AE=12−x．
∴EC=12−x，
在Rt△ECD中，
∵EC2=DE2+DC2，
∴(12−x)2=x2+92．
解得：x=218．
∴DE=218．
故选：A．
连接CE，利用垂直平分线的性质可得EC=AE，设DE=x，利用勾股定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，延长AE交BC的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC．
∴∠DAE=∠CNE．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠CNE=∠MAE．
∴AM=MN．
∵E是CD边的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△NCE中，
∠DAE=∠CNE∠AED=∠NECDE=CE，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD=NC，AE=EN，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC，故④正确，
∵AM=MN，AE=EN，
∴AE⊥EM，ME平分∠AMC，故①②正确，
若∠DAE=30°，则∠MAE=30°，
∴∠BAM=30°，
∵∠B=∠AEM=90°，AM=AM，
∴△ABM≌△AEM，
∴AB=AE，与AE>AD=AB互相矛盾；故③错误．
故选：C．
由“AAS”可证△ADE≌△NCE，可得AD=NC，AE=EN，可得AM=MN=NC+MC=AD+MC，故④正确，由等腰三角形的性质可得AE⊥EM，ME平分∠AMC，故①②正确，由∠DAE=30°可得△ABM≌△AEM，则AB=AE，与AE>AD=AB互相矛盾；故③错误；即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：∵y= x−3+ 3−x−2，
∴x−3≥0，3−x≤0，
∴x=3，
∴y= 3−3+ 3−3−2=−2，
∴xy=3×(−2)=−6．
故答案为：−6．
利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
在▱ABCD中，AB=8，AD=11，
∴CD=AB=8，BC=AD=11，
∴BE=BC−CE=11−8=3．
故答案为：3
先证明∠ADE=∠CDE，∠ADE=∠CED，可得∠CDE=∠CED，则CE=CD，从而可得答案．
本题考查的是等腰三角形的判定，平行四边形的性质，证明CE=CD是解本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：因为菱形的一条对角线长为16，
所以它的一半是8，
因为菱形的边长为10，且菱形对角线互相垂直，
根据勾股定理得另一条对角线长的一半为 102−82=6，
所以图2所示的阴影的正方形边长为8−6=2，
所以图2中的阴影的面积为4．
故答案为4．
根据菱形的性质对角线互相垂直，利用勾股定理可得另一条对角线长的一半为6，所以图2所示的阴影的正方形边长为8−6=2，进而可得结论．
本题考查正方形的性质，菱形的性质，以及勾股定理．
14.【答案】25°
【解析】解：在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDE=40°，
∴∠ADE=90°+40°=130°，
∵ED=CD，
∴AD=ED，
∴∠DAE=(180°−130°)÷2=25°，
在△ADF和△CDF中，
AD=CD∠ADB=∠CDBDF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAF=25°，
故答案为：25°．
根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，再根据已知条件可知AD=ED，可得∠DAE，再证明△ADF≌△CDF(SAS)，根据全等三角形的性质即可求出∠DCF．
本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
15.【答案】245
【解析】解：∵∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，
∴BC= BA2+AC2=10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=12AB×AC=12BC×AD，
∴AD=AB⋅ACBC=245，
∴MN的最小值为245；
故答案为：245．
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1) 48÷ 3−2 15× 30+ 24
= 48÷3−2 15×30+2 6
16−2 6+2 6
=4；
(2)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)
=12−4 3+1+3−4
=12−4 3．
【解析】(1)先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
(2)利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
17.【答案】证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．根据平行四边形的性质：对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF．
18.【答案】(x+1) (x−1)
【解析】解：(1)设AB长为x米，则绳子长为(x+1)米，AE的长度为(x−1)米．
故答案是：(x+1)；(x−1)；
(2)在Rt△ACE中，AC=(x+1)米，
AE=(x−1)米，CE=8米，
由勾股定理可得，(x−1)2+82=(x+1)2，
解得：x=16．
答：旗杆的高度为16米．
根据图形标出的长度，可以知道AB和AC的长度差值是1，以及CD=1，CE=8，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)长方形ABCD的周长=2×( 72+ 32)=2×(6 2+4 2)=20 2(m)．
答：长方形ABCD的周长是20 2m；
(2)蔬菜地的面积= 72× 32−( 10+1)×( 10−1)
=48−(10−1)=39(m2).
39×8×15=4680(元)．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【解析】(1)利用长方形的周长公式即可求解；
(2)先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)BD=DC，
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠ECD，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE=∠ECD∠AEF=∠DECAE=ED，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=DC．
(2)当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：∵AF=BD，AF//BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD=BD=DC，
∴四边形AFBD是菱形．
【解析】(1)由△AEF≌△DEC得出AF=DC，再根据已知条件即可证明．
(2)当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明AD=BD即可．
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH//FG，
由题意知BF=2t cm，EH=t cm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴FG=12BF=t，
∴EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠FGH=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
(2)△BFC与△DCE能够全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2 3cm，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=BC=2 3cm，AB//CD，
∴∠CBD=∠CDB=30°，∠DCH=∠ABC=60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD=90°，
∴∠CDH=90°−60°=30°=∠CBF，
在Rt△CDH中，cos∠CDH=DHCD，
∴DH=2 3× 32=3，
∵BF=2t cm，
∴EH=t cm，
∴DE=(3−t)cm，
∴当BF=DE时，在△BFC和△DEC中BF=DE∠CDE=∠CBFBC=DC
△BFC≌△DEC(SAS)，
∴2t=3−t，
∴t=1．
【解析】(1)根据平行线的判定定理得到EH//FG，由题意知BF=2t cm，EH=t cm，推出四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到四边形EFGH是矩形；
(2)根据菱形的性质得到∠ABC=60°，AB=2 3cm，求得∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=2 3cm，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】①③ (3,4)或(4,3)
【解析】解：(1)∵长方形和正方形的四个角都是直角，相邻两边的平方和等于对角线的平方，
∴长方形和正方形是勾股四边形；
故答案为：①③；
(2)如图1所示：
故答案为：(3,4)或(4,3)；
(3)如图2，连接CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
(1)直接利用勾股四边形的定义得出答案；
(2)OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；
(3)连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；
本题属于四边形的综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．
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