人教B版（2019）高中数学 必修第一册1.2.3 充分条件、必要条件（第2课时）教学设计

   第一章  集合与常用逻辑用语

1.2 常用逻辑用语

1.2.3 充分条件、必要条件 教学设计

教学分析

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

教学目标与核心素养

【教学目标】

1、理解充分条件和必要条件的概念.

2、掌握充分条件和必要条件的判断方法.

3、理解充分必要条件的概念.

4、能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明

【核心素养】

1、数学抽象：在课前导读中抽象出充分、必要的概念.

2、逻辑推理: 判定推出与不推出,推理充分条件与必要条件的基本形式和规则.

3、直观想象：借助坐标轴和几何图形来判定充分条件与必要条件.

4、数学运算:掌握p、q运算，正确判断推出与不推出的关系.

教学重难点

【教学重点】

1、掌握充分条件和必要条件的概念和判断方法.

2、掌握充要条件的概念和判断方法.

【教学难点】

1、能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明

课前准备

通过课前导读、身边的例子来了解充分、必要的概念。

教学过程

【课前导读】

“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？

（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）；

（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年3月4日）；

（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）；

（4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）.

本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件。

一、充分条件、必要条件

【新课讲授】

我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”①的命题，例如：

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；

（3）如果x>2，那么x>3；

（4）如果a>b且c>0，那么ac>bc.

在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作

pq

读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”.

例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作

 两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行；

而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作

x>2x>3.

①“如果p，那么q”也常常记为“如果p，则q”或“若p，则q”，

【尝试与发现】

当pq时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.

因此， “如果p，那么q”是真命题，

pq，

p是q的充分条件，

q是p的必要条件，

这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.

例如，因为“如果x=-y，则x2=y2”是真命题，所以

x=-yx2=y2，

x=-y是x2=y2的充分条件，

x2=y2是x=-y的必要条件.

再例如，因为命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题，所以

A∩B≠∅      A≠∅

A∩B≠∅是A≠∅的         条件

A≠∅是A∩B≠∅的         条件

【思考与辨析】

【典型例题】

例1 判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：

（1）p:x∈Z，q:x∈R；

（2）p:x是矩形，q:x是正方形。

解（1）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即pq，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）因为矩形不一定是正方形，即pq，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。

充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解。

设A={x|x≥0}，B={x|x>-1}，则不难看出，A是B的子集（如下图所示），即A⊆B.

另一方面，“如果x≥0，那么x>-1”是真命题，也就是说

x≥0x>-1，

x≥0是x>-1的充分条件，

x>-1是x≥0的必要条件。

一般地，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A⊆B.（如下图所示），那么p(x)q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件.

例如，设A={x|x是在北京市出生的人}，B={x|x是在中国出生的人}，则A⊆B，所以“x是在北京市出生的人”可以推出“x是在中国出生的人”.

充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关。

例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理.这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数.不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件。

而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理.这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等.不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件。

例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件：

（1）形如y=ax2（a是非零常数）的函数是二次函数；

（2）菱形的对角线互相垂直。

解（1）这可以看成一个判定定理，因此“形如y=ax2（a是非零常数）的函数”是“这个函数是二次函数”的       条件

（2）这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的            件。

【扩展阅读】

二、充要条件

【新课讲授】

二、充要条件

我们已经知道，因为x>3x>2，所以

x>3是x>2的         条件，

又因为x>2x>3，所以

x>3不是x>2的必要条件，

把这两方面综合起来，可以说成

x>3是x>2的充分不必要条件.

一般地，如果pq且qp，则称p是q的充分不必要条件，

【尝试与发现】

如果pq且qp，则称p是q的必要不充分条件.例如，x(x-1)=0是x=0的必要不充分条件，

如果pq且qp，则称p是q的充分必要条件（简称为充要条件），

记作

pq，

此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.

当然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.

例如，当x≥0时，有意义；当有意义时，x≥0.因此“x≥0”是“有意义”的充要条件，即

x≥0有意义，

也可以说成“x≥0与有意义等价”“x≥0当且仅当有意义”.

例3 在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.

解   因为“在三角形中，等角对等边”，所以

∠B=∠CAC=AB；

又因为“在三角形中，等边对等角”，所以

AC=AB∠B=∠C.

从而∠B=∠CAC=AB，因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件。

从集合的观点来看，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A=B，则p(x)q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充要条件。

例如，当A={x|x≤0}，B={x|lxl=-x}时，不难看出A=B，因此x≤0lxl=-x，也就是说x≤0是|x|=-x的        条件，x≤0与lxl=-x等价，x≤0当且仅当lxl=-x.

另外，充要条件与数学中的定义有关.例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等。不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件。

注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形。”

需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件之外，还存在p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件的情形，例如，当p:x>0，q:x2>2时就是如此.

【思考与辨析】

教学反思

      本节内容简单，但学生容易混淆,需要梳理辨析充分条件、必要条件的数学定义即可.